云南省2024届高三“333”高考备考诊断性联考卷（三）数学试卷

云南省2024届高三“333”高考备考诊断性联考卷(三)数学

试卷

学校:姓名:班级：考号：

一、单选题

I.已知集合/={x|y=lnx},集合8={y|y=lnx},则()

A.0B.RC.(0,+e)D.(-8,0)

2.若复数z=(l+i)(2+i),则z的模为()

A.2B.y/5C.3D.V10

3.已知等差数列{%}满足：4=1,4+即)=184,为数列{4}的前〃项和，则Sg=()

A.18B.45C.90D.180

4.从2022年秋季学期起，云南省启动实施高考综合改革，从2025年起普通高考将实施

“3+1+2”模式，其中3是指语文、数学、外语3门统一高考科目，1是指从物理或历史科目中

选择1门，2是指从思想政治、地理、化学、生物任选2门，小明将要在2025年参加高考，则

小明参加考试的科目可能有()种情况.

A.12B.36C.6D.18

5.非零向量凡5,则万石<0是5与5所成角为钝角的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

6.若sine+sin(e+1)=*，贝！|sin(®+/)=()

A.yB.3C.1D.显

7.如图，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圆面是底，圆的半径记为R,垂直于

截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，记为〃，则球冠的曲面面积5=2兀/3.球O是棱长

为1的正方体N8CO-/'8'C'。'的棱切球，则球。在正方体/8CD-/'8'CZ>'外面部分曲面

的面积为()

试卷第1页，共4页

H

A.2（V2-1）TTB.4（V2-1）7CC.6（啦-1）兀D.3（后-1卜

8.已知函数/（力=］》2—x（lnr-b-l）,a,b€R,且/（x）在区间（0,+s）上单调递增，则2a+6

的最小值为（）

A.0B.-C.In2D.-1

e

二、多选题

9.已知函数/(》)=5皿3+9),0>0,9€(0,兀)，如图，图象经过点力倍,11,8r,0

则()

A.co=2

71

B.(p=—

6

C.》=皆是函数/(x)的一条对称轴

D.函数/(x)在区间(工,詈)上单调递增

10.已知棱长为1的正方体/8CD-H8'C'Q',点P是面对角线8C'上的任一点，则4尸+尸C

的值可能是()

A.73B.2C."yD.42+亚

11.已知定义在R上的函数/(x),对任意的xj满足

/（x+/（x+y））+/（盯）=x+/（x+y）+W（x）,下列说法正确的是（）

A.若/(x)为一次函数，贝|/(0)=0

试卷第2页，共4页

B.若/(x)为一次函数，则/(1)=1

C.若/(x)不是一次函数且/(。)=0,则/(-1)=一1

D.若f(x)不是一次函数且〃0)=0,则/⑴=1

三、填空题

12.已知正数左丁满足x+y=4,则的最小值为__________.

x4

13.已知在A/8C中，N"=I2(r,且48=3,NC=5,£＞是8c上的一点，且/04/8,贝U

BD=.

14.现有标号依次为1,2,3的盒子，标号为1的盒子里面有2个红球和2个白球，其余盒子

里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里面取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里

面取出2个球放入3号盒子，则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为.

四、解答题

15.4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间

的分配情况，对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间(单位：小时)，得到样本数据,

并绘制如图所示的频率分布直方图.

八糖率./州即

0.15------------1-1

o

o

o

o

o

681012141618日平均阕读

时间小酎

(1)求频率分布直方图中。的值；

(2)根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间兀(每组数据用该组的区间中点值作

代表)

(3)将(2)所得到的日平均阅读时间『保留为整数，并根据频率分布直方图估算师生日平均

试卷第3页，共4页

阅读时间的方差b?.

16.已知数列｛凡｝,%=l,a“+|=S,+1("理〃eZ).

⑴求?;

Q)令b,=吟红，骞为数列也｝的前〃项和，求兀

17.如图，已知在斜三棱柱/8C-H8C'中，是边长为2的菱形，且

7T

/ABB'=m，B'C=BC.

(2)若ZC=Z8,E是/C的中点，2元7=5而，求4P与平面/8E所成线面角的正弦值.

18.已知函数/(x)=(x-2)e、+■I'xJox.

(1)当。=0时，求函数“X)的最小值：

(2)讨论函数/(x)的单调性.

19.已知椭圆C：，+/=l(a>6>0)的离心率为十,上、下顶点与其中一个焦点围成的三角

形面积为百，过点尸(T-3)作椭圆C的两条切线，切点为48.

(1)求椭圆。的方程；

(2)求所在直线的方程；

(3)过点P作直线/交椭圆C于M,N两点，交直线43于点。，求爵得的值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据题意，利用对数函数的图象与性质，求得集合48,结合集合交集的运算，即

可求解.

【详解】由对数函数y=hu,解得x>0且值域为R,所以集合/=(O,+8),B=R,

所以4c8=(0,+8).

故选：C.

2.D

【分析】根据题意，求得z=l+3i,结合复数模的运算公式，即可求解.

【详解】由复数z=(l+i)(2+i)=l+3i,所以恸=4+数=J6

故选：D.

3.B

【分析】由等差中项的性质可得%,进而利用等差数列的前〃项和即可求解.

【详解】由6+40=18,得2a9=18,即%=9,

于是$9=93；49)=45.

故选：B.

4.A

【分析】根据分步乘法计数原理和组合数的计算即可求解.

【详解】由题意可知：小明共有C；xC；=12种情况.

故选：A.

5.B

【分析】根据充分、必要性定义，结合向量的数量积的定义，即可确定答案.

【详解】当)与5方向相反时，心6<0,所以万万<0是3与5所成角为钝角非充分条件；

当2与B所成角为钝角时，由展B=|司・WcosO,故屐5<0是2与5所成角为钝角的必要条

件，

故选：B.

6.A

【分析】根据题意，利用两角和与差的三角函数，准确运算，即可求解.

答案第1页，共13页

【详解】由sin6+sin（e+mj=$抽（夕+2—今］+5沦［夕+看+向=2sin^<9+^-jcos-^-=^-,

即2sin（6+£）x*=手，所以sin（8+£）=；.

故选：A.

7.D

【分析】设正方体ZBCO-H*C。'的棱切球半径为一，利用几何关系可求出球冠的高“，

再求出R,代入球冠的曲面面积S=2兀R〃，即可得出答案.

【详解】如图，正方体与正方体的棱切球形成六个球冠，

正方体ABCD-AB'CD1的棱切球半径为一,则2r==应，

所以r=也,又球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半;，

22

则，=厂一1=也二1,又2R=1,所以R=（，

222

耍3/1）兀，

所以所求曲面的面积为:S=6x2x兀x—x

2

故选：D.

8.C

【分析】根据题意，转化为"+62Inx在（0,+8）上恒成立，对于使得2a+b取得最小值时,

直线y="x+b和函数y=lnx的图象相切，求得y=lnx上的一点（后,1叫）的切线方程为

12?

y=-x+\nx（）-\,得到2a+Z?N—+lnv0-1,令g（%）=—+加工-1,利用导数求得函数的单调

/%x

性与最小值，即可求解.

【详解】由=在区间（0,+功上单调递增，

所以/'（X）=亦+b-InxN0在（0,+8）上恒成立，即ax+62Inr在（0,+8）上恒成立，

答案第2页，共13页

对于使得2a+b取得最小值时，直线y=+b和函数y=liu■的图象相切,

又由y=hu,可得y'=L,则".』=一,

XX。

可得y=hu•在点(X0，1叫)的切线为、-1叫=’卜一4),即尸，x+ln%-1,

xo演)

12

令*a=—,b=InXg-1,所:以2a+b之----FInx。一1,

xo工0

^-g(x)=-+lnx-l(x>0),所以8(力」一马=土的，

XXXX

当xe(O,2)时，g,(x)<0；当xe(2,+8)时，g,(x)>0,

所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，所以g(x)1111n;8⑵=ln2,

所以2“+6的最小值为ln2.

故选：C.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略:

1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；

2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

9.AD

【分析】由/总可得周期，进而得°；将点自】代入可得夕的值；由

萼7i]=sin/m兀+前二1来可判断x=¥不是对称轴；由正弦函数的单调性可求/(x)的

\12J\o3712

单调递增区间.

【详解】由"(x)=sin(ox+*)及过4倍,11,8停,o],得即7=兀，

所以27T

同=兀，又。＞0,解得⑷=2,故A正确；

d

点

又⑶代入,得sin(2x展+夕卜1,

兀

„一

:+e=；+2%兀,左€Z,又69>0,。E(0,兀)，于是9=7，故B不正确;

623

故C不正确;

答案第3页，共13页

由2ht-巴42x+—<2ATT+—,k6Z,得我兀———<x<^7t+—,^eZ

2321212

于是/'(x)的单调递增区间为-■5+〃兀，五+"eZ,令左=1可知D正确.

故选：AD.

10.BCD

【分析】根据点P所在的特殊位置，分别求出“尸+PC,可得答案.

【详解】如图，当点P在顶点B处时，AP+PC=AB+BC=2,故B选项正确；

当点尸在线段8C'的中点时，”=%或]=叁PC=—,AP+PC=J^+五,故

y[2)222

C选项正确；

把三角形BCC'沿8C'展开，使点C与48,C',。在同一平面，

当点P为8C与NC的交点时，AP+PC>AC,

在“BC中，AB=BC=1,45C=135°,

AC1=AB-+BC2-2AB-BCcosZABC=2+&，

所以」P+尸C的最小值为小2+逐，故D选项正确；

因为也+夜>石，故A选项不正确.

故选：BCD.

【分析】根据题意，令/(x)=ax+b,列出方程组，求得6的值，得到函数的解析式，再

结合赋值法，求得/(-1)，/(1)的值，即可求解.

【详解】若〃x)为一次函数，令八x)=ax+b,

由f(x+/(x+y))+/(盯)=/(x+a(x+y)+b)+f^xy^=ax+a2x+a2y+ah+h+axy+b

又由x+/(x+y)+M(x)=x+a(x+y)+b+axy+by,

答案第4页，共13页

因为/(x+/(x+y))+/(号)=x+/(x+y)+W(x)，

a2=1

可得a?(x+y)+(a+1)6=x+(a+6)y,B[J-a2=a+6,

(a+l)6=0

解得。=1,6=0或。=-1,6=2,

当a=l,6=0时，/(x)=x；当a=-l,6=2时，f(x)^2-x,

所以当/(x)为一次函数时，"0)=0或40)=2,所以A不正确;

令x=l,可得/(1)=1,所以B正确;

令N=l，则/(x+/(x+l))=x+/(x+l),因为/(0)=0,

令尸-1,所以=所以C正确;

令V=-l，则/(x+/(x-l))+/(-x)=x+/(x-l)-/(x),

由/(0)=0,令x=l,所以/。)=1,故D正确.

故选：BCD.

12.0

【分析】根据题意，化简得到［-斗=,-与='+5-1,结合基本不等式，即可求解.

X4X4X4

【详解】由正数满足x+y=4,可得y=4-x,

所以工-5=_［一±±=工+'-122,1-1=0,当且仅当x=y=2时取等号，

x4X4X4V4

所以！的最小值为0.

x4

故答案为：0.

429

13.—13—

1111

【分析】先利用余弦定理求出8C,再利用余弦定理求出cosB,再解Rt/X/BO即可.

【详解】在“BC中,4=120°,且45=3,4C=5,

由余弦定理得8c2=9+25-2x3x5x(-g)=49,即8c=7,

9+49—253311AR4?

则cosB=方又8所而'所以.=正

2x3x742

答案第5页，共13页

B

D

AD

故答案为：jy.

14.H

18

【分析】设4：从标号为1的盒子中取出的2个球中有i个红球，i=0,1,2,B-.3号盒子里

面是2个红球和2个白球，则8=48U48U48，由概率的乘法公式和全概率公式可得

P(B)=p(Bl4)P(4)+P(例4)尸(4)+尸(8乜)尸(4),再由古典概型分别求出对应结果,

代入计算即可得到答案.

【详解】设4：从标号为1的盒子中取出的2个球中有i个红球，i=o,1,2,

B：3号盒子里面是2个红球和2个白球，所以B=48U48U48,

则/(3)=P(48U45W4B)=P(48)+P(4B)+P(43)

=尸(以4)尸(4)+尸(Bl4)P(4)+P(H4)P(4)

z~i2/~^lz^l010102

_2^1.55yy1555

「2「2「2「2「2「2

11221111

=—X——|——X——|——x—二——

62336218,

故答案为：2

1O

15.(1)62=0.1

(2)9.16(小时)

(3)9；13.28.

【分析】(1)由频率分布直方图概率之和为1,求解即可；

(2)由频率分布直方图平均数的计算公式求解即可；

(3)由频率分布直方图的方差公式求解即可.

【详解】(1)由概率和为1得：2x(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,

解得a=0.1.

答案第6页，共13页

(2)由题意知，T为全校师生日平均阅读时间，则

F=0.04x1+0.06x3+0.1x5+0.1x7+03x9+0.2x11+0.1x13+0.08x15+0.02x17=9.16,

所以全校师生日平均阅读时间为7=9.16(小时).

(3)将亍保留整数则由题意知：

o-2=0.04x(l-9)2+0.06x(3-9)2+0.Ix(5-9)2+0.1x(7-9)2+03x(9-9)2

+0.2x(11-9>+0.1x(13-9>+0.08x(15-9)2+0.02x(17-9)2=13.28

所以估算师生日平均阅读时间的方差为13.28.

16.⑴a“=2i

⑵7；=4-("+2)出1

【分析】⑴利用%=5“+1得到«„=S,T+1,再用两式相减可得an+1=2a„,由于此时n>2,

所以需要对第一项和第二项进行检验，々=SI+l=4+l=2q,最后可判断｛6｝是等比数歹

并求出通项；

(2)先求出再利用错位相减法来求出它的前"项和.

【详解】(1)由《用=S"+l(〃21,〃eZ),

所以当“N2时,有a,=Sz+l,两式相减得:a„+1-«„=5„-S„_,=a„,

即«„+i=2a„.

又有的=£+1=q+1=2%,

所以｛4｝是以4=1为首项，公比为2的等比数列，所以勺=2"，

(2)由(1)知：=2am,

=咱+2x(1+3x]1+一一1旧+〃x(3

答案第7页，共13页

上面两式相减得:

411，力广2-(〃+2%，

与"出+出+…+(3=1

2

所以4=4-5+2)

17.(1)证明见解析

喈.

【分析】(1)先由线面垂直的判定定理证明A'B1平面8NC得到A'BIAC,再证明BBL平

面"C。，得到/C_L88',进而由面面垂直的判定定理证明结果即可；

(2)利用(1)的结论建立如图所示坐标系，求出平面/8E的法向量，代入线面角的向量

公式，求出结果即可.

【详解】(1)证明：如图，连接Z8',取88'的中点。，连接

又由/8_L8'C,且/5'u平面BNC,8'Cu平面8'NC,

所以/'8_L平面8'/C,故而/'8L/C①.

7T

又由=所以A/8"为等边三角形，

所以

由8'C=8C,所以CQ_L88',且4。0。0=。，/Qu平面/C。，CQu平面/C。,

所以88」平面NCQ，所以NC_L8"②，

由①②BB'cAB=B,BB'u平面ABBW,4Bu平面4BBN,所以ZC_L平面

ABB'A',4Cu平面N8C,

故而平面ABBAI平面ABC.

(2)如图，取4"的中点尸，连接/尸，

答案第8页，共13页

由(1)知：ABVAC,ACLAF,

由下为4'8'的中点,则力尸即4FJ.4B,

由平面488W_L平面为5C,平面平面/8C=/8,AF<=ABB'A',

所以“F_L平面/8C,所以两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，由/8=/C=2,

所以4(0,0,0),5(2,0,0)/(-1,0,@1,0),

所以丽=(2,-1,0),漉=(3,0,-6).

设P(Xo，%,z。),由2丽=5而，得：2(-1,-1,73)=5(^0,^-1,20),

所以％=1/0=乎，所以ZP=-!'，1，

/、n-EB=0[2X(-^=0,

设平面48E的法向量为万=%,加4),则一即'

[n-A'B=0〔3再-Gz=0,

令占=1,贝!|必=2,4=,所以万=(1,2,JJ),

令9为4P与平面A'BE所成线面角，

卜•福2亚

所以sin。=cos-L-[=J-=-=~『=--,

\n\-\AP\V8xVl2

所以力尸与平面A'BE所成线面角的正弦值为变.

2

18.⑴最小值/6=-e

(2)答案见解析

【分析】(1)根据导数即可求解；

(2)求出/'(x),对。分情况讨论即可.

答案第9页，共13页

【详解】⑴当a=0时,由〃x)=(x—2)e*,所以广(x)=(x-l)e、，

当x<l时，/'(x)<0；当x>l时，"(x)>0；

所以/(x)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以/(x)的最小值为〃l)=-e；

(2)由/(x)=(x-2)e*+夕2_仆，

所以r(x)=(x-l)e*+a(x-l)=(x-D(e*+a).

①当aNO时，若xe(-8,l)时，//(x)<0,

所以/(x)为(-8,1)上的单调递减函数，

若时，/能)>0,所以/(x)为(1,+⑹上的单调递增函数，

②当ae(-e,0)时，ln(-a)<l,

若时，,欢x)>0,

所以/(x)为(-s,ln(-a))上的单调递增函数，

若xe(ln(-a),l)时，//(x)<0,

所以/(x)为(ln(-a),l)上的单调递减函数，

若时，/抬)>0,所以/(x)为(1,+8)上的单调递增函数，

③当a=-e时，ln(-a)=1,

对VxwRJ'(x)20,所以/(x)为R上的单调递增函数，

④当”e(Y,-e)时，ln(-6i)>1,

若xe(-8,l)时，#(耳>0,所以/(x)为(-8,1)上的单调递增函数：

若x«l,ln(-a))时，/'(x)<0,所以/(x)为(l,ln(-a))上的单调递减函数；

若x«ln(-4),+8)/(x)>0,所以/(x)为(ln(-a),+e)上的单调递增函数.

【点睛】关键点点睛：本题(2)关键在于对"的分类讨论.

答案第10页，共13页

x2v2

19.⑴一+2=1

43

(2)x+J，+1=0

(3)2

【分析】（1）由题意可得£=：,1-26.C=石，解方程求出。力，即可得出答案.

a22

（2）先证明过椭圆上一点的切线方程的形式，再求得过点43的切线方程，从而得到直线

AB的方程.

（3）令河仁,必）,N&,%），设直线/的方程为：y=%（x+4）-3,联立椭圆C的方程

、+勺=1,求出通+%号“再令0（"。），解方程组:解得吃=装,

表示出\P端Q\+扁\PQ\，将X3+%,当•X4代入化简即可得出答案.

【详解】（1）由题意可知：£=：,①

a2

又;-26-C=6,所以加=百②，

由①②及/=/+。2,所以a=2,b=JJ，

所以椭圆C的方程为：—+^=1.

43

（2）先证：过椭圆［+：=1上一点人再,必）的切线方程为等+与=1,

证明如下：当过椭圆上一点/（%,乂）的切线斜率存在时，

设切线方程为），=履+"?,

£.2Ci

则｛43-=可得：（4r+3）x2+8to7x+4/«2-i2=0,

y=kx+m

因为直线与椭圆相切，所以△=（8袖）2-4（4Ar2+3）（4m2-12）=0,

化简可得：4公-加2+3=o,

-Skm±VX-4k

所以玉代入P=依+“可得:

2(4尸+3)in

-4k3

必=kxi+m=k・---------h