上海市虹口区2023-2024学年高三年级下册二模 数学 含解析

虹口区2023学年度高三第二学期期中学生学习能力诊断测试

数学试卷

考生注意：

1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟，

2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位

置，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生

应在答题纸的相应位置直接填写结果.

.3

sma=——

1.已知5,贝ijcos2a=.

2.已知球表面积为36乃，则该球的体积为.

3.过抛物线V=4%焦点的弦AB的中点横坐标为2,则弦AB的长度为.

Y—2

A={Rtanx<0},B=<x------<0>

4.已知集合1％J,则A'B=.

5.已知随机变量3（50,0,且E[X]=20,则”[X]=.

6.3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻站法种数为.

7.已知一个三角形的三边长分别为2,3,4,则这个三角形外接圆的直径为.

8.已知等比数列{%}是严格减数列，其前九项和为若4,2g,3%成等差数列，则吧$.一

°卜同=3,以=4,a力=4\c—b\—1\c-a\

9.已知平面向量”涉满足।।,若平面向量,满足।।,则F勺的最大值为

10.从某个角度观察篮球（如图1）,可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆

O,将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆。的交点将圆。的周长八等分，

且AB=BC=CE>,则该双曲线的离心率为.

图1图2

11.如图，在直四棱柱"BCD—A4GR中，底面ABCD为菱形，且NR4D=6。.若AB-A4[-2,

点M为棱CG的中点，点尸在上，则线段PA,PM的长度和的最小值为.

12.已知关于X的不等式(向一砌-仕+3)%+小0对任意xe(O,y)均成立，则实数人的取值范

围为.

二、多选题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每

题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.

13.欧拉公式e"=cos9+isin9把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cos6和sin8联系在一起，

.3兀

被誉为“数学的天桥”.若复数z满足(z+e2>i=2-i,则忖=()

A.72B.272C.75D.710

14.设〃x)=sin2x+ecos2x,将函数y=/(X)的图像沿x轴向右平移四个单位，得到函数

y=g(x)的图像，则()

A.函数y=g(x)是偶函数

B.函数y=g(x)的图像关于直线x对称

C.函数y=g(x)在上是严格增函数

D.函数y=g(x)在今年上值域为[-6目

15.给出下列4个命题：

①若事件A和事件B互斥，则P(AnB)=P(A)P(B)；

②数据2,3,6,7,8,10,11,13的第70百分位数为10；

③已知》关于x的回归方程为y=-0.5x+0.7,则样本点(2,-1)的离差为-0.7；

(o123)

④随机变量X的分布为cccccc,则其数学期望E[X]=1.6.

(0.20.20.30.3)L」

其中正确命题的序号为()

A.①②B.①③C.②③D.②④

16.已知定义在R上的函数〃x),g(x)的导数满足，(尤)、g'(x),给出两个命题：

①对任意XiaeR,都有—/(々J4|g(xj—g(%2)|；②若g(x)的值域为

[m,M],/(-1)=m,/(l)=M,则对任意XGR都有/(x)=g(x).

则下列判断正确的是()

A.①②都是假命题B.①②都是真命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题

三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤.

17,已知等差数列｛4｝满足g=5，%+7=2%.

(1)求｛为｝的通项公式；

(2)设数列｛a｝前几项和为且-屋,若黑〉432,求正整数加最小值.

18.如图，在三棱柱ABC-中，CAVCB,。为AB的中点，CA=CB=2,CCX=3.

(1)求证：AC1〃平面片。。；

(2)若CC]，平面ABC,点尸在棱A4上，且？。，平面与CD,求直线CP与平面片CD所成角的

正弦值.

19.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差(零件质量

与标准质量之差的绝对值)的样本数据如下表:

质量差(单位：mg)5457606366

件数(单位：件)52146253

(1)求样本质量差的平均数无；假设零件的质量差xN.,吟,其中02=16,用元作为〃的近似

值，求P(56<X<68)的值；

(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的2来自第1条生产线.若两条生产线的

4

废品率分别为0。16和0.012,且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中

随机抽取一件.

(i)求抽取零件为废品的概率；

(ii)若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量X则

尸(〃—XV〃+卜0.6827,尸(〃—2crvX<〃+2o■卜0.9545,尸(4—3cr<X<//+3cr)«0.9973

22

20.己知椭圆「：\+3=1(。〉5〉0)的焦距为26，点/>(0,1)在椭圆「上，动直线/与椭圆「相交

于不同的两点A,3,且直线PAM的斜率之积为1.

(1)求椭圆r的标准方程；

(2)若直线Q4为的法向量为〃=(L-2),求直线/的方程；

(3)是否存在直线/,使得钻为直角三角形？若存在，求出直线/的斜率；若不存在，请说明理由.

21.若函数y=/(x)满足：对任意石,％6艮为+々彳0,都有"国)+"/)>0,则称函数

丁=/(*)具有性质「.

⑴设/(x)=e"g(x)=x3+%,分别判断y=/(x)与y=g(x)是否具有性质P?并说明理由；

(2)设/(x)=x+asin2x函数y=/(x)具有性质p,求实数。的取值范围；

(3)已知函数y=/(x)具有性质P,且图像是一条连续曲线，若y=/(x)在R上是严格增函数，求

证：y=/(x)是奇函数.

虹口区2023学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试

高三数学试卷

2024.4

考生注意：

1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟，

2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位

置，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应

在答题纸的相应位置直接填写结果.

3

sinCL——

1.已知5,则cos2a=；

7

【答案】一##0.28

25

【解析】

【分析】直接利用二倍角的余弦公式计算可得；

【详解】因为sin6=—。，所以cos2e=l—2sin2e=l—2x[—。]=—

5I5）25

7

故答案为：—.

25

2.已知球的表面积为36乃，则该球的体积为.

【答案】36"

【解析】

【分析】设球半径为A，由球的表面积求出R=3,然后可得球的体积.

【详解】设球半径为A,

:球的表面积为36乃，

•••4兀火2=36万,

:.R=3,

该球的体积为V=—TIR3=—x7ix33=36乃.

33

故答案为367r.

【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果.

3.过抛物线V=4x焦点的弦AB的中点横坐标为2，则弦A5的长度为.

【答案】6

【解析】

【分析】根据焦半径公式计算可得.

【详解】抛物线V=4x的准线方程为x=—1,设A(HX),3(々，%)，

则生产=2,所以为+4=4,

所以|AB|=%+l+/+l=4+2=6.

故答案为：6

Y—2

4.已知集合4==<x------<0>,则AB=.

x

TT

【答案】\x-<x<2\

、2,

【解析】

【分析】先求出集合A,3,再根据交集的定义即可得解.

兀

【详解】A={x|tanx<0}=<x--+foi<x<eZ>,

r—9]

B=lx——<0U{x|0<x<2),

71

所以AcB=《x—<xV2>.

、2

71

故答案为：\x—<x<2\.

、2,

5.已知随机变量X〜5(50,p),且E[X]=20,则£)[x]=.

【答案】12

【解析】

【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可.

【详解】随机变量X〜5(50,0),

/.矶X]=秋=50P=20,

2

则D[X]=/zp(l_#=50x|x(l—g)=12.

故答案为：12

6.3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为.

【答案】144

【解析】

【分析】利用插空法求解即可.

【详解】先将3个男孩站成一排，有P；=6种方法，

将3个女孩插入3个男孩形成的4个空位中，有琛=24种方法，

故一共有：p；p：=144种.

故答案为：144

7.已知一个三角形的三边长分别为2,3,4,则这个三角形外接圆的直径为.

[答案]坦叵#曾岳

1515

【解析】

【分析】不妨设ABC中a=2,b=3,c=4,利用余弦定理求出cosA,即可求出sinA,再由正弦定

理计算可得.

【详解】不妨设A5C中。=2,b=3,c=4,

由余弦定理/=b~+c2-2bccosA，即2?=32+42-2X3X4COSA-

7

解得cosA=w，又Ae(O,7i),

所以sinA=A/1-cos2A=边5

8

a=2=16岳

由正弦定理sinA^515

即这个三角形外接圆的直径为更史.

15

故答案为：竺@5

15

8.已知等比数列｛4｝是严格减数列，其前九项和为=2,若q,2a2,3%成等差数列，则理S〃=

【答案】3

【解析】

【分析】利用等差数列的定义和等比数列的求和公式即可.

【详解】因为。1，2。2,3%成等差数列，

故q+3。3=4%，即4+3%/=,

312_4q+1=0,解得：9=1或q=；.

因为等比数列｛4｝是严格减数列，且q=2〉0,故q=1.

2卜-印3

所以limSn=lim—=-----——=3*

n—>oon—>oo1

1--

3

故答案为：3

9.己知平面向量满足同=3，W=4,a0=4,若平面向量C满足上一可=1,则|c—4的最大值为

【答案】旧+1##1+后

【解析】

【分析】设。4=a,08=6,OC=c,先求出/AOB,以点。为原点，03为x轴的正方向建立平面直角坐

标系，根据k-可=1求出点。的轨迹，进而可得出答案.

【详解】如图，^OA=a,OB=b,OC=c,

因为同=3,.J=4,。力=4,

所以cosNAOB=/一=」，故sinNA05=2&，

3x433

如图，以点。为原点，05为九轴的正方向建立平面直角坐标系,

y

则3（4,0）,A（l,2点），设C（x,y）,

由卜—耳=1,得（x_4『+;/=1,

所以点C的轨迹是以点B为圆心，1为半径的圆，

\c-d\=表示A,C两点间的距离，

所以卜一4的最大值为|+1=J（4-1）2+（0-2A/2）2+1=717+1.

故答案为：717+1.

10.从某个角度观察篮球（如图1）,可以得到一个对称平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆。,

将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆。的交点将圆。的周长八等分，且

AB=BC=CD,则该双曲线的离心率为.

【解析】

【分析】设圆。半径为,，利用半径表示出。和圆上第一象限的八等分点的坐标，代入双曲线方程可得

b,然后可得离心率.

22

【详解】设圆。半径为r,双曲线方程为——斗=1（。＞0力＞0）

ab

因为AB=5C=CD,所以。二C

3

r2r2

由题意可知，E（叵，叵），代入方程上—彳=1,得冬—己=1

22a2b2±b-

g

11.如图，在直四棱柱ABC。—A4GR中，底面A3CD为菱形，且/54。=60.若A3=A4=2,点

M为棱CG的中点，点P在43上，则线段PAPM的长度和的最小值为.

［答案］79+2710

【解析】

【分析】取2G的中点N,连接MN、AN、BM、D］C,首先证明A3〃"N,即可从、B、M、

N四点共面，连接AM，AC，求出NABM=90°,将网绕A|B翻折，使得平面ABA1与平面

A3MN共面，连接40交于点尸，最后利用余弦定理计算可得.

【详解】取2G的中点N,连接肱V、AN、BM、DQ

因为点加为棱CG的中点，所以MN//DC,又3c且4。=BC，

所以为平行四边形，所以A3//2C,

所以A3〃MN,即A、B、M、N四点共面，连接AM，AG，

则43=万百=2应，BM=M+f=8

因为底面ABCD为菱形，且/BAD=60，所以NADC=120，

所以AG=V22+22-2X2X2COS120°=273，

所以AM=J(2A/3)2+12=岳，

所以4笈+3/2=4〃2,即所以NA3M=90°,

将△AA41绕AB翻折，使得平面ABA与平面ABMN共面，连接40交于点尸,

则B4+PM之AM,

又NABM=135°，

BMCOS

在,ABM中AM?二钻a+四？—2Ag.ZABM，

即AM2=22+(75)2-2x2x75x|^-^=9+2710,

所以3=,9+2师，

即线段B4、PM的长度和的最小值为59+2而•

Nr

故答案为：，9+2厢

12.已知关于X的不等式（向―近）［尤2—优+3卜+4卜0对任意xe（O,+a））均成立，则实数左的取值范

围为.

【答案】-,1

e

【解析】

【分析】根据题意，分lux—日W0且％2—（左+3）X+4NO和lux—底20且£—（左+3）x+4W0,两种

情况讨论，构造函数，利用导数和基本不等式，求得函数的最值，即可求解.

【详解】因为关于x的不等式（Inx-辰）［尤2一（左+3）］+4仁0对任意兀武。,”）均成立，

①当lux—日W0对任意xG（0,+<»）均成立时，可得k4竽对任意xe（0,转）均成立，

令〃x）=皿,x>o,可得,（力=匕”，

XX

当xe（0,e）时，制》）>0,"%）单调递增；

当xe（e,+8）时，r（x）<0,/（%）单调递减，

所以〃x）3x=/（e）=%所以心%

又由丁一（左+3）x+420对任意x£（0,+oo）均成立，

可得左《工+——3对任意%£（0,+oo）均成立，

X

4I~44

因为x+上——3=1,当且仅当％=—时，即x=2时，等号成立，

X\XX

所以左W1,所以工三左WL

e

②当］nx—kx20且*—（左+3）］+4<0对于任意x£（0,+oo）均成立时，

结合①可知上〈,且左21,此时左无解.

e

综上可得，实数实数人的取值范围为-,1.

e

故答案为：一』.

e

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、合理转化，根据题意转化为两个函数最值之间的比较，列出不等式关系式求解；

2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造

的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放

缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

二、多选题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每题

有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.

13.欧拉公式ei'=cosd+isin9把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cos夕和sin。联系在一起，

.3兀II

被誉为“数学的天桥”.若复数z满足(z+e=).i=2-i，则目=()

A.叵B.2A/2C.75D.M

【答案】A

【解析】

【分析】利用欧拉公式，复数的除法运算求出复数z,再求出复数的模.

i•即•3TT3TT.3兀

【详解】由欧拉公式得e2=cosy+isin^=-i,因此色+不妥)，=2-i化为.一D1=2—i，

2—i(2—i)(—i).—1—2i..

贝i]z_i=——，=———+1=--—+i=

ii-(-i)1

所以同=J(-l)2+(-l)2=y[2.

故选：A

14.设“x)=sin2x+6cos2x,将函数y=/(力的图像沿了轴向右平移四个单位，得到函数y=g(x)

的图像，贝(！()

A.函数y=g(x)偶函数

B.函数y=g(x)的图像关于直线x对称

C.函数y=g(x)在上是严格增函数

D.函数y=g(x)在上的值域为[-6,2]

【答案】D

【解析】

【分析】利用两角和的正弦公式化简“力的解析式，再根据三角函数的变换规则得到g(x)的解析式，最

后根据正弦函数的性质一一判断即可.

【详解】因为〃x)=sin2x+V§cos2x=2—sin2x+^-cos2x=2sinf2x+—

将函数y=/(x)的图像沿x轴向右平移四个单位得到g(x)=2sin2x—J=2sin2x,

Xg(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-g(x),所以g(x)=2sin2x为奇函数，故A错误;

因为g]=2sin2x]=2sin7i=0,所以函数y=g(x)的图像不关于直线x=g对称，故B错误;

当xe—时2xe一,兀,因为y=sin_v在—,n上单调递减,

422-2

所以函数丁=8(%)在上是严格增减函数，故C错误；

,「兀2兀1「兀4兀1”一.八。31

当工£一,—时2%£一,—所以sin2%w----,I,

\_63J133」f[2

r\

贝I]g(x)e[-百,2],即函数y=g(x)在:T上的值域为[—6,2],故D正确.

故选：D

15.给出下列4个命题：

①若事件A和事件B互斥，则尸(Ac3)=尸(A)P(3)；

②数据2,3,6,7,8,10,11,13的第70百分位数为10；

③已知y关于x回归方程为y=—0.5X+0.7,则样本点(2,-1)的离差为-0.7；

(o123)

④随机变量X的分布为，则其数学期望E[X]=L6.

V-z•Vz•*2^V-Z•

其中正确命题的序号为()

A.①②B.①③C.②③D.②④

【答案】C

【解析】

【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据百分位数的定义判断B；根据离差的定义判断C；根据期望公式

判断D.

【详解】对于①：因为事件A和事件B互斥，所以P(A5)=0,故①错误；

对于②：因为8x70%=5.6,所以第70百分位数为从小到大排列的第6个数，即可为10,故②正确；

对于③：因为y=—。.5%+0.7,当％=2时y=-0.5x2+0.7=—0.3,

所以样本点(2,-1)的离差为—1—(—0.3)=-0.7,故③正确；

对于④：E[X]=0x0.2+lx0.2+2x0.3+3x0.3=1.7,故④错误.

故选：C

16.已知定义在R上的函数/(x),g(x)的导数满足/(%)|Wg'(x),给出两个命题：

①对任意都有，(%)-/(%2)|三卜(%)-g(%2)|；②若g(x)的值域为

[m,M],/(-l)=m,/(l)=M,则对任意xeR都有/(x)=g(x).

则下列判断正确的是()

A.①②都是假命题B.①②都是真命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题

【答案】B

【解析】

【分析】对于①，根据不等式|〃玉)—/(%2)|<k(%)一8(%)|，构造函数

h(x)=/(%)-^(x),m(x)=/(%)+g(x),然后利用函数的单调性证明即可；对于②，根据函数的值域和单

调性，结合不等式求解即可.

，，

【详解】O<|/(X)|<(?(X))故g(x)在R上递增，

对于①，设石〉.，・・.g(x)Ng(x2),

设飘x)=f(x)-g(x),m(x)=f(x)+g(x),

(刈<g<x),，一g'(x)<f\x)<g\x),

h'(x)=f'(x)-gXx)<0,加(x)=f'(x)+g'(x)>0,

.，*h(x)单调递减，m(x)单调递增，

/./z(x1)</z(x2),)>m(x2),

.•,/(^)-g(^)</(x2)-g(x2),即/(%)—/(X2)wg(%)—g(%2),

/(^)+g(^)>/(%2)+g(X2),即/(%)—/(%2)Ng(x2)—g(%),

.•.|/(x1)-/(x2)|<g(x1)-g(x2)

故I/(石)-/(%2)目g(%)-g(%2),故①是真命题.

对于②,由①知，—/⑴闫g(—l)—g(l)|,

即l)-g⑴

1^(-l)-g(l)|<M-m,故|g(—1)—g⑴|=M―m.

且g(x)在R上递增，故g(D=Mg(-1)=凡

|/(x1)-/(x2)|<|g(x1)-1?(x2)|<M-m,

故/(%)的值域为[狐M],

J〃x)—1)目g(x)—g(—1)|

,h〃l)T(x)R|g⑴—g(x),

即故/(x)=g(x),

〔/(x)Ng(x)

②是真命题.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题①判断的关键是首先根据导数和函数单调性的关系得到g(x)在R上递增，再构

造函数//(%)=/(%)-g(x)，加⑴=/(九)+g(x),利用导数得到其单调性，最后得到

/(%)—/(X2)4g(xj—g(*2)，则可判断①.

三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤.

17.已知等差数列｛a〃｝满足。2=5,%+7=2%.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设数列也｝前〃项和为S“，且用=*「寸，若£〉432,求正整数冽最小值.

【答案】(1)4=2〃+1

⑵10

【解析】

【分析】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,依题意根据等差数列通项公式得到关于％、d的方程组，解

得即可求出通项公式；

(2)由(1)可得或="3-a；=8〃+8,利用等差数列求和公式求出S“，再解不等式即可.

【小问1详解】

设等差数列｛q｝的公差为d,

a,+d=5fa=3

则。,rc/一、，解得＜,c，

q+8d+7=2(t/]+5d)d=2

故an=a1+(〃-l)d=2〃+1；

【小问2详解】

由⑴可得。“+1=2”+3,

22

则*=a；+l-a；=(2n+3)-(2«+1)=8«+8,

所以2-％=8(〃N2),则数列也｝是以伪=16为首项，8为公差的等差数列，

,,(16+8+8〃)〃

故S,,=---------=4"+912〃，

"2

因为黑＞432,所以4疗+12相＞432,所以4(加+12)(加-9)＞0,

所以机＞9或根＜—12,

因为〃zeN*,所以m＞9,所以加的最小值是10.

18.如图，在三棱柱ABC-A3]G中，CArCB,。为AB的中点，CA=CB=2,CG=3.

(1)求证：AC1〃平面及。。；

(2)若CQJ■平面ABC,点P在棱A%上，且。。，平面8。。，求直线CP与平面与所成角的正

弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵

10

【解析】

【分析】(1)连接BG，交BC于点E,连接OE,即可得到ACJ/DE，从而得证；

(2)建立空间直角坐标系，设点P的坐标为(2,0,r)(0W『W3),由平面片。。，则

即可求出/,从而确定P点坐标，再由空间向量法计算可得.

【小问1详解】

连接8G，交B[C于点E，连接DE,

。为A3的中点，在平行四边形35lGC中E为8G的中点，

二DE是，ABC1的中位线，可得A,〃DE,

QAG<Z平面B[CD,DEu平面B£D,

ACJ/平面B[CD；

【小问2详解】

因为cqj_平面ABC,AC,5Cu平面ABC,所以CG，AC,CQ1BC,又C4，Cfi,

故以点C为坐标原点，直线CA,C3,CCX分别为苍％z轴，建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),A(2,0,0),5(0,2,0),D(l,1,0),4(2,0,3),Bx(0,2,3),Q(0,0,3).

设点尸的坐标为(2,0/)(0W/W3),则。P=(l,—1,。，力瓦=(-1,1,3),

因为。平面耳CD，。耳u平面片CD,所以如，。四，

2

所以DP-Q4=1x(-l)+lx(—l)+3/=3/-2=0,解得/=],经检验符合题意.

所以尸[2,0,g),则CP=[2,0,g),

又CD=(1,1,O),CB1=(0,2,3).

设平面BXCD的一个法向量为n=(x,y,z),

x=-y

n-CD=x+y=0

则即《_2，取y=-3得〃=(3,-3,2),

n-CB=2y+3z=0z——y

X3"

设直线CP与平面BXCD所成的角为氏

V55

则。=

sincosCP,n记,

故直线CP与平面BXCD所成角的正弦值为.

10

19.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量

与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：

质量差（单位：mg）5457606366

件数（单位：件）52146253

（1）求样本质量差的平均数元；假设零件的质量差xN出吟,其中02=16,用元作为〃的近似

值，求P（56<X<68）的值；

（2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的三来自第1条生产线.若两条生产线的

4

废品率分别为0.016和0.012,且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中

随机抽取一件.

（i）求抽取的零件为废品的概率；

（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量XN.,吟,则

P（〃一bvX<4+cr）20.6827,尸（//—2cr<X<//+2cr）«0.9545,P（//—3cr<X<//+3cr）«0.9973

【答案】（1）；=60，尸（56<X<68卜0.8186

(2)(i)0.015;(ii)0.8

【解析】

【分析】(1)先求出五，再利用正态曲线的对称性求解；

(2)(i)利用全概率公式求解；(ii)利用条件概率公式求解.

【小问1详解】

54x5+57x21+60x46+63x25+66x3

由题意可知x==60,

100

则X~N(60,16),

所以尸(56<X<68)=P(60—4<X<60+4x2)

=；尸(〃一cr<X++(〃-2b<X4〃+2cr)

」x0.6827+-x0.9545=0.8186；

22

【小问2详解】

(i)设事件A表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品

事件与表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，

事件层表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，

31

则尸(左)=:，P(B2)=~,尸(A|4)=0.016,P(A|B2)=0.012,

44

31

所以p(A)=P(4)P(A|耳)+P(B2)P(A|B2)=-X0.016+-X0.012=0.015；

(ii)因为尸(A|BJ=要9

r\D\)

3

所以P(ABj=P(A[5])P(5])=0.016x；=0.012,

所以加6常二器3

22

20.已知椭圆「：二+4=l(a〉6〉0)的焦距为2百，点P(0」)在椭圆「上，动直线/与椭圆「相交于

a2b2

不同的两点A,3,且直线PA,M的斜率之积为1.

(1)求椭圆F的标准方程；

(2)若直线E4为的法向量为2),求直线/的方程；

(3)是否存在直线/,使得,已钻为直角三角形？若存在，求出直线/的斜率；若不存在，请说明理由.

---05

所以直线/的斜率KB=T—=一k，

~17+2

所以直线/的方程为y=—』（x+2）,即5尤+6y+10=0；

6

【小问3详解】

假设存在满足条件的直线/,

设直线的方程为丁=初％+1（机/0）,

y=mx+1

,得（4疗+1）尤2+8mx=0,解得/=——蜉一（4=0舍去），

联立X221

—+y=1、7A4m2+1

I4-

因为直线PA,PB的斜率之积为1,所以直线PB的方程为y=-x+l,

m

8x-

m8m

同理可得%=

1m2+4'

41

m+1

1）一:4+11

mxA+mx----x

故直线/的斜率k=%—%AmB

1

/一马

m__—（--8疗।8

_I4""+lJ加1加2+4）_4疗+1m2+4

8m[8m）8m8m

4m2+11m2+4J4m2+1m2+4

4m2+l-m2（m2+4]4-lm2+lif1

=-----------------------------=-------m---------=-----------Ifl-|

根[（4/+1）-（后+4）]3加"一1）3m3（m

当，RW为直角三角形时，只有NRLB=90。或NFR4=90。，

于是k二---或左二-m,

m

若k=—■—,由---=一；H—],可得加从而左=*史

mm3^mJ2

1,可得加=土受，仄而k=不也,

若k=—m,由一根=_]m-\——

m22

所以存在，直线/的斜率为土变

2

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(国,%)、(为,％);

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算△；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为为+%2、