山东省济南市考试联盟2024届高三年级下册4月高考模拟数学试题（含答案解析）

山东省济南市名校考试联盟2024届高三下学期4月高考模拟数

学试题

学校：姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知随机变量X--则p(X=2)=()

A.3311

B.-C.—D.一

4848

2.已知抛物线C:）/=4x的焦点为尸，该抛物线上一点尸至曦=-2的距离为4,则|尸产|=（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知集合｛刈卜-/）（尤-1）=0｝的元素之和为1,则实数°所有取值的集合为（）

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1}

4.已知函数的定义域为R,若/（—）J（l+x）=〃l-x）,则/（2024）=（）

A.0B.1C.2D.3

5.已知圆C:x2+/=l,N（4,a）,8（4,-a）,若圆。上有且仅有一点尸使尸/，P8,则正实

数。的取值为（）

A.2或4B.2或3C.4或5D.3或5

6.设/,B是一个随机试验中的两个事件，且尸（1）=；,尸（3）=g,P（NuB）=g,则

尸心[1]=（）

11_11

A.-B.—C.—D.—

43612

7.已知数歹―4对于任意的且〃”都有-1[%需，则”

（）

A.211B.2"一2C.210D.210-2

8.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2拒,若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相

切，则三棱锥P-ABC的体积为（）

A.2B.2V2C.3D.273

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.若复数z满足z（l+i）=2-i（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）

儿I#.

3

B.z的虚部为一小

2

C.z-z=—

2

D.若复数。满足|o-2z|=l,则网的最大值为&6

10.如图，在直角三角形4BC中，AB=BC=g，49=0C,点P是以/C为直径的半圆

弧上的动点，若=+｝友,贝（I（）

—•1—1—

A.BO=-BA+-BC

22

B.CBBO=1

C.而.就最大值为1+夜

D.B,O,P三点共线时x+y=2

11.已知数列｛氏｝满足/a„+1=sin^,（»eN,）,记数列｛aJ的前〃项和为S”,

则对任意”eN*,下列结论正确的是（）

A.存在后eN*,使%=1B.数列｛。“｝单调递增

31

C.«n+i~an+—D.2an+i<2ax+Sn

三、填空题

12.已知a=log23,4=3"，则/=.

13.现有4,B两组数据，其中/组有4个数据，平均数为2,方差为6,5组有6个数据,

试卷第2页，共4页

平均数为7,方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为.

14.已知函数/(司=在1,若方程+石=〃有三个不相等的实数解,则实数。的

取值范围为.

四、解答题

15.如图，在平面四边形48CD中，BCLCD,AB=BC=®，N4BC=8,120°<0<180°.

⑴若。=120°,40=3,求N/DC的大小;

(2)若。=遥，求四边形/BCD面积的最大值.

16.如图，在四棱锥尸-/BCD中，四边形/BCD为直角梯形，AB//CD,

ZDAB=ZPCB=60°,CD=l,AB=3,PC=2^,平面尸C8_L平面488,尸为线段BC1的中

点，E为线段PF上一点.

(1)证明：PF1AD；

(2)当斯为何值时，直线3E与平面BID夹角的正弦值为

17.已知函数/(x)=a尤?-[nx-l,g(x)=xe*-ax2(aeR)•

⑴讨论/(尤)的单调性；

(2)证明:/(x)+g(x)>x.

18.在平面直角坐标系xQy中，直线/与抛物线沙：产=2y相切于点/>,且与椭圆

2

C：L+/=1交于48两点.

2

(1)当尸的坐标为(2,2)时，求网;

试卷第3页，共4页

(2)若点G满足诙+©3+分=0,求△G/B面积的最大值.

19.随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在

平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四

个方向移动的概率均为:例如在1秒末，粒子会等可能地出现在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)

四点处.

(1)设粒子在第2秒末移动到点(X/),记x+y的取值为随机变量X,求X的分布列和数

学期望E(x)；

(2)记第〃秒末粒子回到原点的概率为4.

⑴已知t(C：)2=C“求2,“以及小”；

k=0

(ii)令6,=P2"，记s”为数列帆｝的前九项和，若对任意实数M>0,存在〃eN*,使得S,,>〃，

1

则称粒子是常返的.已知后［〈加证明：该粒子是常返的.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据二项分布直接求解即可.

【详解】因为随机变量X~B14,£|,

所以尸"2)=嗯m

故选：B

2.C

【分析】设尸(%,%),%20,由题意可得X。=2,结合抛物线的定义运算求解.

【详解】由题意可知：抛物线C:/=4x的准线为x=-l,

设尸(%,%),%20,则%+2=4,解得分=2,

所以忸川=x0+l=3.

故选：C.

3.D

【分析】根据集合中元素和为1,确定一元二次方程的根，即可得出。的取值集合.

【详解】因为集合卜|1-*(1)=0｝的元素之和为1,

所以一元二次方程(x-/)(x-i)=o有等根时，可得x=/=i,即。=±1,

当方程有两不相等实根时，x=a2=0＞即4=0,

综上，实数。所有取值的集合为｛0,『1｝.

故选：D

4.A

【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4,然后由周期性和奇函数的性质可得.

【详解】因为/(l+x)=/(l-x),

所以f(+(+x))=/(_(l+x)),gp/(2+x)=/(-x),

又止力=-/(尤),函数/(x)的定义域为R,

所以，/(X)是定义域为R的奇函数,所以"0)=0,/(x)=-/(2+x),

答案第1页，共16页

所以，/（2+X）=-/（4+X）,故/（无）=一/（2+尤）=/（4+X）,

所以/（尤）是以4为周期的周期函数，

所以/（2024）=/（506x4+0）=〃0）=0.

故选：A

5.D

【分析】根据题意可知：点尸的轨迹为以的中点河（4,0）为圆心，半径R=a的圆，结合

两圆的位置关系分析求解.

【详解】由题意可知：圆C:f+V=i的圆心为。（o,o）,半径厂=1,且。＞0,

因为可知点尸的轨迹为以线段N8的中点M（4,0）为圆心，半径R=a的圆，

又因为点尸在圆C:x2+j?=i上,

可知圆C与圆M有且仅有一个公共点，贝！j|CM=r+R或|CM|=|一火

即4=l+a或4=|1-解得。=3或0=5.

故选：D.

6.B

【分析】根据概率的性质解得尸（/8）=:,结合尸（5）=P（/8）+P（75）可得P（［5）=；,

代入条件概率公式分析求解.

【详解】因为尸（/口8）=尸（*）+尸（8）—尸（/3）,即:=：+：-尸（/2）,解得P（/8）=1,

又因为尸（8）=尸（/8）+P（）8）,即；=；+尸（否），解得尸（右）=；,

1_q

且尸（♦）="可得尸（1）=1-尸（/）="

/-、1

/一、P（AB\71

所以P⑷司=年

4

故选：B.

7.B

【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解.

答案第2页，共16页

【详解】依题意，设»=%.，

贝Ubx=a2=2q=2=4—2,

CI3=a2+1=3,b?—Q4—2。3=6=8—2,

%=。4+1=7,b3=a6=2a5=14=16—2,

%=4+1=15,Z74=6z8=2a7=30=32—2,

n+ln+l

可归纳得：bn=2-2fa2n=bn=2-2f

所以?0=仇o=2"-2.

故选：B

8.A

【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中点O,再求出三棱锥

的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.

【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，

所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上，

又因为底面边长为2月，

所以底面正三角形的内切圆的半径为/=tan30O-』/86=1,

23

又因为球的半径r=l,IPr'=r,

所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点。，

如图，过球心。作我的垂线交融于“，则”为棱切球在我上的垂足，

答案第3页，共16页

n73CHi

又因为°"=A=正=2,所以34°//=市=5，

V

因为乙4O〃e（0,7t）,所以乙4OH=60。，

又由题意可知，尸。/平面Z6C,所以尸。，。4,

所以NPOa=30。

P0rOH_1=2"

所以一嬴赤一正一不一，

T

所以/4BC=-x-x2V3x2^-x—x^^=2.

P-ABC3223

故选：A.

9.AC

【分析】根据复数的除法运算求出z,利用复数模的公式计算可判断A；由虚部概念可判断

B；由共粗复数概念和复数乘法运算可判断C；根据复数的减法的几何意义求解可判断D.

【详解】对于A,因为z（l+i）=2-i,

__2-1_(2-1)(1-1)_13

所以z-------------------———1.

1+i(l+i)(l-i)22

3

对于B,由上可知，z的虚部为-故B错误，

对于c,因为所以z与mm）故c正确；

对于D,记复数。对应的点为/（。）），复数2z对应的点为3（1,-3）,

则由弧-2z卜1可得"_西=网=1,即点A在以8为圆心，1为半径的圆上,

所以，|珂的最大值为|西+1=厢+1,即网的最大值为&U+1,D错误.

答案第4页，共16页

o23x

-1

-2

故选:AC

10.ACD

【分析】依题意可得。为ZC的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A,建立平

7T37r

面直角坐标系，求出圆。的方程，设尸事+cose，¥+sin。，-y,利用坐标法

判断B、C,由三点共线得到旃〃诙，即可求出。，从而求出x,九即可判断D.

【详解】因为/O=OC,即。为NC的中点，所以丽=!第+'就，故A正确;

22

如图建立平面直角坐标，则见(拒),(V2V2

0,0),c(Ao),/0,0nT'T

7

X

V2V2x"+0x^=—l，故B错误;

,BO=-—,则赤质=-亚

2722

又二2，

(⑹22

6=1,

所以圆。的方程为IX-2---J-+y-T

71371

设尸+cos6,+sin0,

I22J4'T

/j/y、

则5尸二+cosa^-+sin6,

7

、

正+cosj+0x—V2+sin<9

所以丽,灰=6=1+V2COS9,

2

1277

「、r八兀3兀I八AV/2

因为Oe-"了，所以-三」，

2

所以收COS6E[-1,逝],

答案第5页，共16页

所以BP-BCe[o,l+后],故而.前^最大值为1+亚，故C正确;

因为B,O,P三点共线，所以加〃团，

一（亚正、一（五V2）

又30=—,—,BP=—+cos0,—+sin0,

2222

匚5V2(41.„&/q+cos<9,即sin6»=cos(9,

x—+sm6>二-------X

所以工-J2

2.2)

7T

所以。），

所以丽=卜反,亚）,又数=（亚,0）,丽=仅阎,

且加=工强+了就，即（也,后）=尤（0,五）+夕（60）=（回,&x）,

■\[2x=y/2[x=1

所以ILL,所以<1）所以x+y=2,故D正确.

[6y=6卜=1

TTTT31713

【分析】利用导数证明小及产/即小宁，均成立,从而可得BCD

正确.假设A选项存在火eN*,使/=1,则&“=殁=1,与B选项中数列｛%｝单调递增矛

盾，可判断A.

【详解】对于B,要证数列｛%｝单调递增，只需要证sin^^>%,

令/(x)=sin-x-x,xG则/"(MqcosTx-l,

/''（x）在上单调递减，因为/《）=¥-1>0/（1）=-1<0,

故/'（x）在上存在唯一的零点看,

答案第6页，共16页

当xe时，/(x)>0,当xe(x(),l)时，/(x)<0,

所以/(x)=sinTx-x在xe为增函数，在xe伉,1)上为减函数，

因为0J(1)=0,所以当xe51)时，有/(x)>0即sin]x>x,

兀

令X=%,则有sin5a“>a“，故B正确；

对于A,假设存在keN*,使得%=1,则az=sin^=sin]=l,

所以。丘+1=1,所以。尢+1=%=1，

与B选项中数列｛%｝单调递增矛盾，故A错误;

对于C,要证%+izta”+；,只需证sin|•a“21■%+；,

1兀713

令g(x)=si吟X———cos—X——

4i4224

g'(x)在上单调递减，因为g[3=苧-：>0,(1)=-*<0,

故g'(x)在小]上存在唯一的零点为，

当xeg,xj时，g,(x)>0,当丁€(为,1)时，g'(x)<0,

所以g(x)=sin]x-《x-；在为增函数，在(%,1)上为减函数，

因为g[g)=g(l)=0，所以当xeg，lj时，有g(x)20即sin]x>；x+；,

兀31

令％=%,则有sin,%>[〃〃+],故C正确;

.713713

对于D,令力(%)=sin—x----x,xG则〃(x)=(COS——X—

2222

“(X)在上单调递减，因为/[]=苧_：<04(1)=_：<0,

故〃(x)在g/上为减函数，

因为〃[j=0,所以当xe(0,^[时，总有=0即sin^xV^x，

7133

所以sin^%，即巴

整理得到：a„+1-a„<|«„,其中“=1,2,3,…，

答案第7页，共16页

41

故的—%W5al

1

a3~a2--^2，

aaa

n+X~n^~n

累加后可得。用-qV3工即＜2%+Sn,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：数列的单调性的判断需根据相邻两项差的符号来判断，但对于较为复杂

的数列（甚至是以递推关系给出的数列），其单调性、与该数列相关的不等式的证明需依靠

导数来证明，在该题中，数列的通项的范围依据数学归纳法才能得到.

12.2

【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得.

【详解】因为4=3J所以6=log34,

所以M=bg23xlog34=粤x誓^=2.

1g21g3

故答案为：2

13.9

【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案.

【详解】根据题意，甲组数据的平均数为2,方差为6,乙组数据的平均数为7,方差为1,

则两组数据混合后，新数据的平均数工=N=5,

则新数据的方差S2=\X[6+（2_5）2]+.X[1+（7_5）2]=9

故答案为：9

【分析】对/'（x）求导，利用导数判断其单调性和最值，令f=/（x）,整理得可得

/+（1_4+1_。=0,构建8«）=/+（1_力+1_a,结合/卜）的图象分析8«）的零点分布,

结合二次函数列式求解即可.

【详解】由题意可知:〃尤）的定义域为R,则/'（x）=（l-x）e「"

答案第8页，共16页

当x<i时，r（x）>o；当x>i时，r（x）<o；

可知/（无）在（-8,1）内单调递减，在（1,+8）内单调递增，可得/'（x）V/■⑴=1,

且当X趋近于-00时，/（尤）趋近于-8；当X趋近于+8时，/（尤）趋近于0；

作出了（无）的图象，如图所示,

对于关于X的方程f(x)+〃力1=a,

令/=/(x)w-1,可得--y=a,整理得『+(1-a*+l-a=0,

且-1不为方程r+(1-。/+1-。=0的根，

可知方程T=a等价于「+(\-a)t+\-a=0,

1

若方程f（x）+小）+1=a有三个不相等的实数解,

可知厂+（l-a）t+l-a=0有两个不同的实数根f"%，"<’2>

且4<0<%2<1或0<%<1=%2或%=0<%2<1，

构建g(%)=/+(l_Q)/+l_Q,

g（0）=l-a<03

若4<0气<1,则不.今八，解得；

g（l）=3—2a>02

若。<-1,贝ijg⑴=3_2a=0,解得

此时方程为=解得。=-1耳=1，不合题意;

若4=0<4<1,贝!lg（0）=l—Q=0,角率得a=l,

此时方程为r=0,解得4=。=0,不合题意；

综上所述：实数0的取值范围为卜,|].

故答案为：

答案第9页，共16页

【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

（2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解.

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

15.（1）N/DC=45。

（2）6+2

【分析】（1）在“8C中，利用余弦定理可得/C=&,由等腰三角形可得4C4=30。,

然后在入〃）。中利用正弦定理即可求解；

（2）利用勾股定理求得8。=2啦，然后四边形面积分成SaBe+Sjm即可求解.

【详解】（1）在AA8C中，AB=BC=O,9=120°,所以/SC4=30°,

由余弦定理可得，/C?=（&（后j_2x逝*逝,即/C=&,

又BCLCD,所以乙4。=60。，

在八⑺。中，由正弦定理可得」—=—如—,得sin/NDC=正，

sin60°sinZADC2

因为/C＜4D,所以0。＜乙4。。＜60。，所以/4DC=45。.

（2）在RQBCD中,BC=&CD=4^,所以5D=2后，

所以，四边形的面积』〈X亚x^+gx后X2痔mN的

=6+2sinNABD,

当D48D=90°时，5max=V3+2,即四边形/BCD面积的最大值为百+2.

16.（1）证明见解析

⑵2

【分析】（1）过。作DM垂足为分析可知APBC为等边三角形，可得尸尸，BC,

结合面面垂直的性质可得尸F_L平面48CD,即可得结果；

（2）取线段4D的中点N,连接NF,建系，设£（0,0,。）,。目0,3],求平面BID的法向量,

利用空间向量处理线面夹角的问题.

答案第10页，共16页

【详解】（1）过。作垂足为

由题意知：为矩形，nTWAM=2,BC=DM=-^―=273,

tan60°

由PC=2jJ,/PC5=60。，则AP8C为等边三角形，且尸为线段3c的中点，则尸尸，8C,

又因为平面尸CBJ■平面4BCD,平面尸CBc平面48co=BC,PFu平面尸CB,

可得尸尸_L平面ABCD,且NDu平面ABCD,

所以P尸_L/。.

（2）由（1）可知：ABCD,

取线段的中点N,连接NF,则FN〃48,FN=2,

又因为4B_L3C,可知NF_LBC,

以尸为坐标原点，，尸尸分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则4（3,疯0）,0（1,-6,0）,网0,0,3，40q，9,

因为£为线段尸尸上一点，设E（0,0,a）,ae[0,3],

可得a=（2,2后0）,而=卜1,63）砺=勺,一Ga）,

n-DA=2x+26y=0

设平面P/O的法向量万=（x/,z）,则

n-DP=-x+下＞y+3z=0

令x=—3,贝!Jy=百,z=—2,可得元=（一3,君,一2）,

n-BE\_|23|V7

由题意可得："sm阮;-一।一厂,f—l+--“，

11\n\-\BE\4xj3+/4

整理得/_4〃+4=0,解得a=2,

所以当斯=2,直线3E与平面夹角的正弦值为立.

4

17.（1）答案见详解

答案第11页，共16页

（2）证明见详解

【分析】（1）求导可得/'（可=上尸，分和。>0两种情况，结合导函数的符号判断

原函数单调性；

（2）构建尸（x）=/（尤）+g（x）-x,x>0,力（x）=e=：,x>0,根据单调性以及零点存在性定

理分析M》）的零点和符号，进而可得尸（x）的单调性和最值，结合零点代换分析证明.

【详解】（1）由题意可得：/（x）的定义域为（0,+司，_f（x）=2ax-L=即』，

XX

当时，则2"2_1<。在（0,+的内恒成立，

可知/（x）在（0,+s）内单调递减;

当。>0时，令*（x）>0,解得x>;令/'(x)<0,解得0

2a

可知“X）在。，已

内单调递减，在内单调递增;

综上所述：当aWO时，/（X）在（0,+/）内单调递减;

在电

当Q〉0时,内单调递减，在内单调递增.

(2)构建/(%)=/(-^)+(x)--xqX-lnx-x-l,x>0,

则产(x)=(x+l)e"_L_l=(x+l)[e%-L

X

由x>0可知x+l〉0,

构建力（x）=e*-—,x>0,

因为八e*,y=」在（0,+功内单调递增,则为x）在（0,+e）内单调递增,

且O=G2<0,〃（l）=e-l>0,

可知〃（x）在（0,+s）内存在唯一零点/,

当0<x<Xo,则/z(x)<0,即O<x)<0；

当x>x0,则〃(x)>0,即9(x)>0；

答案第12页，共16页

可知尸（X）在（0,x0）内单调递减，在伉,+⑹内单调递增,

则尸（x）WF（Xo）=Xoe演-In%-%-1,

又因为e频-工=0,则招」,与=「。，/犯,1],

X。尤0（2）

-x

■pf^F（xo）=xox---lne°-x0-1=0,

%

即/（x）20,所以“x）+g（x）Wx.

18.⑴迎1

9

（2）g

o

【分析】（1）设尸根据题意结合导数的几何意义求得切线方程为y=x。x-；x：,

与椭圆方程联立，结合韦达定理求|/同，代入/=2即可得结果;

（2）根据题意可知：点G为AO/3的重心，进而可得

结合基本不等式求其最大值.

【详解】（1）由炉=2了可得y=g/,"=x,

设尸卜可知直线/的斜率左=%,

可知切线方程为y-gx；=x0（尤-/）,即＞=/苫一；片,

y=xQx—x0

联立方程22，消去y得（2X；+1）X2-2X；X+:X；-2=0,

X21'

可知△=4x；-4（2x；+l）f—XQ-2]=-2（X：-8X；-4）〉0,解得-，4+2/<x0<飞4+2加，

14_

X2?

设，（石，弘），8（x2，y2），则Y+Y_2xl_2°

•Aq-T一2x：+1'用马-2x^+1

J]+焉Q-x；+8x；+4

2尤:+1

若P的坐标为（2,2）,即q=2,

答案第13页，共16页

V2xVl+22x7-24+8X22+410也

所以|48|=

2X22+19

1

1、—x,2

(2)因为点。到直线-的距离/一一。n

1+x：

由题意可知：点G为AO/3的重心，且一”+2若<%<"+2加，

l2

11=—x乜2x0

可知=­X—d•\AB

r1

3232l+W2XQA

,2

x

_o—y

12

2

3J-x：+8x；+4

122+1J6

当且仅当，即X。=±也+而时，等号成AL,

所以△G/B面积的最大值为

6

【点睛】方法点睛：1.与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法

(1)数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解.

(2)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不

等式或导数法求最值(注意:有时需先换元后再求最值).

19.(1)见解析