苏州市2024届中考数学最后一模试卷含解析

苏州市重点中学2024年中考数学最后一模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接

判定四边形ABDC是菱形的依据是（）

/）

A.四条边相等的四边形是菱形B.一组邻边相等的平行四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

2.一个多边形的每个内角均为120°,则这个多边形是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形

3.图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①©③④某一位置，所组成的图形不能围成正方

体的位置是（）

4.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）

ffo"■的°周"^3

5.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨;.小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5

月的水费则是10元.已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5〃力求该市今年居民用水的价格.设去

年居民用水价格为x元/加，根据题意列方程，正确的是（）

3015u3015

----------=5----------=5c

A，（1+乎x（l-1）xx

30153015「

------;—=5

D，X（1一扣

6.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE,过点A作AE的垂线交DE于点P,若AE=AP=L

PB=V5.下列结论：©AAPD^AAEB；②点B到直线AE的距离为血；®EB_ED；®SAAPD+SAAPB=1+^;⑤S

正方形ABCD=4+6.其中正确结论的序号是（）

C.③④⑤D.①®@

7.若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1）,则a的取值范围是（）

A.a<3B.a>3C.a<-3D.a>-3

8.一元二次方程x2+2x-15=0的两个根为（）

A.xi=-3,X2=-5B.xi=3,X2=5

C.xi=3,xi=-5D.xi=-3,X2=5

4x+3y=6

9.二元一次方程组｛八）的解为（）

2x+y=4

x=-3（x=-2fx=3x=2

A.B.C.<D.《

y=2y=\[y=-2ly=-[

10.我市某小区开展了“节约用水为环保作贡献”的活动，为了解居民用水情况，在小区随机抽查了10户家庭的月用水

量，结果如下表:

月用水量（吨）8910

户数262

则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）

A.方差是4B.极差是2C.平均数是9D.众数是9

11.已知方程X2-X-2=0的两个实数根为XI、X2,则代数式Xi+Xl+XiXZ的值为（）

A.-3B.1C.3D.-1

12.如图，经过测量，C地在A地北偏东46。方向上，同时C地在B地北偏西63c方向上，则NC的度数为（）

北

北

A.99°B.109°C.119°D.129°

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，半径为3的0O与RtAAOB的斜边AB切于点D,交OB于点C,连接CD交直线OA于点E,若NB=30。,

则线段AE的长为—.

14.如图，在△ABC中，CA=CB,NACB=90。，AB=4,点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角

形的直角顶点C,以点D为顶点，作90。的NEDF,与半圆交于点E,F,则图中阴影部分的面积是—.

15.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，NAOB是一个任意角，在边OA,OB上分另IJ取OM=ON,

移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C的射线OC即是NAOB的平分线.做法中用到

全等三角形判定的依据是.

16.直线产2x+l经过点（0,。），则。=

17.如图，矩形ABCD中，AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为

18.如图，AB为半圆的直径，且AB=2,半圆绕点B顺时针旋转40。，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面

积为（结果保留

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A商

品和5件B种商品所得利润为1100元.求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？由于需求量

大A、B两种商品很快售完，重百商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利

润不低于4000元，那么重百商场至少购进多少件A种商品？

20.（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线yi=2x-2与双曲线y2二月交于A、C两点，AB_LOA交x轴于点B,且

X

OA=AB.

（1）求双曲线的解析式；

（2）求点C的坐标，并直接写出yiVyz时x的取值范围.

21.（6分）如图，在直角坐标系中，矩形048c的顶点O与坐标原点重合，顶点分别在坐标轴的正半轴上，OA6点脚

直线厂:上，直线/》=人+我折线有公共点•点颉坐标是；若直线/经过点中求直线/的解析式;

对于一次函数「=丘+2化#切，当］随、的增大而减小时，直接写出左的取值范围.

22.（8分）某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下:

甲7.29.69.67.89.346.58.59.99.6

乙5.89.79.76.89.96.98.26.78.69.7

根据上面的数据，将下表补充完整:

4.0<x<4.95.0<x<5.96.0<x<6.97.0<x<7.98.0<x<8.99.0^x010.0

甲101215

乙——————

（说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7・0〜7.9万元为良好，6.0〜6.9万元为合格，6.0万元以下为不合

格）

两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：

结论：

人员平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）

甲8.28.99.6

乙8.28.49.7

（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有个；

（2）可以推断出____业务员的销售业绩好，理由为.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

23.（8分）如图，C是。O上一点，点P在直径AB的延长线上，OO的半径为3,PB=2,PC=1.

（1）求证：PC是。。的切线.

（2）求tanNCAB的值.

24.（10分）如图，在平面直角坐标系xOj中，一次函数y=x与反比例函数）=4女工0）的图象相交于点A（G,a）.

X

(1)求。、A的值；

(2)直线i=b(/?>0)分别与一次函数y=x、反比例函数y=V的图象相交于点M、N,当MN=2时，画出示意

x

图并直接写出b的值.

25.(10分)某校计划购买篮球、排球共20个,购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与

购买5个排球的费用相同.篮球和排球的单价各是多少元？若购买篮球不少于8个，所需费用总额不超过元.请

你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方案.

26.(12分)如图，一次函数丫=1^+1)的图象与二次函数y=・x2+c的图象相交于A(-1,2),B(2,n)两点.

(1)求一次函数和二次函数的解析式；

(2)根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；

(3)设二次函数y=-x2+c的图象与y轴相交于点C,连接AC,BC,求△ABC的面积.

27.(12分)先化简，再求值：1+-+(1・i),X45x=2cos30°+tan450.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解题分析】

根据翻折得出AC=CDt推出根据菱形的判定推出即可.

【题目详解】

•:将△ABC延底边BC翻折得到△DBC,

：.AB=BD,AC=CD,

•:AB=AC,

：.AB=BD=CD=AC,

:.四边形45。。是菱形；

故选A.

【题目点拨】

本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的

平行四边形是菱形.

2、C

【解题分析】

由题意得，180。（〃・2）=120。'〃，

解得〃=6.故选C.

3、A

【解题分析】

由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题.

【题目详解】

将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，

故选A.

【题目点拨】

本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形.注意：只要有“田”字格的

展开图都不是正方体的表面展开图.

4、C

【解题分析】

试题分析：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下

面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物

体的左面形状.选项C左视图与俯视图都是|,故选C

5、A

【解题分析】

解：设去年居民用水价格为x元3根据题意列方程：

3015U

（局"x'故选A.

6、D

【解题分析】

①首先利用已知条件根据边角边可以证明AAPD^AAEB；

②由①可得NBEP=90。，故BE不垂直于AE过点B作BF_LAE延长线于F,由①得NAEB=135。所以NEFB=45。，所

以AEFB是等腰RS,故B到直线AE距离为BF=6,故②是错误的；

③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；

④由AAPDg△AEB,可知SAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB,然后利用已知条件计算即可判定；

⑤连接BD,根据三角形的面积公式得到SABPD:?PDXBE=£所以SAABD=SAAPD+SAAPB+SABPD=2+Y6,由此即可

222

判定.

【题目详解】

由边角边定理易知△APDg2kAEB,故①正确：

由△APDgAAEB得，ZAEP=ZAPE=45°,从而NAPD=NAEB=135。，

所以NBEP=90。，

过B作BF_LAE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离，

在AAEP中，由勾股定理得PE=0,

在ABEP中，PB=V5,PE=&,由勾股定理得：BE=V3,

VZPAE=ZPEB=ZEFB=90°,AE=AP,

・・・NAEP=45°,

/.ZBEF=180o-45°-90o=45°,

/.ZEBF=45",

AEF=BF,

在AEFB中，由勾股定理得：EF=BF=—,

2

故②是错误的；

因为△APDg/kAEB,所以NADP=NABE,而对顶角相等，所以③是正确的;

由^APD^AAEB,

/.PD=BE=V3,

可知SAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB=SAAEP+SABEP=—+,因此④是错误的;

22

13

连接BD,MSABPD=-PDXBE=-，

22

所以SAABD-SAAPD+SAAPB+SABPD-2+,

2

所以S正方形ABCI)=2SAABD=4+y/6.

综上可知，正确的有①®®.

故选D.

【题目点拨】

考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相

关的基础知识才能很好解决问题.

7、B

【解题分析】

试题分析：当x=0时，y=-5；当x=l时，y=a—1,函数与x轴在。和1之间有一个交点，贝!]a—1>0,解得：a>l.

考点：一元二次方程与函数

8、C

【解题分析】

运用配方法解方程即可.

【题目详解】

解：x2+2x-15=x2+2x+l-16=(x+l)2-16=0»EP(x+l)2=16,解得，xi=3,X2=-5.

故选择C.

【题目点拨】

本题考查了解一元二次方程，选择合适的解方程方法是解题关键.

9、C

【解题分析】

利用加减消元法解这个二元一次方程组.

【题目详解】

[4x+3y=6.........①

解，12x+y=4……②

①•②X2,得：y=・2,

将y=-2代入②，得：2x-2=4,

解得，x=3,

x=3

所以原方程组的解是b=-2

故选c.

【题目点拨】

本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点，解此题的关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，

题目比较典型，难度适中.

10、A

【解题分析】

分析：根据极差;最大值-最小值；平均数指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中出现次数最多

的数据叫做众数，以及方差公式S2=[(X.-X)2+(X2•元)2+…+(.J)2],分别进行计算可得答案.

nXll

详解：极差：10・8=2,

平均数：(8x2+9x6+10x2)X0=9,

众数为9,

方差：S2=y-[(8-9)2x2+(9-9)2x6+(10-9)2x2]=0.4,

故选A.

点睛：此题主要考查了极差、众数、平均数、方差，关键是掌握各知识点的计算方法.

11、D

【解题分析】

分析：根据一元二次方程根与系数的关系求出刈+X2和XIX2的值，然后代入X|+X2+MX2计算即可.

详解：由题意得，a=l,b=-l,c=-2,

.।_b_-1__c_—2_

••X|+X2=——=------=11,X,*%2=一=---=-2,

a1a1

•\XI4-X24-JIX2=1+(-2)=-1.

故选D.

点睛：本题考查了一元二次方程。F+以+。=0(a#))根与系数的关系，若为足为方程的两个根，则力足与系数的关系

,、hc

式：X]+/=----fX1•X2=一.

aa

12、B

【解题分析】

方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90。的角,根据平行线的性质求得NAC户与NBC尸的度数，ZACF

与N3C产的和即为NC的度数.

【题目详解】

解：由题意作图如下

ZDAC=46°,NCBE=63。,

由平行线的性质可得

NACR=NDAC=46°,NBCF=NCBE=63。,

：.NAC5=N4C尸+N5C尸=460+63。=109。，

故选用

【题目点拨】

本题考查了方位角和平行线的性质，熟练掌握方位角的概念和平行线的性质是解题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、石

【解题分析】

要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据NB=30。和0B的长求得，OE可以根据NOCE

和OC的长求得.

【题目详解】

解：连接OD,如图所示，

由已知可得，ZBOA=90°,OD=OC=3,ZB=30°,ZODB=90°,

.*.BO=2OD=6,ZBOD=60°,

:.ZODC=ZOCD=60°,AO=BOtan300=6x*=2技

,/ZCOE=9n°,OC=3,

・••OE=OCtan60°=3x后3技

:.AE=OE-OA=373-273=73'

【点晴】

切线的性质

14、7T-1.

【解题分析】

连接C。，作OMLAC,证明△OA/GgZkON，则S四边形OGC//=S囚边形OMGV,求得扇形尸。E的面积，则阴影

部分的面积即可求得.

【题目详解】

连接CD,作DNLAC.

•:CA=CB,ZACB=90°,点。为43的中点，.・.OC=；4B=L四边形OMCN是正方形，DM=®.

90^-x22

则扇形FDE的面积是:=九・

360

YCA=CB,ZAC»=90°,点&为AB的中点，平分NBC4.

又・・・DM_LBC,DNLAC,:・DM=DN.

NDMG=/DNH

•:NGDH=4MDN=90。,:・NGDM=4HDN.在△DMG和△ON"中，，：＜£GDM=4HDN,:•△DMG义ADNH

DM=DN

(AAS),；•S四边形DGCH=S四边形DMCN=1•

则阴影部分的面积是：Tt-1.

故答案为n-1.

【题目点拨】

本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG9ADNH,得到S四边形OGC*S四边形OMCV

是关键.

15、SSS.

【解题分析】

由三边相等得△COMg/kCON,即由SSS判定三角全等.做题时要根据己知条件结合判定方法逐个验证.

【题目详解】

由图可知，CM=CN,又OM=ON,

・・•在△、1(：0和4NCO中

MO=NO

<CO=CO,

NC=MC

AACOM^ACON(SSS),

AZAOC=ZBOC,

即OC是NAOB的平分线.

故答案为：SSS.

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定及性质.要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的

能力，要注意培养.

16、1

【解题分析】

根据一次函数图象上的点的坐标特征，将点（0,a）代入直线方程，然后解关于a的方程即可.

【题目详解】

'・,直线y=2x+l经过点（0,a）,

.\a=2x0+l,

故答案为L

17、373

【解题分析】

试题解析：•・,四边形A3CD是矩形，

：.OB=ODfOA=OCtAC=BD,

：.OA=OB,

TAE垂直平分OB,

：.AB=AOf

工OA=AB=OB=3,

；・BD=2OB=6,

・・・y/Blf-AB2=,62—32=3g•

【题目点拨】此题考查了矩形的性质、等边二角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定埋；熟练掌握矩形

的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.

18、-n

9

【解题分析】

【分析】根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA，的面积加上半圆面积再减去半圆面积.

【题目详解】VS用影=S扇影ABA'+S半园-S

=3形ABA'

40^-x22

360

一5''

故答案为慨万.

【题目点拨】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式且能准确识图是解题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)200元和100元(2)至少6件

【解题分析】

(1)设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元.由售出1件A种商品和4件B种商品所

得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以;

(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34・a)件.根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即

可.

【题目详解】

解：(1)设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元.由题意,

x+4y=600x=200

解得:

3x+5}=1100y=100

答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元.

(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34・a)件.由题意，得

200a+100(34-a)>4000,

解得：aN6

答：威丽商场至少需购进6件A种商品.

4

20、(1)%=-；(1)C(-1,-4),x的取值范围是xV-1或OVxVL

x

【解题分析】

【分析】(1)作高线AC,根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=lx-l,可得A的坐标，从而得双

曲线的解析式；

(1)联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C的坐标，根据图象可得结论.

【题目详解】(D•・•点A在直线上，

工设A(x,lx-1),

过A作AC_LOB于C,

VAB±OA,KOA=AB,

/.OC=BC,

1

.\AC=-OB=OC,

2

•*.x=lx-1»

x=L

/.A(1,1),

.*.k=lxl=4,

4

・・

%=一x；

y=2x-2%=2%2=-1

(1)•・“4,解得：＜

y=-)i=2，1%=-4

x

AC(-1,-4),

由图象得：yiVyi时x的取值范围是xV・l或OVxVL

x

【题目点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过

观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大.

21、(1)zo6j;(2)39；(3)9.一。

【解题分析】

(1)OA=6,即BC=6,代入_3,即可得出点B的坐标

(2)将点B的坐标代入直线I中求出k即可得出解析式

(3)一次函数,="+^^0/必经过(0,少要使丫随x的增大而减小，即y值为分别代入即可求出k的值.

【题目详解】

解：・・・OA=6,矩形OABC中，BC=OA

ABC=6

丁点B在直线3上，

y=/

.：6=t解得x=8

故点B的坐标为(8,6)

故答案为(8,6)

⑵把点岫6)的坐标代入y=h+亨6='+?

解得：kJ

K~16

:.39

y=7^+2

(3))•♦次函数尸京+枭,0/必经过(0,»要使y随x的增大而减小

.值为。

/2

‘代入，=去+5上至0了

解得9

-正

【题目点拨】

本题主要考待定系数法求一次函数解析式，关键要灵活运用一次函数图象上点的坐标特征进行解题.

22、填表见解析；(D6；(2)甲；甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多.

【解题分析】

(1)月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，去销售额中找到乙大于8.0的个数即可解题，

(2)根据中位数和平均数即可解题.

【题目详解】

解：如图，

销售额

数量

4.0<x<4.95.0<x<5.96.0<x<6.97.0<x<7.98.0<x<8.99.0<x<10.0

X

人员

甲101215

乙013024

(1)估计乙业务员能获得奖金的月份有6个；

(2)可以推断出甲业务员的销售业绩好，理由为：甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多.

故答案为0,1,3,0,2,4；6；甲，甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多.

【题目点拨】

本题考查了统计的相关知识，众数，平均数的应用，属于简单题，将图表信息转换成有序信息是解题关键.

23、(1)见解析；(2)?

【解题分析】

(1)连接OC、BC,根据题意可得OC2+PC2=OP2,即可证得OC_LPC,由此可得出结论.

(2)先根据题意证明出APBCs/kPCA,再根据相似三角形的性质得出边的比值，由此可得出结论.

【题目详解】

(1)如图，连接OC、BC

的半径为3,PR=2

/.OC=OB=3,OP=OB+PB=5

VPC=1

AOC2+PC2=OP2

・•・△OCP是直角三角形，

AOCIPC

・・・PC是。o的切线.

(2)・・・AB是直径

.,.ZACB=90°

AZACO+ZOCB=90o

VOC±PC

.\ZBCP+ZOCB=90°

AZBCP=ZACO

VOA=OC

AZA=ZACO

AZA=ZBCP

在△PBC^flAPCA中：

ZBCP=ZA,ZP=ZP

/.△PBC^APCA,

.BCPB21

■■""""""二j.二一二一

ACPC42

/.tanZCAB=-^-=^

AC2

【题目点拨】

本题考查了切线与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与相似三角形的判定与性质.

24、（1）a=5k=2：（2）6=2或1.

【解题分析】

（1）依据直线y=x与双曲线y=：（对0）相交于点4（、份，。），即可得到°、土的值；

33

（2）分两种情况:当直线x=b在点A的左侧时，由x=2,可得x=L即力=1；当直线在点A的右侧时，由x=2,

XX

可得r=2,即分=2.

【题目详解】

（1）:直线产x与双曲线y—（原0）相交于点A（a）,工〃=JJ,；・4（后百），，百=］三，解得：A=2；

（2）如图所示:

3

当直线x=b在点4的左侧时，由---x=2,可得：x=lfx=-2（舍去），即b=1；

x

3

当直线x=b在点A的右侧时，由X----=2,可得x=2,x=-1（舍去），即6=2；

X

综上所述：5=2或1.

【题目点拨】

本题考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数的图象与解析式的关系，解题时注意：点在图象上，就一定满足函

数的解析式.

25、（1）篮球每个50元，排球每个30元.（2）满足题意的方案有三种：①购买篮球8