2024年新高考数学一轮复习-平面向量基本定理及坐标表示

专题33平面向量基本定理及坐标表示

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解平面向量基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

【考点预测】

1.平面向量基本定理

⑴定理：如果'是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对

实数41,几2,使a=儿&+几20.

⑵基底：不共线的向量8,会叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算

⑴向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设3=（不，%）,b=（如㈤，贝！J

a+6=（矛1+灯,%+外）,a—b—（不一照,丁一刑）,

几a=（—xi,>％），Ia\=、/、+卢.

⑵向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；

②设/（xi,%）,8（x2,刃），则4g=（打一不，及一%）,

\AB\=、1（二一xi）2+（现一/i）、

3.平面向量共线的坐标表示

设右=（否，yi）,b=（A2,%），a//b^Xiy2—x2yi=0.

【常用结论】

L平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.

2.若a与6不共线，Xa+〃6=0,则4=〃=0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位

置，它们的坐标都是相同的.

4.已知，为线段么？的中点，若4（不，）,以如K）,则点2的坐标为性上，822

71已知△/回的顶点

'xi+至+照/+4+对

力（矛1,%）,B（X2,㈤，。（矛3,%）,则△49。的重心G的坐标为

33~~/

【方法技巧】

1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运

算.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量

的形式，再通过向量的运算来解决.

3.向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载

体.

4.平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)若a=(xi,yi),b=%),其中6W0,则a〃6的充要条件是荀及=微几

⑵在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为Aa(AeR).

二、【题型归类】

【题型一】平面向量基本定理的应用

【典例1】在△/及7中，点〃£分别在边比；北上，且应上2比,浜=3应若诵=a,AC^b,则应等于()

A•铲+1^B.~a--b

15113

C一1一砂D--3a+Ub

【解析】DE=DC+CE

1一,3一

=~BC-\—^CA

=;(左一丽-1通

1一5一15,

——AB——AC=~-a——b.

J，乙O乙

故选c.

【典例2】在中，点尸是上一点，且浮=可2+点次0是欧的中点，第与"的交点为必又9

O0

tCP,贝Ut的值为.

【解析】如图所示.

'：A,M,0三点共线，

.•.唬=入涝+(l—x)游

=~CB+(1—;r)CA,

又•.•屏，方+J为，CM=tCP,

o

X1

---△

233

-

24

1

-X-3-

【典例3】在梯形48（力中，AB//CD,AB=2CD,M,N分别为切，6c的中点.若26=2力科〃外则八+〃

等

于

1234

-艮-C--

555D.5

184

【解析】因为茄=疝+砺=病+而=而+（2+疝=2疝+或+荡=2而一押一施所以范=飘飞应所

484

以'=一匚'〃=匚'所以"+〃=反

故选D.

【题型二】平面向量的坐标运算

【典例1］已知a=（5,—2）,b=（—4,—3）,若a—2b+3c=0,则。等于（）

【解析】Va—2b+3c=0,

1.、

c=~~\a—2o).

O

*.*a—26=(5,—2)一(—8,—6)=(13,4),

1/(13G

••.C=--(a-2A)=|--d.

故选D.

【典例2］如图，在直角梯形/加刀中，AB//DC,ADVDC,AD=DC=2AB,£为/〃的中点，若落=44+〃施

（4,〃仁R）,贝lj4十〃的值为（）

688

A-5B-5C-2D-3

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,

则〃(o,0)・

不妨设49=1,则677=49=2,

・・・。(2,0),2(0,2),6(1,2),£(0,2),

：.G4=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),

"：~CA=ACE+uDB,

•••(—2,2)=A(—2,1)+"(1.2),

6

1--

A5

—24十〃=

2

4+2〃=2,-

〃-

5

8

故A1+--

5.

故选B.

“一》

【典例3】向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若C=4E+〃6（X,〃£R）,则下等于（）

A.1B.2

C.3D.4

【解析】以向量a和b的交点。为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长为1）,

则4(1,-1),6(6,2),。(5,-1),

a=AO=(―1,1),b—OB=(6,2),

c—BC=(―L—3),

*.*c=Xa+〃b,

(—1,—3)=几(—1,1)+//(6,2),

—几+6〃=—1,

X+2〃=—3,

4=一2,

解得《1

2

-2

4

-1-

-

-2

故选D.

【题型三】利用向量共线求参数

【典例1】已知向量〃=(2,1),b=(x,-1),且a—6与6共线，则x的值为

【解析】-2,1),b=(x,-1),

:・a—b—(2—x,2),

又,：a—b与b共线，

(2—x)X(—1)—2x=0,

x——2.

【典例2】已知向量洒=(4,12),应=(4,5),龙=(—彳，10),且4B,。三点共线，则4的值是()

24

--

A.-3B.3

C.

11

--

2D.3

【解析】49=必一如=(4一"，-7),

AC=OC-OA=(.-2k,-2).

因为4B,C三点共线，所以茄，应共线，

2

所以一2X(4—A)=-7X(―'2彳)，解得〃=一§.

故选A.

【题型四】利用向量共线求向量或点的坐标

8(4,3),OC=^M,OD=^OB,AD与BC交手点M,则点〃

【典例1】在中，已知点。(0,0),4(0,5),

的坐标为.

【解析】因为点0(0,0),4(0,5),庾4,3),

同理点彳2,|)

所以点

设〃的坐标为(x,y),

则y—5),而筋=(2,一习，

因为/,M,〃三点共线，所以砒为共线，

7

所以一］x—2(_pr—5)=0,即7x+4y=20,

而葡=(x,y—1j,应=(4—0,3—,=(4,%

因为C,M,6三点共线，所以或与融线，

所以［x—4(y—［)=。，即7x—16y=-20,

,,f12

(7x+4y=20,x=—,

由得7

〔7x—16y=-20,

Lr=2,

所以点〃的坐标为与，2).

【典例2】已知点4(4,0),B(4,4),C(2,6),。为坐标原点，则AC与加的交点户的坐标为.

【解析】法一由。，P,8三点共线，可设匠=才应=(4儿，44),则方一全一应=(4才-4,44).

又位二龙一涝=(—2,6),

由能与万共线，得(41—4)X6—44X(—2)=0,

解得a=|，所以"|宓=(3,3),

所以点尸的坐标为(3,3).

法二设点/(x,力，则俨=(x,y),因为加=(4,4),且啰与明^线，所以:=；,即x=y.

又苏三(x—4,y),通=(一2,6),且诵与位共线,

所以(x—4)X6-7X(-2)=0,

解得了=尸3,

所以点户的坐标为(3,3).

三、【培优训练】

JI

【训练一】已知在Rt△/回中，2=5，AB^3,芥=4,户为笈上任意一点(含乡。，以户为圆心，1为半

径作圆，0为圆上任意一点，设而=且诵+%Z,则a+b的最大值为()

【解析】根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则。（0,4）,6（3,0）,易知点。运动的区域为图

中的两条线段庞，”与两个半圆围成的区域（含边界），由/匕蕨三（3a,46）,设z=a+6,则6=z

—fx=3a,4

—a,所以Zg（3a,4z—4a）.设。（x,y）,所以彳消去分得p=-p+4z,则当点尸运动时，

［尸4z—443

4

直线y=—§x+4z与圆相切时，直线的纵截距最大，即z取得最大值，不妨作4a放于0,并延长交每个

1917417

圆的公切线于点R,则|/0=—,\AR\=—,所以点A到直线y=~~x+^z,即4x+3yT2z=0的距离为『

00O0

所以‘解得Z=11,即a+6的最大值为白.

-\/3+451212

故选C.

【训练二】（多选）己知向量8,已是平面a内的一组基向量，。为a内的定点，对于a内任意一点只当

旗+y0时，则称有序实数对（x,力为点？的广义坐标.若点46的广义坐标分别为（荀，为），（如

及），关于下列命题正确的是（）

A.线段位？的中点的广义坐标为产妥，空»

B.A,6两点间的距离为7（xi—X2）°+（%一亥）”

C.向量应平行于向量为的充要条件是xj=X2%

D.向量应垂直于血勺充要条件是不范+防度=0

【解析】由中点的意义知A正确；

只有在ei,伪互相垂直时，两点间的距离公式B才正确，B错误;

由向量平行的充要条件得C正确；

只有a,a互相垂直时，的与施垂直的充要条件为XIX2+MK=0,D不正确.

故选AC.

【训练三】己知△力6c中，AB=2,47=1,N&C=120°,49为角平分线.

A

B

（1）求么?的长度;

(2)过点，作直线交/氏/C的延长线于不同两点£,F,且满足懑=人诵，AF=yAC,求工+2的值，并说明理

Xy

由.

【解析】(1)根据角平分线定理：笔=当=2,所以号|，

UC力。DCo

所以为=诵+诙=诵+翔=诵+|(左-丽=(诵+|北，

-1->4—-4f44442

所以/万=6/)+斓小所以/〃=1•

yyyyyyyj

fffff]f2r]>2—►

(2)因为森=x诵，AF=yAC,所以诙=翔+大宓=丁懑'+『瀛；

333x3y

1919

因为£,D,厂三点共线，所以『+『=1,所以-+-=3.

6x6yxy

【训练四】如图，G是△》6的重心，P,0分别是边力，如上的动点，且RG,0三点共线.

⑴设元'=么沟，将应用A,0P,应表示；

(2)设OQ=-yOB,求证：是定值.

xy

【解析】⑴解OG=OP+PG

=市+APQ

=0P+2(OQ~~OP)

=(1-4)游+AOQ.

⑵证明由⑴得小=(1-4)游+4为

=(1—4)xOA-\-4yOB,

因为G是△物8的重心，

—2—21——

所以%*5(以+5)

=-OA+~OB.

uJ

又应，应不共线,

(1-

所以《

ri,

一=3-34，

x

解得《

J=3A-

所以。,=3,即'+,为定值.

xyxy

【训练五】如图，在△次中，点/是线段6。的中点，点〃是线段加上一个靠近点6的三等分点，设瀛=

a,AO—b.

(1)用向量a与力表示向量亦CD;

⑵若龙=9洒，判断GD,£三点是否共线，并说明理由.

5

【解析】(1)因为点力是线段芯的中点，点方是线段加上一个靠近点8的三等分点，所以而=—成，CB=

2AB,诙而因为初=a,AO=b,所以应-应+蕉=一而一成=一@一6,而=应+诙=2葩+：质=2成+]

,一,一、5一,1—5,1,

⑵C,D,£三点不共线.理由如下：

，一3一

因为庞三丁以，

5

—fff3—f3f32

所以CE=C0+OE—CO-\--OA=—OC—-AO=a+b—~b—a~\~~b,

5555

由(1)知而

oo

所以不存在实数X,使得也'=4而

所以C,D,£三点不共线.

【训练六】如图，在同一个平面内，三个单位向量应，0B,应满足条件：应与沆的夹角B\9

为。，且tana=7,宓与沆的夹角为45°.若亦=勿应+〃应(0，〃GR),求的值.A

【解析】以。为原点，力的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系,

由tan〃=7知。为锐角,

则sina=陪，cosa呼,

|,sin(a+45。)4

故cos(a+45°)5,

・,•点6,C的坐标分别为

41)

3£

,0C=

5,5

又OC=mOA+nOB,

3£

Ml,o)+，5

3—也5^2

m5n~10m~8

AS解得

47啦7/

j,n~10n~8,

…片哈+?=平.

四、【强化测试】

【单选题】

1.已知向量a,6满足己一6=(1,-5),a+2b—(—2,1),则力=()

A.(1,2)B.(1,一2)

C.(-1,2)D.(―L—2)

【解析】因为3一6=(1,-5)①，a+2b=(-2,1)②，所以②一①得36=(—3,6),所以6=(—1,2).

故选C.

2.设向量8,会是平面内的一组基底，若向量a=-3&—0与6=8-4/共线，则4=()

11

3-B.-3-

C.-3D.3

【解析】方法一：因为3与6共线，所以存在〃£R,使得即一3&—e=〃(8—4改).

1

解

得-

故〃=-3,=-3-

故选B.

方法二：因为向量&,立是平面内的一组基底,

1—A1

故由a与方共线可得，-=—>解得八下

故选B.

3.已知如是平行四边形如回的一条对角线，〃为坐标原点，应=(2,4),而=33),若点£满足亦=

3击则点£的坐标为()

22、1_r‘22'

A.B.C.D.

-33-3?I于3

【解析】易知OC=OB—OA—(—1,—1),则C(—1,—1),设£(x,y),则3£。=3(—1—x,—1—0=(—3

—3x,—3—3y)由。C=3£C知

f—3—3尸一1,

2

x=~29

22、

所以《

2所以3J-3/

尸一丁

故选A.

4.已知在山△/%中，ZBAC=90°，AB=1,47=2,，是△/a'内一点，且/物6=60°,设崩=4诵+

H~AC{A,〃£R),则q=()

卜・半BY

C.3D.2小

【解析】如图，以/为原点，Z8所在直线为x轴，ZC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则8点的坐标

为(1,0),。点的坐标为(0,2),

因为N/M5=60°,所以设，点的坐标为(以，事而5于0).

__巧

AD=(如y[3ni)=几力6+uAC=4(1,0)+〃(0,2)=(4，2〃)，贝U入=m,且〃=~-m,

所以齐坐

故选A.

5.设向量a=E,2),6=(1,勿+1),且a与6的方向相反，则实数〃的值为()

A.-2B.1

C.-2或1D.0的值不存在

【解析】向量a=(勿,2),b=(1,zzz+l),因为所以勿(勿+1)=2*1,解得力=—2或〃=1.当/=1

时，a=(1,2),b=(1,2),a与6的方向相同，舍去；当必=-2时，a=(—2,2),b=(1,—1),a与6的

方向相反，符合题意.

故选A.

6.如图，已知花=a,AC=b,BC=^BD,~CA=ZCE,则应'=()

313

6R56

4--3-a-a-4-

A.c125

31-3

-a-66-H

4-3D.12-4

5一3f5,3

-(AC—^B)一§花=-AC--AB=-b--a.

故选D.

7.已知等边三角形力笈的边长为4,。为三角形内一点，且9+0+2应'=0,则△/血的面积是()

A.4y[3B.

O

C.芈D.2事

0

【解析】根据题意，设志边的中点为〃

因为△放是等边三角形，则CDLAB.

由48的中点为2,得应+应=2而，

又由近+应+2应上0,得应'=一应，则。是的中点，又△/回的边长为4,则"=2,

CM24,则OD=y[3,

所以SAMIB=TX4X木=2乖.

故选D.

8.在矩形46(力中，46=4,/。=3,M,"分别是26,49上的动点，且满足2|法+|旃=1,设击=及刖

yAN,则2x+3y的最小值为()

A.48B.49C.50D.51

【解析】如图，建立平面直角坐标系，则40,0),

8(4,0),<7(4,3),以0,3).

设〃(必，0),MO,ri),因为2|疵+|而=1,

所以2E+/7=1(0W辰］,

因为五=高什/沁诵+茄，

…43

所以工=一，尸一，

mn

所以2了+3/=§+2=0+3(2加+〃)=25+—+—^25+24=49,

mn\mn)mn

当且仅当包=四,即0=£,〃=方寸取等号.

mn77

故选B.

【多选题】

9.已知向量应=(1,-3),应=(2,-1),庆=(m+L«-2),若点4B,。能构成三角形，则实数/可

以是

1

A2-

B.2

C.1D.-1

【解析】各选项代入验证，若4B,。三点不共线即可构成三角形.因为而=赤_而=(2,—1)—(1,-

3)=(1,2),AC=OC-OA=(7»+1,0一2)一(1,-3)=(0，/+1).假设4B,。三点共线，则1X(〃+1)

—2zz?=0,即〃=1.所以只要%#1,贝！J/,B,。三点即可构成三角形.

故选ABD.

10.已知等边三角形/回内接于。。，〃为线段办的中点，则瓦)=()

211

B

3-6-6-

C.加+振

D.

J

【解析】如图所示，设理的中点为£,则诙=加+诙=为+；懑=击+:(成+防=击一颉+"><：瓦=|加+

OOJJ乙J

1

6

故选AC.

11.设a是已知的平面向量且HWO,关于向量H的分解，有如下四个命题(向量6,。和〃在同一平面内且

两两不共线），则真命题是（）

A.给定向量6,总存在向量c,使a=6+c

B.给定向量b和c,总存在实数4和〃，使

C.给定单位向量6和正数〃，总存在单位向量c和实数A,使a=幺6+〃c

D.给定正数才和〃，总存在单位向量b和单位向量c,使a=A6+〃c

【解析】：向量6,c和a在同一平面内且两两不共线，

.•.挣0,c#0,

给定向量a和6,只需求得其向量差a—b,

即为所求的向量c，

故总存在向量c,使a=6+c,故A正确；

当向量4c和a在同一平面内且两两不共线时，向量4c可作基底，

由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；

取a=（4,4）,P=2,b=（1,0）,

无论A取何值，向量46都平行于x轴，而向量的模恒等于2,

要使a=A6+成立，根据平行四边形法则，向量〃c的纵坐标一定为4,

故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；

因为A和〃为正数，所以八6和4c代表与原向量同向的且有固定长度的向量，

这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，

故不一定能使a=才6+成立，故D错误.

故选AB.

12.如图，6是4C的中点，~BE=2OB,2是平行四边形瓦场内（含边界）的一点，且鼻血+y而（x,ydR）,

则下列结论中正确的是（）

A.当x=0时，ye[2,3]

15

B.当尸是线段CF的中点时，x=一万，y=2

C.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中，点尸的轨迹是一条线段

D.当户在C点时，x=l,y=2

【解析】当游三y应时，点户在线段座上，故1WJ<3,故A中结论错误;

当户是线段位的中点时，

费=龙+旗=3应+?（砺+而

=3应+（（-2应+而

=3OB+^-2OB+~OB-OA）

=—故B中结论正确；

当x+y为定值1时，A,B,9三点共线，又尸是平行四边形式/内（含边界）的一点，故月的轨迹是一条线

段，故C中结论正确；

一1一一

因为仍=5（。。+如），

所以扬=2应一而，

则游三一应+2为，

所以x=—1,y=2,D错误.

故选BC.

【填空题】

13.设8,0是平面内一组基向量，且a=ei+2o,6=—台+白，则向量&+/可以表示为另一组基向量a,

6的线性组合，即&+/=a+b.

【解析】由题意，设8+a=侬+46.

因为a=&+2/，b=—&+/，

所以a+a=R（&+2a）+〃（一61+。）=（ZZ7—/?）ei+（2R+〃）A.

2

m=q,

加-77=1,O

由平面向量基本定理，得所以3

2"+〃=1,1

n———

14.已知点4（2,3）,8（4,5）,<7（7,10）,若方三诵+4赤（4GR）,且点尸在直线x—2y=0上，则A的

值为.

【解析】设户（x,。，则由苏三诵+儿必得（了一2,了-3）=⑵2）+才（5,7）=（2+5儿，2+7儿），所以

2

x=54+4,y=74+5.又点夕在直线x—2尸0上，故54+4—2（74+5）=0,解得几=一可.

o

15.在△/如中，AC=^AB,2为必的中点，若比=4涝+〃游，则4〃的值为

5

【解析】因为亦=自互所以萧V（融一丽，因为〃为出的中点，所以而=:而,

552

所以DC=DO~\~OC=—二OB+(OA~\~A。=—二OB+OA~\~三(OB—OA)=^OA—二OB,所以=-,〃=-77?贝!J几〃

225510510

的值为一郎.

16.已知。为坐标原点，向量而=(1,2),0=(-2,-1),若2赤=赤,则|羽=.

【解析】设〃点坐标为(x，。，AB—OB—OA—(—2,—1)一(1,2)=(—3,—3),AP=(x—1,y—2),由

1

-

蛆

Ji11

2x—2=—3,2故

'解得＜f-4-十4-2

{2y-4=-3,

【解答题】

17.已知a=(1,0),b=(2,1),

(1)当A为何值时，ka—b与乃+2力共线；

⑵若葩=2a+36,瓦=己+必且4B,。三点共线，求力的值.

【解析】⑴射一方=表(1,0)—(2,1)=(A—2,—1),

a+2b=(l,0)+2(2,1)=(5,2).

°：ka—b与a+2b共线，

・・・2(«—2)一(-1)X5=0,

即2A—4+5=0,得4=一；.

⑵方法一•・•/,&。三点共线，：.AB=ABC,

即2H+36=A(a~\~m6),

[2=4，3

•'J.解得力=5.

〔3=切人，/

方法二AB=2a+3b=2(l,0)+3(2,1)=(8,3),

BC=a+/nb=(1,0)+力(2,1)=(2%+1,ni),

'：A,B,。三点共线，：.AB//BC,

3

.•・8加一3(2%+1)=0,即2R—3=0,:.111=0

18.己知/(一2,4),6(3,-1),C(-3,-4).设荔=a,Jc=b,CA=c,且芯3c,CN=~2b.

⑴求3a~\~b—3c；

⑵求满足a=mb+nc的实数m,〃；

(3)求必N的坐标及向量仞1的坐标.

【解析】由已知得司=(5,—5),b=(—6,—3),c=(1,8).

(1)3a-\-b—3c=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)

=(15—6—3,—15—3—24)=(6,—42).

(2)方法一''mb+nc=(-6勿+〃，一3皿+8〃)，

[—6/77+77=5,fzz7=-1,

・'IT…F解得

方法二,.,2+8+。=0,

/.a——b—c,

又a=mb+nc,

mb-\-nc=­b~c,

[〃=­1.

⑶设。为坐标原点质―应上3c,

：.OM=2,c+OC=(3,24)+(-3,-4)

=(0,20).

.".#(0,20).

又,:由｛=木一定=—2b,

：.m=~2b+OC^