甘肃省广河县2024年十校联考最后数学试题含解析

甘肃省广河县重点中学2024年十校联考最后数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，AD为AABC的中线，点E为AC边的中点，连接DE,则下列结论中不一定成立的是（)

1

B.AB=2DEC.SACDE=—SAABCD.DE/7AB

4

2.在对某社会机构的调查中收集到以下数据，你认为最能够反映该机构年龄特征的统计量是（）

年龄13141525283035其他

人数30533171220923

A.平均数B.众数C.方差D.标准差

3.一个正比例函数的图象过点（2,-3）,它的表达式为（）

4.在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形.该小正方形的序

B.②C.③D.@

5.如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（）

6.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如

图线段04和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系.则下

B.轿车在行驶过程中进行了提速

C.货车出发3小时后，轿车追上货车

D.两车在前80千米的速度相等

7.在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球.从袋中任意摸出一个球,

是白球的概率为（）

1131

A.—B.-C.D.—

23105

8.正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合,最小的旋转角度数是()

A.36°B.54°C.72°D.108°

9.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E,ZA=30°,NACB=80。，则/BCE等于（）

10.某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次

相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本.求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册,

列方程正确的是（）

120240240120

=4B.=4

Xx+20x+20X

120240240120

=4D.=4

Xx-20x—20X

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在平面直角坐标系中，点P（-L。）在直线y=2x+2与直线y=2尤+4之间，则a的取值范围是

12.如图，在AABC中，NAC3=90。，NABC=60。，A5=6cm,将AABC以点3为中心顺时针旋转，使点C旋转到

A3边延长线上的点。处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是cm1.（结果保留兀）.

13.一个凸边形的内角和为720。，则这个多边形的边数是

14.若点（。，1）与（-2,b）关于原点对称，贝!JT=.

15.在直角坐标平面内有一点A（3,4）,点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为a,那么角a的余弦值是.

16.某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m,后拉杆AE的倾斜角NEAB=53。,

篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m,在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐

到地面的距离GH的标准高度为3.05m.则篮球架横伸臂DG的长约为____m（结果保留一位小数，参考数据：

434、

sin53°~—,cos53°=—,tan53°«—）.

553

BH

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，△ABC和A3EC均为等腰直角三角形，且AC=4立,点尸为线段5E延

长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE」与CD相交于点F.

E,

(2)连接3。，请你判断AC与30有什么位置关系？并说明理由；

(3)若PE=L求△PBO的面积.

18.(8分)为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成.已知

甲队的工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.

2

(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

(2)若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不

超过145万元，至少安排甲队工作多少天？

19.(8分)如图①，一次函数y=；x-2的图象交x轴于点A,交y轴于点B,二次函数y=-；x2+bx+c的图象经过

A、B两点，与x轴交于另一点C.

(1)求二次函数的关系式及点C的坐标；

(2)如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD〃x轴交AB于点D,PE〃y轴交AB于点E,求

PD+PE的最大值；

(3)如图③，若点M在抛物线的对称轴上，且NAMB=NACB,求出所有满足条件的点M的坐标.

VAVAVA

20.(8分)如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,AOBC,CD是RtAABC的高，E是AC的中点，ED的延

长线与CB的延长线相交于点F.

(1)求证：DF是BF和CF的比例中项；

(2)在AB上取一点G,如果AE»AC=AG«AD,求证：EG»CF=ED»DF.

21.(8分)为响应学校全面推进书香校园建设的号召，班长李青随机调查了若干同学一周课外阅读的时间”单位：小

时)，将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图(A：0<?<7,B：7<r<14,C：14<t<21,D：

根据图中信息，解答下列问题：

⑴这项工作中被调查的总人数是多少？

⑵补全条形统计图，并求出表示A组的扇形统计图的圆心角的度数；

(3)如果李青想从。组的甲、乙、丙、丁四人中先后随机选择两人做读书心得发言代表，请用列表或画树状图的方法求

出选中甲的概率.

(1)如图1,在AABC中，NA=75。，NC=60。，AC=60,求△ABC的外接圆半径R的值；

问题探究

(2)如图2,在AABC中，ZBAC=60°,NC=45。，AC=8遍,点。为边8C上的动点，连接AO以40为直径作

。。交边A3、AC分别于点E、F,接E、F,求E歹的最小值；

问题解决

(3)如图3,在四边形ABC。中，ZBAD=90°,ZBCD=30°,AB^AD,BC+CD=Y2，B连接AC,线段AC的长

是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由.

23.（12分）现在，某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300

元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物.顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什

么情况下购物合算？小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？小张按合算的方案，

把这台冰箱买下，如果某商场还能盈利25%,这台冰箱的进价是多少元？

24.在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到没有受洪

水威胁的A,B两仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为60吨，B库的容量为120吨，

从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如表（表中“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）

路程（千米）运费（元/吨•千米）

甲库乙库甲库乙库

A库20151212

B库2520108

若从甲库运往A库粮食x吨,

（1）填空（用含x的代数式表示）：

①从甲库运往B库粮食吨；

②从乙库运往A库粮食吨；

③从乙库运往B库粮食吨；

（2）写出将甲、乙两库粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式，并求出当从甲、乙两库各运

往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

根据三角形中位线定理判断即可.

【详解】

；AD为AABC的中线，点E为AC边的中点，

11

.,.DC=-BC,DE=-AB,

22

VBC不一定等于AB,

...DC不一定等于DE,A不一定成立；

/.AB=2DE,B一定成立；

SCDE=-SAABC,C一定成立；

A4

DE〃AB,D一定成立；

故选A.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

2、B

【解析】

分析：根据平均数的意义，众数的意义，方差的意义进行选择.

详解：由于14岁的人数是533人，影响该机构年龄特征，因此，最能够反映该机构年龄特征的统计量是众数.

故选B.

点睛：本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.反映数据集中程度的统计量有

平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用.

3、A

【解析】

利用待定系数法即可求解.

【详解】

设函数的解析式是y=kx,

3

根据题意得：2k=-3,解得：k=--.

2

3

...函数的解析式是：y=--x.

故选A.

4、B

【解析】

根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑

②时，所形成的图形关于点A中心对称。故选B。

5^A

【解析】

试题分析：主视图是从正面看到的图形，只有选项A符合要求，故选A.

考点：简单几何体的三视图.

6,B

【解析】

①根据函数的图象即可直接得出结论;②求得直线OA和DC的解析式,求得交点坐标即可；③由图象无法求得B的横

坐标;④分别进行运算即可得出结论.

【详解】

由题意和图可得，

轿车先到达乙地，故选项A错误，

轿车在行驶过程中进行了提速，故选项B正确，

货车的速度是：300+5=60千米/时，轿车在5c段对应的速度是：80+(25-1.2)千米/时，故选项D错误，

设货车对应的函数解析式为y=kx,

5A=300,得兀=60,

即货车对应的函数解析式为y=60x,

设CD段轿车对应的函数解析式为y=ax+b,

2.5a+b=80[a=110

\，得《，

[4.5a+b=300[b=-195

即段轿车对应的函数解析式为y=110x-195,

令60x=110尤一195,得尤=3.9,

即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故选项C错误，

故选：B.

【点睛】

此题考查一次函数的应用，解题的关键在于利用题中信息列出函数解析式

7、D

【解析】

一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球.从袋中任意摸出一个球，共有

10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案.

【详解】

根据题意：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=工=工.

105

故答案为D

【点睛】

此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，

yn

那么事件A的概率P(A)=-.

n

8、C

【解析】

正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是等=72度，

故选C.

9、D

【解析】

根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,推出NA=NACE=30。，代入NBCE=NACB-NACE求出即可.

【详解】

VDE垂直平分AC交AB于E,

；.AE=CE,

:.ZA=ZACE,

VZA=30°,

.,.ZACE=30°,

VZACB=80°,

:.ZBCE=ZACB-ZACE=50°,

故选D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相

10、A

【解析】

分析：由设第一次买了x本资料，则设第二次买了(x+20)本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即

可得到方程.

详解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了(x+20)本，

根据题意得：--^-=4.

xx+20

故选A.

点睛：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答即

可.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、0<a<2

【解析】

计算出当P在直线y=2x+2上时a的值，再计算出当P在直线y=2x+4上时a的值，即可得答案.

【详解】

解：当P在直线y=2x+2上时，a=2x(-l)+2=-2+2=0,

当P在直线y=2x+4上时，a=2x(-l)+4=-2+4=2,

则0<a<2.

故答案为0<a<2

【点睛】

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等.

12、9n

【解析】

根据直角三角形两锐角互余求出NBAC=30。，再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=-AB,

2

然后求出阴影部分的面积=S扇形ABE-S扇形BCD,列计算即可得解.

【详解】

是直角，ZABC=60°,

二ZBAC=90°-60°=30°,

BC=—AB=—x6=3(cm),

22

,/△ABC以点B为中心顺时针旋转得到4BDE,

ASABDE=SAABC,ZABE=ZCBD=180°-60°=110°,

阴影部分的面积=5扇形ABE+SABDE-SBCD-SAABC

=S扇彩ABE-S扇形BCD

_120万际_120万了

一_360360

=lln-37r

=9九(cml).

故答案为97r.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，扇形的面积计算，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出阴影部分的

面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键.

13、1

【解析】

设这个多边形的边数是n,根据多边形的内角和公式：(n-2)x180,列方程计算即可.

【详解】

解：设这个多边形的边数是n

根据多边形内角和公式可得(n—2)x180=720,

解得n=6.

故答案为：1.

【点睛】

此题考查的是根据多边形的内角和，求边数，掌握多边形内角和公式是解决此题的关键.

1

14、

2

【解析】

bl

,点(a,1)与(-2,b)关于原点对称，，b=-1,a=2,/.a=2~=.故答案为;.

考点：关于原点对称的点的坐标.

15、3

5

【解析】

根据勾股定理求出OA的长度，根据余弦等于邻边比斜边求解即可.

【详解】

•.•点A坐标为（3,4）,

；.OA=53?+42=5,

.3

..cosa=—，

5

故答案为（3

【点睛】

本题主要考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边;

正切等于对边比邻边，熟练掌握三角函数的概念是解题关键.

16、1.1.

【解析】

CB

过点D作DOLAH于点O,先证明△ABCs/\AOD得出一=——，再根据已知条件求出AO,则OH=AH-AO=DG.

AODO

【详解】

解：过点D作DOLAH于点O,如图:

ABOH

由题意得CB//DO,

/.△ABC^AAOD,

.ABCB

••=,

AODO

4

VZCAB=53°,tan530=一,

3

.,CB4

・・tanNCAB=--=—,

AB3

VAB=1.74m,

V四边形DGHO为长方形，

.\DO=GH=3.05m,OH=DG,

.1.74_2,32

**AO-105?

贝!IAO=1.1875m,

VBH=AB=1.75m,

AH=3.5m,

贝！IOH=AH-AO^l.lm,

故答案为1.1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)见解析；(2)AC〃3Z),理由见解析;(3)3

2

【解析】

(I)直接利用相似三角形的判定方法得出△BCESADCP,进而得出答案；

(2)首先得出△PCEsaDCB,进而求出NACB=NCBD,即可得出AC与BD的位置关系；

(3)首先利用相似三角形的性质表示出BD,PM的长，进而根据三角形的面积公式得到△PBD的面积.

【详解】

(1)证明：•••△3CE和△CD尸均为等腰直角三角形，

/.ZECB=ZPCD=45°,ZCEB=ZCPD=90°,

：./\BCE^/\DCP,

.PC_CE

"O5^~CB,

(2)解：结论：AC//BD,

理由：VZPCE+ZECD=ZBCD+ZECD^45°,

：.ZPCE=ZBCD,

PC=CE

"CDCB'

：./\PCE^/\DCB,

：.ZCBD=NCEP=90。，

■:ZACB=90°,

：.ZACB=ZCBD,

J.AC//BD；

(3)解：如图所示：作PM_L3O于M,

VAC=4V2，△ABC和小BEC均为等腰直角三角形，

；.BE=CE=4,

'：△PCESADCB,

ECPE41

--=--，即an---T==--,

CBBD4V2BD

BD—^2.，

•:NPBM=NCBD-NCBP=45°,BP=BE,+PE=4+1=5,

5J?

.•.PM=5sin45°=^—

2

【点睛】

本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定.

18、(1)乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米.(2)10天.

【解析】

3

(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为X米，则甲工程队每天能改造道路的长度为一X米，根据工作时间=工作总

2

量+工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验

后即可得出结论；

(2)设安排甲队工作m天，则安排乙队工作I2。"60〃/根据总费用=甲队每天所需费用x工作时间+乙队每天所

40

需费用x工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结

论.

【详解】

3

(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为X米，则甲工程队每天能改造道路的长度为不X米，

2

360360.

---------3

根据题意得：X3,

-X

2

解得：x=40,

经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意,

—x=—x40=60,

22

答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；

(2)设安排甲队工作m天，则安排乙队工作I2。"60〃?

40

1200-60m

根据题意得：7m+5X----------<145,

40

解得：m>10,

答：至少安排甲队工作10天.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)

根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式.

19、(1)二次函数的关系式为y=f+g尤一2；C(1,0)；(2)当m=2时，PD+PE有最大值3；(3)点M的坐

sr/51—/5J21、

标为(一，一)或(一，-----)

222

【解析】

(1)先求出A、5的坐标，然后把4、5的坐标分别代入二次函数的解析式，解方程组即可得到结论；

1,51

(2)先证明△得到尸£)=2PE.设尸(机，——m~+-m-2),则E(机，-m-2),PD+PE=3PE,

222

然后配方即可得到结论.

(3)分两种情况讨论：①当点M在在直线A3上方时，则点"在△A5C的外接圆上，如图1.求出圆心01的坐标和

半径，利用M。产半径即可得到结论.

②当点M在在直线A5下方时，作01关于A5的对称点。2,如图2.求出点。2的坐标，算出OM的长，即可得到结

论.

【详解】

解：(1)令7=5%-2=0,得：x=4,'.A(4,0).

令x=0,得：y——2,'.B(0,—2).

,二次函数y=-gf+6x+c的图像经过A、8两点，

-8+4b+c=0b=—

c,解得：2,

c=-2

c=-2

•••二次函数的关系式为y=-1x2+|.x-2.

令y=尤2+—无一2=0,解得：x=l或x=4,'.C(1,0).

22

(2)•.•尸。〃*轴，PE〃y轴，

:.ZPDE=ZOAB,ZPED=ZOBA,

.PD_OA_4

J.APDE^AOAB.

''PE~OB~2

15

：.PD=2PE.设尸(m,——m-9+-m-2),

22

则E（机，—

2

：.PD+PE=3PE=3x[(--rrr+-m-2)—(-77/-2)1=--m2+6m=--(/n-2?+6.

22222V7

*/0<m<4,...当m=2时，PO+PE有最大值3.

（3）①当点M在在直线A3上方时，则点M在△A8C的外接圆上，如图1.

,：/\ABC的外接圆Oi的圆心在对称轴上，设圆心Oi的坐标为（-,-/）.

2

二［£|+（2_'）2=展_11+/，解得：，=2,

二圆心。1的坐标为（2,—2）,.•.半径为2.

22

设M（—9j）.*•*M0\=—•••+2=—

-22929

解得：产;，.•.点M的坐标为

②当点M在在直线A3下方时，作。1关于A8的对称点。2,如图2.

5一

"：AOx=OXB=~,：.NOiAB=NOiBA.'：OiB//x^,：.ZOyBA=ZOAB,

2

3

：.ZOiAB=ZOAB,。2在x轴上，.•.点。2的坐标为（-,0）,：.OD=1,

22

：.DM=将2_12=浮，，点V的坐标为（|,-孚）.

综上所述：点”的坐标为（』，-）或（3,一叵）.

2222

点睛：本题是二次函数的综合题.考查了求二次函数的解析式，求二次函数的最值，圆的有关性质.难度比较大，解

答第（3）问的关键是求出AABC外接圆的圆心坐标.

20、证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据已知求得NBDF=NBCD,再根据NBFD=NDFC,证明△BFDs^DFC,从而得BF：DF=DF：

FC,进行变形即得；

EGBF

（2）由已知证明△AEGs^ADC,得到NAEG=NADC=90。，从而得EG〃BC,继而得——=——，

EDDF

,,、BFDFtHp,EGDF_

由（1）可得---=---->1从而z得---=----,问题得证.

DFCFEDCF

试题解析：（1）VZACB=90°,.*.NBCD+NACD=90。，

,:CD是RtAABC的高，AZADC=ZBDC=90°,/.ZA+ZACD=90°,/.ZA=ZBCD,

；E是AC的中点，

.\DE=AE=CE,AZA=ZEDA,ZACD=ZEDC,

*/ZEDC+ZBDF=180°-ZBDC=90°,:.ZBDF=ZBCD,

XVZBFD=ZDFC,

/.△BFD^ADFC,

ABF：DF=DF：FC,

.*.DF2=BFCF；

（2）VAEAC=EDDF,

.AE_AG

••一,

ADAC

又•../A=NA,

.,.△AEG^AADC,

:.ZAEG=ZADC=90°,

，EG〃BC,

.EG_BF

••一,

EDDF

由(1)^ADFD^ADFC,

・BF_DF

••=f

DFCF

.EGDF

••一,

EDCF

.\EGCF=EDDF.

21、(1)50人；(2)补全图形见解析，表示A组的扇形统计图的圆心角的度数为108。；(3)g.

2

【解析】

分析：（1）、根据B的人数和百分比得出样本容量；（2）、根据总人数求出C组的人数，根据A组的人数占总人数的百

分比得出扇形的圆心角度数；（3）、根据题意列出树状图，从而得出概率.

详解：（1）被调查的总人数为19+38%=50人;

(2)C组的人数为50-(15+19+4)=12(人),

补全图形如下:

表示A组的扇形统计图的圆心角的度数为360>II=108。；

（3）画树状图如下,

开始

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12个可能的结果，恰好选中甲的结果有6个，AP（恰好选中甲）=二=：.

122

点睛：本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率的计算法则，属于基础题型.理解频数、频率与样本容量

之间的关系是解题的关键.

22、（1）AA5C的外接圆的衣为1；（2）EF的最小值为2；（3）存在，AC的最小值为9J万.

【解析】

(1)如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA,OC.证明NAOC=90。即可解决问题；

(2)如图2中，作AHLBC于H.当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合

时，AD的值最短，此时EF的值也最短；

(3)如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90。得到△ABE,连接EC,作EH±CB交CB的延长线于H,设BE=CD=x.证

明EC=」AC,构建二次函数求出EC的最小值即可解决问题.

【详解】

解：(1)如图1中，作A45C的外接圆，连接。4,OC.

'：ZB=180°-ZBAC-180°-75°-10°=45°,

XVZAOC=2ZB,

:.NAOC=90。，

:.AC=\五,

：.OA=OC=1,

△A5C的外接圆的尺为1.

(2)如图2中，作AH,5c于

图2

VAC=876»ZC=45°,

6

•*.AH=AC»sin45°=8^/6x——=8后，

2

VZBAC=10°,

，当直径4。的值一定时，E尸的值也确定，

根据垂线段最短可知当40与重合时，AO的值最短，此时EF的值也最短,

如图2-1中，当15c时，作。77_LE歹于〃，连接OE,OF.

图2-1

VZEOF=2ZBAC=2Q°,OE=OF,OH±EF,

:.EH=HF,NOE尸=N(ZFE=30°,

:.EH=OF・cos30。=433=1,

2

：.EF=2EH=2,

...E尸的最小值为2.

(3)如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90。得到△ABE,连接EC,作EHLCB交CB的延长线于H,设BE=

CD=x.

VZAE=AC,ZCAE=90°,

：.EC=y/2AC,ZAEC=NACE=45。,

・・・£C的值最小时，AC的值最小，

ZBCD=ZACB+ZACD=ZACB+ZAEB=30°9

:.ZZBEC+ZBCE=IO°9

:.ZEBC=20°f

：.ZEBH=10°f

1J3