2022-2023学年上海市闵行区24校初三年级下册3月自评考试数学试题含解析

2022-2023学年上海市闵行区24校初三下学期3月自评考试数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.-克的绝对值是（）

3

._3A/2R_④「夜n372

2332

2.如图所示：有理数。力在数轴上的对应点，则下列式子中错误的是（）

ab0

a,

A.ab>0B.a+b<0C.—<1D.a—b<Q

b

3.若点P（-3,yi）和点Q（-1,y2）在正比例函数y=-k?x（k/0）图象上，则yi与y2的大小关系为（）

A.yi>yiB.yi>y2C.yi<y2D.yi<y2

4.如图，已知直线AO是。。的切线，点A为切点，OD交OO于点B,点C在。。上，且NOZM=36。，则NAC5的

度数为（）

A.54°B.36°C.30°D.27°

S

5.如图，已知矩形ABC。中，BC=2AB,点E在边上，连接OE、AE,若EA平分N8ED,则三配的值为（）

»CDE

2-73026-3「273-3「2-6

-------D.---------C.---------U.----

2233

6.下列运算正确的是()

2353262362

A.a+a=aB.(a)4-a=lC.a*a=aD.(W~+v7-)=5

7.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点M是AB的中点，若OM=4,AB=6,则BD的长为()

A.4B.5C.8D.10

8.在下列网格中，小正方形的边长为1,点A、B、。都在格点上，则NA的正弦值是(♦♦—)

9.如图，在R3ABC中，NC=9(F,BE平分NABC,ED垂直平分AB于D,若AC=9,则AE的值是()

A.2,3,5B.7,4,2

C.3,4,8D.3,3,4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、s/,则sM_s/（填

12.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30。，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45。，已知

甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）

13.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（-6,0）,C（0,273）.将矩形OABC绕点O顺时针方向旋

转，使点A恰好落在OB上的点Ai处，则点B的对应点Bi的坐标为

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,P分别在x轴、y轴上，ZAPO=30°.先将线段”L沿y轴翻折得到线

段PB,再将线段M绕点尸顺时针旋转30。得到线段PC,连接BC.若点A的坐标为（-1,0）,则线段BC的长为

15.如图，E是口ABCD的边AD上一点，AE=ED,CE与BD相交于点F,BD=10,那么DF=_.

16.如图，将直线y=x向下平移匕个单位长度后得到直线/,/与反比例函数y=』（x>0）的图象相交于点A,与x

x

轴相交于点B,则OA2-0B2的值为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）.如表为

装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润.

甲乙丙

每辆汽车能装的数量（吨）423

每吨水果可获利润（千元）574

（1）用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？

（2）水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售，（每种水果不少于一车），假设装运甲水

果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用m表示）

（3）在（2）间的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？

18.（8分）如图，AB是。。的直径，点E是A。上的一点，ZDBC=ZBED.求证：BC是。。的切线；已知AD=3,

CD=2,求BC的长.

19.（8分）为了进一步改善环境，郑州市今年增加了绿色自行车的数量，已知A型号的自行车比B型号的自行车的单价

低30元，买8辆A型号的自行车与买7辆B型号的自行车所花费用相同.

（1）A,B两种型号的自行车的单价分别是多少？

⑵若购买A,B两种自行车共600辆，且A型号自行车的数量不多于B型号自行车的一半，请你给出一种最省钱的方案，

并求出该方案所需要的费用.

20.（8分）如图，已知抛物线-4与x轴交于点A,B（点A位于点8的左侧），C为顶点，直线经过

点A,与y轴交于点O.求线段AO的长；平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为。.若新抛物线经

过点。并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线平行于直线AO,求新抛物线对应的函数表达式.

江（8分）化简尤分？_2x式3卜门r_3‘并从。、】、册3这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求

值.

22.(10分)如图，已知点A(-2,0),B(4,0),C(0,3),以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于

点F,若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标.

23.(12分)如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。O分别交BC,AC于点D,E,DGLAC于点G,交

AB的延长线于点F.

(2)若AC=10,cosA=；,求CG的长.

24.(1)如图1,半径为2的圆O内有一点P,切OP=L弦AB过点P,则弦AB长度的最大值为；最小

值为.

图①

(2)如图2,△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中NABC=90。，AB=80米，BC=60米，现在他利用周边地的情况,

把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘.已知葛叔叔想建的鱼塘

是四边形ABCD,且满足NADC=60。，你认为葛叔叔的想法能实现吗？若能，求出这个四边形鱼塘面积和周长的最大

值；若不能，请说明理由.

B

图②

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案.

【详解】

\=3及,

|_W|A错误;

2

「争等B错误;1用后,D错误;

|—|=—,故选C.

33

【点睛】

本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的概念进行解题.

2、C

【解析】

从数轴上可以看出a、b都是负数，且a<b,由此逐项分析得出结论即可.

【详解】

由数轴可知：a<b<0,A、两数相乘，同号得正，ab>0是正确的；

B、同号相加，取相同的符号，a+b<0是正确的；

C、a<b<0,->1,故选项是错误的；

b

D、a-b=a+(-b)取a的符号，a-bVO是正确的.

故选：C.

【点睛】

此题考查有理数的混合运算，数轴，解题关键在于结合数轴进行解答.

3、A

【解析】

分别将点P(-3,yi)和点Q(-1,y2)代入正比例函数y=-k?x,求出yi与y2的值比较大小即可.

【详解】

\•点P(-3,yi)和点Q(-1,y2)在正比例函数y=-k?x(k/0)图象上，

/.yi=-k2x(-3)=3k2,

yi=-k2x(-1)=k2,

邦，

•'•yi>y2.

故答案选A.

【点睛】

本题考查了正比例函数，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的知识点.

4、D

【解析】解：:4。为圆。的切线，：.ADLOA,即N040=90。，02X4=36。，/.ZAOD=54°,•.,/AQD与NAC5

都对A5，•••NACBu1/40。=27。.故选D.

2

5、C

【解析】

过点A作AFLDE于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB,利用全等三角形的判定和性质以及

矩形的性质解答即可.

【详解】

解：如图，过点A作AFLOE于尸，

在矩形ABC。中，AB=CD,

9：AE平分N6ED,

：.AF=ABf

,:BC=2AB,

：.BC=2AF9

：.NAD尸=30。，

在4AFD与公DCE中

VZC=ZAFD=90°,

ZADF=ZDEC,

AF=DC„

：./\AFD^/\DCE(A4S),

：./\CDE的面积=△AED的面积=LAFXDF=^AFXJ^AF=&B?

222

;矩形ABCD的面积=A5・5C=2482,

A2AABE的面积=矩形ABC。的面积-2&CDE的面积=(2-石)AB2,

：.AABE的面积=I2-6)"'2,

2

2-有

.SABE=2_2c-3

S.CDE63

T

故选：c.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角

平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB.

6、B

【解析】

利用合并同类项对A进行判断；根据基的乘方和同底数暴的除法对B进行判断；根据同底数幕的乘法法则对C进行

判断；利用完全平方公式对D进行判断.

【详解】

解：A、a?与a3不能合并，所以A选项错误；

B、原式=a=a6=l,所以A选项正确；

C、原式=a5,所以C选项错误；

D、原式=2+2,=+3=5+20所以D选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查同底数塞的乘除、二次根式的混合运算,:二次根式的混合运算先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二

次根式的乘除运算，再合并即可.解题关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性

质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

7、D

【解析】

利用三角形中位线定理求得AD的长度，然后由勾股定理来求BD的长度.

【详解】

解：,••矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

.•.NBAD=90。，点O是线段BD的中点，

•••点M是AB的中点，

AOM是小ABD的中位线，

.\AD=2OM=1.

在直角AABD中，由勾股定理知：BD=VAD2+AB2=A/82+62=10-

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理和矩形的性质，利用三角形中位线定理求得AD的长度是解题的关键.

8、A

【解析】

由题意根据勾股定理求出OA,进而根据正弦的定义进行分析解答即可.

【详解】

解：由题意得，OC=2,AC=4,

由勾股定理得，AO=7AC2+OC2=2A/5»

sinA至=&

OA5

故选：A.

【点睛】

本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比

邻边.

9、C

【解析】

由角平分线的定义得到NCBE=NABE,再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,贝!JNA=NABE,可得

ZCBE=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC,即AE=2EC,由AE+EC=AC=9,即可求出AC.

【详解】

解：TBE平分NABC,

•*.ZCBE=ZABE,

VED垂直平分AB于D,

EA=EB,

/.ZA=ZABE,

.\ZCBE=30o,

/.BE=2EC,BPAE=2EC,

而AE+EC=AC=9,

AAE=1.

故选c.

10、D

【解析】

试题解析:A.V3+2=5,.*.2,3,5不能组成三角形，故A错误;

B.V4+2<7,A7,4,2不能组成三角形,故B错误；

C.V4+3<8,A3,4,8不能组成三角形，故C错误；

D.V3+3>4,/.3,3,4能组成三角形,故D正确;

故选D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11>>

【解析】

要比较甲、乙方差的大小，就需要求出甲、乙的方差；

首先根据折线统计图结合根据平均数的计算公式求出这两组数据的平均数；

接下来根据方差的公式求出甲、乙两个样本的方差，然后比较即可解答题目.

【详解】

3+6+2+6+4+3

甲组的平均数为:----------------------------------=4,

6

17

S2=-X[(3-4)2+(6-4)2+(2-4)2+(6-4)2+(4-4)2+(3-4)2]=-,

¥63

4+3+5+3+4+5

乙组的平均数为:----------------------------------=4,

6

S2=-X[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=-,

z63

72

.—>一，

33

，S甲2>s/

故答案为：>.

【点睛】

本题考查的知识点是方差，算术平均数，折线统计图，解题的关键是熟练的掌握方差，算术平均数，折线统计图.

12、40V3

【解析】

利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD,再利用锐角三角函数关系即可得出答案.

【详解】

解:由题意可得：ZBDA=45°,

贝！］AB=AD=120m,

又；NCAD=30。，

.•.在RtAADC中,

tanNCDA=tan30°=,

AD3

解得：CD=40若(m),

故答案为40出.

【点睛】

CD

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tanZCDA=tan30°=——是解题关键.

AD

13、(-26,6)

【解析】

分析：连接OBi,作BiH_LOA于H,证明△AOBgZ\HBiO,得至I」BiH=OA=6,OH=AB=2，得到答案.

详解：连接OBi,作BiHLOA于H,

由题意得，OA=6,AB=OC2G，

贝(JtanZBOA=,

OA3

ZBOA=30°,

NOBA=60。，

由旋转的性质可知，ZBiOB=ZBOA=30°,

...NBiOH=60°,

在小AOB和4HBiO,

NB[HO=NBAO

<ZBlOH=ZABO,

OB=OB

AAAOB^AHBiO,

.•.BiH=OA=6,OH=AB=25

.,.点Bi的坐标为(-20,6),

故答案为（-2道，6）.

点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

14、2.-

【解析】

只要证明4PBC是等腰直角三角形即可解决问题.

【详解】

解：VZAPO=ZBPO=30°,

.,.ZAPB=60°,

；PA=PC=PB,NAPC=30。，

.,.ZBPC=90°,

APBC是等腰直角三角形，

VOA=1,ZAPO=30°,

，PA=2OA=2,

ABC==PC=2f

故答案为2「.

【点睛】

本题考查翻折变换、坐标与图形的变化、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明APBC是等腰直角

三角形.

15、4

【解析】

VAE=ED,AE+ED=AD,，ED=AD,

JJ

•・•四边形ABCD是平行四边形，AAD=BC,AD//BC,

AADEF^ABCF,

.*.DF：BF=DE；BC=2：3,

VDF+BF=BD=10,

ADF=4,

故答案为4.

16、1.

【解析】

解：•・•平移后解析式是尸x-b,

代入尸*得：x-b=—,

xx

RPx2-bx=5,

）与X轴交点5的坐标是（b,0）,

设A的坐标是（X,J）,

J.O^-OB2

=x2+y2-b2

=x2+（x-ft）2-b2

=2x2-2xb

=2（x2-m）

=2x5=1,

故答案为L

点睛：本题是反比例函数综合题，用到的知识点有：一次函数的平移规律，一次函数与反比例函数的交点坐标，利用

了转化及方程的思想，其中利用平移的规律表示出j=x平移后的解析式是解答本题的关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）乙种水果的车有2辆、丙种水果的汽车有6辆；（2）乙种水果的汽车是（m-12）辆，丙种水果的汽车是（32

-2m）辆；（3）见解析.

【解析】

（1）根据“8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售”列出方程组，即可解

答；

m+a+b=20

（2）设装运乙、丙水果的车分别为a辆，b辆，列出方程组,c°,rc即可解答；

4m+2。+3/?=72,

m>1

（3）设总利润为w千元，表示出w=10m+l.列出不等式组<m-1221确定m的取值范围13WmW15.5,结合一次函

32—2m21,

数的性质，即可解答.

【详解】

解：（1）设装运乙、丙水果的车分别为x辆，y辆，得：

/+y=8

2x+3y=22,

x=2

解得：＜

y=6.

答：装运乙种水果的车有2辆、丙种水果的汽车有6辆.

(2)设装运乙、丙水果的车分别为a辆，b辆，得:

冽+〃+/?=20

4根+2〃+3/?=72,'

a=m-12

解得一

b=32-2m,

答：装运乙种水果的汽车是(m-12)辆，丙种水果的汽车是(32-2m)辆.

(3)设总利润为w千元，

w=5x4m+7x2(m-12)+4x3(32-2m)=10m+l.

m>1

,：<m—12>1

32-2m>l,

/.13<m<15.5,

・・・m为正整数，

14,15,

在w=10m+l中，w随m的增大而增大,

・••当m=15时，W最大=366(千元)，

答：当运甲水果的车15辆，运乙水果的车3辆，运丙水果的车2辆，利润最大，最大利润为366千元.

【点睛】

此题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键是运用函数性质求最值,需确定

自变量的取值范围.

18、⑴证明见解析

⑵BC="5

【解析】

(1)AB是。O的直径，得NADB=90。，从而得出NBAD=NDBC,即NABC=90。，即可证明BC是。O的切线

BeCD

(2)可证明AABCSABDC,则——=——，即可得出BC=J而.

CABC

【详解】

(1)TAB是。O的切直径,

:.ZADB=90°,

又；NBAD=NBED,NBED=NDBC,

/.ZBAD=ZDBC,

NBAD+NABD=NDBC+NABD=90。，

/.ZABC=90°,

；.BC是。O的切线；

(2)解：VZBAD=ZDBC,ZC=ZC,

/.△ABC^ABDC,

BCCD,/、

——=——,BanPBC2=AC«CD=(AD+CD)«CD=10,

CABC

.*.BC=V10.

考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质.

19、(1)A型自行车的单价为210元,B型自行车的单价为240元.(2)最省钱的方案是购买A型自行车200辆,B型自行

车的400辆，总费用为138000元.

【解析】

分析：(1)设A型自行车的单价为x元，5型自行车的单价为y元，构建方程组即可解决问题.

(2)设购买A型自行车”辆，5型自行车的(600-a)辆.总费用为w元.构建一次函数，利用一次函数的性质即可

解决问题.

详解：(1)设A型自行车的单价为x元,B型自行车的单价为y元，

J>♦30=I/

由题意

"-7。

解得｛;二瑞,

।型自行车的单价为210元,B型自行车的单价为240元.

⑵设购买A型自行车a辆,B型自行车的1辆.总费用为w元.

由题意210〃，210(600-30u+144000,

•.-3()<0,

「J「随a的增大而减小,

6()0-

,/a<——-

2

.?/<2(10,

...当n时,W有最小值,最小值，，：：NMI,

最省钱的方案是购买A型自行车200辆,B型自行车的400辆，总费用为138000元.

点睛：本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程组或一次函

数解决实际问题，属于中考常考题型.

20、(1)1^/2")7=丫1-4x+l或y=/+6x+l.

【解析】

(1)解方程求出点A的坐标，根据勾股定理计算即可；

(1)设新抛物线对应的函数表达式为：y=x1+bx+l,根据二次函数的性质求出点。的坐标，根据题意求出直线C。

的解析式，代入计算即可.

【详解】

解：(1)由*1-4=0得，处=-1,xi—1,

•.•点A位于点5的左侧，

：.A(-1,0),

,直线y=x+»z经过点A,

:.-l+zn=0,

解得，机=1,

•••点。的坐标为(0,1),

y/o^+OD2=1正;

(1)设新抛物线对应的函数表达式为：y^x1+bx+l,

bb~

v=x1+Z>x+l=(x+—)-——,

24

2

则点。的坐标为(-b-,1-h幺)，

24

•••CO平行于直线AO,且经过C(0,-4),

二直线C。的解析式为：y=x-4,

解得，bi=-4,仇=6,

二新抛物线对应的函数表达式为：y=/-4x+l或？=/+6%+1.

【点睛】

本题考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点的求法是

解题的关键.

21、x取0时，为1或x取1时，为2

【解析】

试题分析：利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可.

x(x—2)3x—3

试题解析：解：原式=[二

：—-=]+32

(x-2)2X-2%-4

x3).x-3

x—2x—2—4

x-3(x+2)(%-2)

=----x-------------

x—2x~3

=x+l,

•・3i.4R0,x-2^0,

且x^-1且申,

当x=0时，原式=1.

或当x=l时，原式=2.

22、(1)y=-x2+x+3；D(1,)；(2)P(3,).

J/色

j<GT

【解析】

(1)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),将点C(0,3)代入可求得a的值，将a的值代入可求得抛物线的解析

式，配方可得顶点D的坐标；

2

(2)画图，先根据点B和C的坐标确定直线BC的解析式，设P(m,-3m+3m+3),则F(m,3-m+3),表示PF的

J44

长，根据四边形DEFP为平行四边形，由DE=PF列方程可得m的值，从而得P的坐标.

【详解】

解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),

将点C(0,3)代入得：-8a=3,

解得：a=-,

...抛物线的解析式为y=-X+x+3,且顶点D(1).)；

I47

(2)VB(4,0),C(0,3),

.••BC的解析式为：y=-x+3,

f

<

VD(1,.),

*

当x=l时，y=-+3=.,

44

/.E(1,),

/.DE=-=,J

工£上

设P(m,-m2+m+3),则F(m,-m+3),

3□S

J44

•・•四边形DEFP是平行四边形，且DE〃FP,

ADE=FP,

即(-m2+m+3)-(-m+3)=，

ISP

i7<5

解得：mi=l(舍),mz=3,

AP