2024年新高考数学一轮复习-向量法求空间角

专题46向量法求空间角

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.掌握空间向量的应用.

2.会用空间向量求空间角和距离.

【考点预测】

1.异面直线所成的角

\u*v\

若异面直线心所成的角为9,其方向向量分别是〃，v,则cos«=|cos〈u,v)|=।//।.

2.直线与平面所成的角

如图，直线28与平面。相交于点8设直线48与平面a所成的角为9,直线48的方向向量为〃，平面

a的法向量为Zb则sin夕=|cos{u,n)=।力；=

3.平面与平面的夹角

如图，平面a与平面£相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面a

与平面B的夹角.

若平面a,£的法向量分别是m和小，则平面a与平面B的夹角即为向量Ai和zt的夹角或其补角.设

/\=\ni*n2\

平面a与平面£的夹角为9,则cos'=|cos5,G\\ni/ln2\-

【常用结论】

1.线面角。的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量A所成角的余弦值的绝对值，即sin^=|cos

{a,ri)|,不要误记为cos0=|cos〈a,ri)\.

JI

2.二面角的范围是[0,n],两个平面夹角的范围是0,y

【方法技巧】

1.求异面直线所成的角的两个关注点

(1)用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的.

⑵由于两异面直线所成角的范围是y,两方向向量的夹角。的范围是［0,所以要注意二者

的区别与联系，应有cos<9=1cosaI.

2.求直线与平面所成角的方法

（1）定义法：

①作，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键；

②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；

③求，构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角.

⑵公式法：sinf=5（其中人为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离，/为该点到斜足的距离，9

为斜线与平面所成的角）.

⑶向量法：sin0=|cos〈诵，ri）|=」",二（其中V为平面a的斜线，〃为平面a的法向量，，为斜

\AB\\n\

线4?与平面a所成的角）.

3.利用向量法计算二面角大小的常用方法

（1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到

二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

（2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则

这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

二、【题型归类】

【题型一】异面直线所成的角

【典例1］如图，在四棱锥产一四切中，为J_平面/比2底面俐/是菱形，AB=2,/BADP

=60°.

⑴求证：如，平面用C；\

⑵若以求知与/C所成角的余弦值；

D

（3）当平面如C与平面垂直时，求序的长."

【解析】⑴证明因为四边形池切是菱形，所以然_19

又因为用,平面/以/,所以以_L劭，

所以初，平面PAC.

⑵解设ACCBD=O,

因为N胡7>=60。,PA=AB=2,

所以8。=1,AO=CO=木.

如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系0—xyz,P

则户（0,一小,2）,4（0,一4，0）,3（1,0,0）,C（0,小,0）,小（一1,0,0）,\\2

所以无=（1,小,-2）,AC=（0,2^3,0）.

设期与所成角为0,

加蕉_______6乖

则cos

\M\AC\―2/X2「-4'

⑶解由⑵知瓦=(-1,小,0).

设尸(0,-t)(t>0),

则旗=(-1,一小,t).

设平面阳。的法向量m=(x,y,z),

贝!J8C•必=0,BP9227=0,

—x+y[3y=0,

所以＜厂

^—x-y]3y+tz=0f

6

令y=/，贝!JX=3,z=~,

所以必=(3,y[3,g.

同理，平面97的法向量〃=1—3,4，3

因为平面阳。1_平面PDC,

所以〃•〃=(),即-6+7=0,

解得。乖,所以⑸=m.

【典例2]如图所示，在三棱柱"吐一4SG中，A4」底面/阳AB=BC=44i,/ABC=

90°,点£,户分别是棱4?,幽的中点，试求直线必和多所成的角.

【解析】以6为原点，分别以直线5GBA,曲为x,y,z轴，建立空间直角坐标系(如

图).

设AB—1,

则6(0,0,0),《0,1,0),"0,6(1,0,1),

所以赤'=(0,丽=(1,0,1).

BC\・EF

于是cos〈BC\,EF)

庇I|南

1

1

2乂/

所以直线）和阅所成角的大小为60°.

【典例3】如图，已知圆锥的截面△力比'是正三角形是底面圆。的直径，点。在筋上，且/力切=2/8勿,

则异面直线与况所成角的余弦值为（）

11

-G-3

24Dq

【解析】因为/A0D=2/B0D,

旦NA0D+/B0D=Jt,

11

所以/8妙=可,

连接C。，则平面/切，以点。为坐标原点，0B,%所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直

角坐标系,

设圆。的半径为2,则力(0,—2,0),设0,2,0),C(0,0,2^3),0(小，1,0),

Ab=（^,3,0）,诙=（0,-2,2斓）,

设异面直线4?与宽所成的角为°,

则cos夕=|cos（AD,BO|=,因此，异面直线和与a'所成角的余弦值为好.

|神囱243X444

【题型二】直线与平面所成的角

【典例1］在边长为2的菱形力及/中，/曲2）=60°,点£是边相的中点（如图1）,将△/庞沿膜折起到

△42£的位置，连接48,4G得到四棱锥4—及/£（如图2）.

(1)证明：平面4庞_1平面63；

⑵若4△座■,连接第求直线应与平面4切所成角的正弦值.

【解析】(1)证明连接图1中的如图所示.

因为四边形为菱形，且/为。=60°,

所以为等边三角形，所以龙，相，

所以在图2中有DELBE,DELATE,

因为庞C4£=£,BE,4£U平面4庞，

所以庞，平面AtBE,

因为庞U平面BCDE,

所以平面4座上平面BCDE.

⑵解因为平面4座工平面8。区平面4班n平面阅阳=阳ArELBE,4£U平面氏阳所以4反1平面

BCDE,

以£为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

所以4(0,0,1),(7(2,/,0),2(0,木,0),

£(0,0,0),

所以施=(0,十，-1),京=(2,小,-1),EC=(2,4，0),

设平面4切的法向量为〃=(x,y,z),

图n,A\D=y[3y—z=0,

、n・A\C=2x+yl3y—z=0,

令y=l,则〃=(0,1,

所以直线"与平面4"所成角的正弦值为邛.

【典例2】如图，四棱锥P—46切的底面为正方形，如，底面/式。设平面序。与平面皈的交线为，

(1)证明：/_L平面如C；

⑵已知如=/。=1,0为/上的点，求处与平面©所成角的正弦值的最大值.

【解析】⑴证明在正方形/反力中，AD//BC,

因为力加平面必48CU平面母C,

所以相〃平面PBC,

又因为40U平面PAD,平面PADC平面PBC=1,

所以力〃〃),

因为在四棱锥产一"切中，底面相切是正方形，

所以所以11.%,

因为功_1平面/阅9,所以力〃1加，

所以1LPD,

因为DCCPD=D,PD,%U平面如C,

所以/J_平面如C

(2)解以2为坐标原点，应的方向为x轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为依=49=1,则有，(0,0,0),C(0,1,0),2(0,0,1),8(1,1,0),

因为平面PADH平面PBC=1,

所以/过点户，设0(0，0,1),

则有加=(0,1,0),DQ={m,0,1),闲=(1,1,-1),

设平面仇力的一个法向量为〃=(x,y,z),

DOZ7=0,[y=0,

则<即,八

尻”=0,l"+z=o,

令X=l,则2=一如

所以平面。口的一个法向量为刀=(1,0，一而，

n,PB1+0+/

则〈〃，Pff)

COS\n\\PB\^3•V^+1-

记处与平面05所成的角为e,根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平

面所成角的正弦值,

1+引

则sin8=|cos{n,曲)1=

小•、苏+1

当〃=0时，sin

1+加

当/W0时，sin

木•yja+1

当且仅当勿=1时取等号,

所以直线期与平面Q所成角的正弦值的最大值为坐.

【典例3】如图所示，在三棱锥S—6必中，平面四江平面6切，/是线段即上的点，△飒?为等边三角形,

/BCD=30°,CD=2DB=4.

⑴若第=/〃，求证：SDLCA^

⑵若直线物与平面s切所成角的正弦值为"旨,求/〃的长.

【解析】⑴证明依题意，BD=2,

在△氏/中，CD=\,N8(力=30。，

由余弦定理求得BC=2y[3,

.•.5=初+恭，BPBCLBD.

又平面幽?_L平面氏力，平面幽平面宛9=如，BCU平面BCD,

；.6C_L平面SBD.从而BCLSD,

在等边△1W中，SA=AD,则加_LSZZ

又BCCBA=B,BC,为U平面8。，

二57小平面比以又G4U平面8。，

J.SDLCA.

⑵解以6为坐标原点，BC,劭所在直线分别为x轴、y轴，过点8作平面6切的垂线为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，则8(0,0,0),。2事,0,0),2(0,2,0),5(0,1,小),

故而=(—24，2,0),和(0,1,一十),

设平面S677的法向量为必=(x,y,z),

m,CD=0,

则《

〔力•丹=0,

—2*\f§x+2y=0,

即VL

j—q3z=o,

取x=1,则y=y[3,z=1,

：・m=（L小,1），

设应=力应（0Wxwi）,

则〃4=（0,—X,，5几），

故4（0,2一4,十九）,则应=（0,2—3/九）,

设直线物与平面S⑦所成角为0,

痂.夕|_I1^*BA\

故sino=cos〈出力〉=-----

㈤网

12乖一小几几I4、画

y[5,4（2-XJ+3几265'

1313

解得力=[或A=?则/〃=]或AD=a

【题型三】平面与平面的夹角

【典例1]在如图所示的多面体中，砂_L平面AEB,AEVEB,AD//EF,EF//BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=

BE=2,G是a7的中点.

⑴求证：46〃平面庞G；

⑵求二面角G游£的余弦值.

【解析】(1)证明：因为AD〃EF,EF//BC,

所以"〃a又BC=2AD,G是反7的中点，

所以平行且等于8G,所以四边形曲是平行四边形，所以

因为力山平面史&的u平面庞G,

所以47〃平面DEG.

⑵因为夕U平面4S?,/£u平面/旗，龙u平面/旗，

所以比L/£,EFVBE,又AE1EB,

所以旗，EF,龙1两两垂直.

以点£为坐标原点，EB,EF,E4所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则£(0,0,0),8(2,0,0),<7(2,4,0),尸(0,3,0),〃(0,2,2).

由已知得手=(2,0,0)是平面牙物的一个法向量.

设平面心的法向量为22=(x,y,z),

FD,〃=0,一_»f—y+2z=0,

则，一因为昨(0,—1,2),FC—(2,1,0),所以《令z=l,得y=2,x=—1所

[2x+y0j

、FC•n=0,

以可取Z?=(-1,2,1).

设二面角3旌£的大小为9,则cos9=cos(n,EB)

易知二面角3旌£为钝二面角,

所以二面角G相£的余弦值为

6,

【典例2］如图是一个半圆柱与多面体/微4c构成的几何体，平面4回与半圆柱的下底面共面，且ACLBC,

户为弧4反上(不与4,8重合)的动点.

⑴证明：处」平面期&

JI

(2)若四边形/曲4为正方形，且NPBi4=1,求二面角A4RC的余弦值.

【解析】⑴证明：在半圆柱中，龙」平面98,所以施」班.

因为4区是直径，所以用」阳.

因为阳0隔=夕，P&u平面PB&,BBC平面PBBi,

所以为」平面PBB\.

⑵以C为坐标原点，分别以，，。所在直线为x轴，y轴，过C与平面/回垂直的直线为z轴，建立空间

直角坐标系C-xyz,如图所示.

设％=1,则C(0,0,0),6(1,0,0),4(0,1,0),4(0,1,十)，8(1,0,4),户(1,1,4).

所以茂1=(0,1,P，宓=(1,0,镜).

平面山山的一个法向量为“1=(0,0,1).A'C

设平面。石的法向量为m=(x,y,z),\\/

令z=l,则x=一低

z=l,

所以可取虑=(1/,—^/2,1),

g、i，、1乖

所以COS(221,ik)=----尸

1X^55

由图可知二面角P-461-C为钝角，

、后

所以所求二面角的余弦值为一个.

5

【典例3］如图，在三棱锥/一6切中，平面/如，平面662AB=AD,。为劭的中点.

(1)证明：0ALCD-,A

(2)若△欠/是边长为1的等边三角形，点£在棱4)上，DE=2EA,且二面角£—8。一〃

的大小为45°,求三棱锥力一6切的体积.

【解析】⑴证明因为。为功的中点，所以的，薇

又平面板_L平面配9,且平面/劭C平面比》=初，力《平面/初,

所以/0_L平面比ZZ

又Qt平面小，所以力。_1勿

⑵解法一如图所示，以。为坐标原点，0B,处所在直线分别为x,z轴，在平

面6切内，以过点。且与M垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.

因为△。口是边长为1的正三角形，且。为初的中点，

所以0C=0B=0D=3

所以81,0,0),0(-1,0,0),

设4(0,0,a),a〉0,因为庞=2及I,

所以《一；，0,券).

由题意可知平面氏力的一个法向量为〃=(0,0,1).

设平面6CF的法向量为以=(x,y,z),

因为房=1—I，乎,。；或=Vo,y)

m•BC—0,

所以＜

雄=0,

2

令x=l,贝壮=/，z=',

所以R=[l,y[3,

因为二面角£一宽、一〃的大小为45°,

所以cos45。=力

得a=l,即614=1.

11\3\L

因为SABCD=]BD，CDsin60°=~X2X1

-11A/3A/3

所以心.=萍句^=3XTX16-

法二因为△仇方是边长为1的正三角形，且。为劭的中点，所以。。=如=勿=1,

所以△宛Z?是直角三角形，且/以力=90°,BC=y[3,所以见9:

2,

如图，过点£作"〃/。，交加于凡过点尸作尸垂足为G,连接星

因为/6LL平面BCD,

所以「L平面BCD.

又比b平面85，所以既L8C

又FG1BG且"A4=尸，EF,Afc平面哥S

所以反LL平面以％又£6t平面笈珀，所以8d,

则/戊/为二面角£—67—〃的平面角，

所以/£切=45°,则GF=EF.

因为庞=22,

2

所以历=可的，DF=20F,

o

所蜷=2.

因为戊LL6GCDLBC,所以6F〃切，

.GF2「广rI2

则赤=§'所以GF=]，

2

所以⑸?=GF=§,所以以=1,

…11mm

所以VA-BCD=GSLBCD,y4(7=-X-YXl=-^-.

332o

三、【培优训练】

【训练一】如图，/£_L平面/8切，CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD=\,AE=BC=2.

⑴求证：物1〃平面/庞；

(2)求直线龙与平面叱所成角的正弦值；

⑶若平面板与平面加夹角的余弦值为:，求线段CF的长.

【解析】依题意，建立以4为原点，分别以宓AD,能的方向为x轴、y轴、z轴正方

向的空间直角坐标系(如图)，可得力(0,0,0),6(1,0,0),<7(1,2,0),2(0,1,0),£(0,0,2).

设CF=h(h>0),则尸(1,2,H).

(1)证明依题意，茄=(1,0,0)是平面/庞的一个法向量,

又麻1=(0,2,A),可得市•茄=0,

又因为直线M平面ADE,

所以"'〃平面ADE.

⑵依题意，Bb=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),市=(-1,-2,2).

设〃=(x,y,z)为平面应应的法向量，

n•BD=Q,[—x+y=0,

则彳即

m•强=0,〔一x+2z=o，

不妨令z=l,可得/?=(2,2,1).

因此有cos{CE,ri)=-------=一

商㈤

4

所以，直线应与平面叱所成角的正弦值为

⑶设必=(不，K，Zi)为平面切圻的法向量,

m,BD=0,\—Xi+yi=0,

则V即

〔2为+7?zi=0,

、m,BF=G,

不妨令%=1,可得勿=(1,1,一"I).

又〃=(2,2,1)为平面应应的一个法向量,

故由题意，

有ICOS〈227,ri)

解得力=/经检验，符合题意.

O

所以，线段⑦的长为1

侧面为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=^AD,

【训练二】如图，四棱锥产-的中,ZBAD=

AABC=^°,£是出的中点.

(1)证明：直线以〃平面四16；

(2)点〃在棱R7上，且直线皿与底面/及/所成角为45°,求平面例6与平面加方夹角的余弦值.

【解析】⑴证明取用的中点凡连接班BF,因为£是切的中点，所以）〃必EF=^AD.

由/胡小/力加'=90°得BC〃AD.

又所以）平行且等于8G

所以四边形式济是平行四边形，

则CE//BF.

又⑸上平面序6,砥平面以8,

故。〃平面PAB.

⑵解由已知得掰以力为坐标原点，龙的方向为x轴正方向，|诵|为单位长，建立如图所示的空间

直角坐标系/一xyz,则

R,C6

4(0,0,0),B30,0),C(l,1,0),P(0,1,小),

无=(1,0,-A/3),诵=(1,0,0).

设M(x,y,z)(0<^r<l),贝！J

BM=(x—1,y,z),PM=(x,y—1,z—乖)■

因为创与底面Z四所成的角为45°,而A=(0,0,1)是底面465的法向量,

所以cos〈BM,ri)=sin45°,

LlZ|巾

yj(x-1)2+y+z2'

即(x—。?+y一22=0.①

又〃在棱R7上，设用=入直,则

x=A,y=l,.②

x=l+*,

A-12'

由①，②解得，y=i，(舍去)，，

<尸1,

乖乖

1Z-21"-2'

所以《1当,1,明，

从而和卜一半，1,书.

m•

设R=（xo,如a）是平面/砌的法向量，贝小

m•AB=3

即1（2—/）Ab+2jo+^/6zo=O,

[加=0,

所以可取山=（0,一乖,2）.

工日1/\।\ni'n\A/10

于是cos{m,n）—I|II一二.

\/n\\n\5

因此平面例6与平面历厉夹角的余弦值为二.

5

【训练三】已知直三棱柱/8C—481G中，侧面9出8为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为〃和CG的中点,

〃为棱48上的点，BFLAR.

________D

(1)证明：BFVDE-,

（2）当为何值时，平面掰GC与平面母F夹角的正弦值最小？

【解析】⑴证明因为£,户分别是力。和S的中点，且46=加-2,

所以CF=3BF=邓.

如图，连接AF,由BFLAB,AB//A&,得BFLAB,于是册=乖西蕊=3,所以AC=y]AFi-C^=2yf2.

由力）+初=/巴得gBC,故以8为坐标原点，以物,BC,多所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角

坐标系,

则8(0,0,0),£(1,1,0),尸@2,1),法=(0,2,1).

设=2）,则，（必，0,2）,

于是庞=(1—m，1,—2).

所以麻1•应'=0,所以即L班：

(2)解易知平面能GC的一个法向量为

ni=(1,0,0).

设平面〃叨的一个法向量为z?2=(x,y,z),

DE*z?=0,

则L2

、EF・42=0,

又龙=(1一如1,-2),旗=(—1,1,1),

f(l—zz?)^+y—2z=0,

所以..A

[—x+y+z=0,

令x=3,得p=/+1,z=2—m,

于是平面以石的一个法向量为

口2=(3,勿+1,2一向，

设平面圈GC与平面以石的夹角为e,

贝!Jsin—cos2(Z7i,ih),

故当片；时，平面能GC与平面叱夹角的正弦值最小，为坐，即当时，平面防GC与平面〃硬夹

角的正弦值最小.

【训练四】如图，在四棱锥3中，底面恕切是菱形，点〃在线段/T上，PABABC=帮,“是线段

(1)若〃是9的中点，证明：平面4W平面应泌

⑵若如，平面力及力，求二面角层加。的正弦值.

【解析】⑴证明：连接北交协于点。，连接酸

由V三棱锥/BCD=&V四棱锥P-ABCD9得MC=WPG贝ij加■=:比；又。为4C的中点，所以。/〃/〃

032

因为凡H分别为PB,冏/的中点，m以NH//BM.又AHCNH=H,0MCBM=M,所以平面4W平面瓦砌

(2)连接ON,则0N//PD,所以必让平面ABCD.

建立以。为坐标原点，而，应，质的方向分别为x,y,z轴正方向的空间直角坐标系，则。（0,0,0）,40,坐，0

《0,一坐,0）,《一|‘。,°）,（一1,一（，乎）,无=（0'/，o）,砺=[，一坐一^），忌=

XL号PL斗©=0,

A•仞9=0,

设平面血切的法向量为m=Cn,yi,zi）,则＜OO得％=o.

、/21•施=0不力=0,

取Xl=l,得21=/,所以A1=（1,0,事）,

同理可得，平面◎勿的一个法向量为Zfe=（1,小,0）,

1、诟

所以COS〈Ai,Ih）=],所以二面角层加C的正弦值为

四、【强化测试】

一、单选题

1.（2022•四川成都•成都市第二十中学校校考一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD-\BXCXDX中,

E、F、G、H、P均为所在棱的中点，则下列结论正确的有（）

①棱上一定存在点Q,使得QC^AQ

②三棱锥尸-EP”的外接球的表面积为舐

③过点E,F,G作正方体的截面，则截面面积为3场

④设点M在平面8瓦CQ内，且AM〃平面AG",则与A2所成角的余弦值的最大值为逑

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设出。点坐标，求出满足题意的位置即可，经计算可知。点不

存在，故①错误；根据三棱锥尸-EPH的几何特征，可计算出其外接球半径为0,所以②正确；由图可知,

过点E,F,G的截面为边长是0的正六边形，即可计算其面积，所以③正确；利用空间向量写出AM与

A3所成角的余弦值的表达式求其最值即可，所以④正确.

【详解】建立如图空间直角坐标系，

设0(2,/0),其中0VaV2,C(0,2,0),R(0,0,2),

所以QC=(—2,2-a,0)，AQ=(2,a,-2),

若棱A3上存在点。，使得QC^RQ,则QC.，Q=0,

整理得(4-1)2+3=0,此方程无解，①不正确;

设的中点为K,则四边形尸是边长为近的正方形，其外接圆的半径为厂=1,

又PK，底面ABCD,所以三棱锥歹-的外接球的半径为尺=炉石=0；

所以其表面积为8TI,②正确；

过点E,F,G作正方体的截面，截面如图中六边形所示，

因为边长均为亚，且对边平行，所以截面六边形为正六边形,

其面积为S=6xgx夜x忘xsin60=373,③正确；

点M在平面BBgC内,设M(m,2,n),

则A(2,0,2),A(2,0,0),G(0,2,1),HQ,2,0),2(2,2,0),

A〃=(〃2-2,2,〃-2),AG=(-2,2,1),GH=(1,0,-1),AB=(0,2,0)

,、n-AG=0

设n=(x,y,z)是平面AGH的一个法向量，则<

nGH=0

令Z=1可得x=l，y=即〃=(&』)，

因为A〃//平面AG//,所以&W.〃=0,即m+〃=3,

八AM.AB2

设AM与钻所成角为凡则M=丽同飞苏-62'

3Q

当机=5时，y=2m2一6根+9取最小值5,

所以A"与AB所成角的余弦值的最大值为速，故④正确；

3

故选：C.

2.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=AC=1,3C=A4,=血，点瓦。分别是线段GC,BC的中点,

=分别记二面角厂一O四一E,F-OE-B,,尸-E与-。的平面角为名八人则下列结论正确的

C.a>y>PD.y>a>/3

【答案】D

【分析】过点C作Cy//A&以C为原点，C4为x轴，Cy为y轴，C&为z轴，建立空间直角坐标系，利用

向量法求解二面角的余弦值得答案.

【详解】解：因为AB=AC=1,BC=AAl=y/2,所以AB?+AC?=3C?,即AB/AC

过点C作Cy〃AB,以C为原点，C4为无轴，Cy为y轴，CQ为z轴，建立空间直角坐标系,

则?(1,0,乎)，0),£(0,0,苧，B,(l,1,V2),

OB\=q，；Q），OE=（W

设平面。4石的法向量相=（x,y,z）,

m-OBx=gx+gy+0z=O

则取％=1,得加=（1,—1,0），

]1

m-OE=——x——y+——z=Q

222

同理可求平面。男厂的法向量几=（-5&,-忘,3）,

平面OEV的法向量。=（-亭,半,3）,平面现里的法向量g=（_曰,一0,3）.

m.n4屈m»p45/34m・q屈

/.cosa=---------=-------,cos/?=-----------=--------,cosr=----------=------.

\m\4n\61|加,|p|34\m\,\q\46

:.y>a>/3.

【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面

面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

3.如图，在长方体/比》中，4户於2,刨=1,则8G与平面物浦浦所成角的正弦值为（）

TB.半C.fD.f

【答案】D

【详解】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、DA所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐

标系则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1)

:.BQ=(-2,0,1),AC=(-2,2,0),AC且为平面BBDD的一个法向量.

cos〈BCj,AC〉=挤瓜=?....BC与平面BBDD所成角的正弦值为普

考点：直线与平面所成的角

4.(2023•吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测)直三棱柱ABC-AgG如图所示,

A5=4,3C=3,AC=5,O为棱A3的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61兀，则异面直

线4。和耳C所成的角的余弦值为(

「4A/2160

525

【答案】A

【分析】先根据已知条件求出侧棱长，然后建立空间直角坐标系，求出直线4。和4c的方向向量，从而可

求解.

【详解】因为在直三棱柱ABC-中，所以球心到底面的距离』=竿，

又因为AB=4,BC=3,AC=5,所以AB?+gc2=AC?,所以AB13C,所以底面外接圆半径r=二,

2

又因为球的表面积为61兀，所以R

2

而R2=，+42,所以8片=6,

以巴为原点，BG为x轴，与4为y轴，耳8为z轴建立空间直角坐标系，则

瓦（0,0,0）,A（0,4,0）,C（3,o,6）,D（0,2,6）,

.•.B,C=（3,0,6），AO=（0,_2,6）,

,]C卜3君,R4=2A/10,BXC.\D=36,

设直线4。和耳C所成的角为e,则

cos6*=|cos（B,C,Ar））|=B'C'^D.363夜

114d•四3国2回一5

故选：A.

5.己知直四棱柱ABCD-AgGR的所有棱长相等，ZABC=60°,则直线BG与平面ACGA所成角的正切

值等于（）

A..B.叵A/15

■"V

445

【答案】D

【解析】以A为坐标原点，AK所在直线为x轴，AD所在直线为>轴，A4所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系.求解平面ACGA的法向量，利用线面角的向量公式即得解.

【详解】如图所示的直四棱柱ZABC=600,取BC中点E,

以A为坐标原点，AE1所在直线为x轴，AD所在直线为，轴，A4所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系.

设AB=2,则A(0,0,0),A(0,0,2),3(省,-1,0),C(百,1,0),g(石,1,2),

BG=(0,2,2),AC=(73,1,0),A4,=(0,0,2).

设平面ACGA的法向量为〃=(%,y,z),

n-AC=y/3x+y=0,

则—取x=l,

n•=2z=0,

得〃=(1,-^,0).

设直线BC］与平面ACQA所成角为e,

13GfI_I-2>/3I_V6

贝Ijsine=卜4「|〃|一|八衣|一4

直线BCt与平面ACQA所成角的正切值等于卓

故选：D

【点睛】本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

6.如图，在正四棱柱ABCD-A46A，中，底面边长为2,直线C&与平面ACR所成角的正弦值为g,则

正四棱柱的高为.

【答案】C

【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为。，求出平面AC2的法向量力，令|cos<w,CG>|=g求出。的值.

【详解】以。为原点，以ZM,DC,。2为坐标轴建立空间坐标系如图所示，

设皿=a,则4（2,0,0）,C（0,2,。），0/0,0,a）,

贝ljAC=(-2,2,0),AD,=(-2,0,a),CC,=(0,0,a),

n-AC=0

设平面AC?的法向量为〃=（x,y,z）,则

nAD[=0'

一2x+2y=0

令工=1可得篦=(1,1,-),

—2x+az=0a

mCC、22

I.Lcrar＞一~—[-

故8sv〃，|n||CC|[4~,2/+4•

Xaxj，

Va

直线CC,与平面4c2所成角的正弦值为;,

21-

二.而策=3,解倚：a=4.

故选C.

X

【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题.

7.如图二面角a-y-£的大小为60。，平面夕上的曲线G在平面a上的正射影为曲线C?,C?在直角坐标

系xQv下的方程f+y2=i则曲线C的离心率（）

D.

2

【答案】C

【分析】设P（x,y）为曲线Ci任意点，它在平面a上的正射影为点P'（私⑶，即可曲线C1的方程，从而求出

椭圆的离心率.

m=xcos60

【详解】解：设尸（龙4）为曲线G任意点，它在平面a上的正射影为点尸（九九），且

n=y

又病+/=1,所以—+y2=1,所以b=l,a=2,

所以c=1a2一及_班.

-e.C_m

a2

故选：C.

8.若正四棱柱ABCO-ABGA的体积为百，AB=1,则直线X8与CQ所成的角为（）

A.30B.55C.60D.90

【答案】C

【分析】以。为原点，D4为x轴，DC为,轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直

线4片与C0所成的角.

【详解】解：・正四棱柱ABC。-AgGR的体积为百，AB=1，，相=后,

以。为原点，DA为X轴，。。为y轴，为Z轴，建立空间直角坐标系,

则41,0,0）,5,（1,1,73）,c（0,1,0）,0,（0,0,/），

AB,=（0,1,也）,CDt=（0,-1,/），

设直线ABt与CD,所成的角为6,

|AB.CD,|_2_1

则cos0=X.■.6»=60°，

IAB】MCDJ-A"-5

・・・直线AB,与皿所成的角为60。.

【点睛】本题考查通过向量法求异面直线所成角，运用到空间点坐标、向量坐标和空间向量的运算，以及

考查运算求解能力和空间想象能力.

二、多选题

9.（2023•福建•统考模拟预测）正方体A8CO-44GA的棱长为1,M为侧面出口。上的点，N为侧面

CGSD上的点，则下列判断正确的是（）

A.若BM=M则M到直线4。的距离的最小值为正

24

B.若瓦NLAG，则NeCR,且直线gN〃平面48。

C.若MeAQ,则与M与平面48。所成角正弦的最小值为包

3

D.若MwA。，NwCDi,则M,N两点之间距离的最小值为更

3

【答案】BD

【分析】由已知可推得M为以A点为圆心，g为半径的圆上.作图，即可根据圆的性质得出最小值，判断A

项；先证明平面，结合用N,即可得出与N〃平面48。；建立空间直角坐标系，求出平

/iruuum、1

面48。的法向量,表示出期如与叼=氐/2442+3,根据不等式的性质，即可判断C项；MN为直