2024年江苏省南京市中考数学零模试卷（含解析）

2024年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学零模试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷用科学记数法表示

22000000是()

A.22x106B.2.2x106C.22x107D.2.2x107

2.下列运算正确的是（）

A.yf~a+y[b=7a+bB.(%2)5=%10

C.x5•%6=x30D.2y/~ax3y/-a=6y/~a

3.下列无理数中，与5最接近的是（）

A.<21B.<23C.y[26D.<29

4.已知a-1>0,则下列结论正确的是（）

A.-1<—CL<aV1B.-a<—1<1Va

C.一CLV—1VQV1D.-1V—CL<1<a

5.如图，正方形4BCD与AE8C中，4。分别与EB、EC相交于F点、G点，若AEBG的面E

积为6,正方形48CD的面积为16,贝法G与BC的长度比为何（）

A.3：5

B.3：6

C.3：7

D.3：8

6.如图，4B是半圆。的直径，C、D、E三点在半圆上，F,G是直径4B上的点，若

AAFC=Z.DFB,NDGA=NEGB,已知发的度数为20。，防的度数为60。，则NFDG

的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

7.—的相反数是，9的平方根是.

8.若式于注在实数范围内有意义，贝性的取值范围是

X—2

9.因式分解：a4-8a2/12+16b4=

10.若24+24=2。，35+35+35=3b,则a+b=

11.一个圆锥的主视图是边长为4的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于

12.如图，已知点E是矩形2BCD的对角线力C上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都

在边4。上，若AB=3,BC=4,则tan/AFE=.

13.已知点4在第二象限，。4=4.反比例函数y=5的图象经过点4,则k的取值范围是.

14.已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a是正整数)的图象经过点4(-1,4)与点B(2,l),并且与x轴有两个不

同的交点，贝g+c的最大值为.

15.如图，在半圆。中，点C在半圆。上，点D在直径4B上，将半圆。沿过BC所C____

在的直线折叠，使就恰好经过点D.若BC=YTU，BD=1,则半圆。的直径为

■A：-..

16.如图，正方形4BCD的边长为2,点E在边4B上运动(不与点4、8重合)，ADAM=

45。，点F在射线力M上，且CF与4。相交于点G,连接EC、EF、EG.则下

列结论：(1)ZDCF+Z.BCE=45°；(2)CF=72EF;@BE2+DG2=EG2；④△EAF

面积的最大值为%其中正确结论的序号为.

三、解答题：本题共U小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

计算：

(1)(2—兀)°—11—+3tan30°+(―])-2；

若空、山+

''mz—4m+4vm—3'

18.（本小题10分）

（1）解方程：告一分三=1；

（2x+l<3

（2）整不等式组卜上工<1・

（2十4一

19.（本小题7分）

生物活动课上，为更好利用树叶的特征对树木进行分类，老师带领同学们随机收集4B两种树的树叶各

10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm）,宽x（单位：CM）的数据后，分别计算长宽比，并整理、

分析如下：

a.计算树叶的长宽比：

序号

长宽比12345678910

树叶种类

a种树树叶3.53.43.83.83.74.03.64.03.64.0

B种树树叶1.92.02.41.82.02.01.31.92.01.8

反分析数据如下:

统计量

数据平均数中位数众数方差

树叶种类

4种树树叶3.743.75n0.0424

B种树树叶1.91m2.00.0669

根据以上信息，回答下列问题：

（1）上述表格中：m=,n=.

（2）①甲同学说：“从树叶的长宽比的中位数和众数来看，我发现B种树树叶的长约为宽的两倍②乙同

学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为4种树树叶的形状差别大这两位同学的说法中，合理的是

（填序号）.

（3）现有一片长17cm,宽4.5cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于4,B哪种树？并说明理由.

20.（本小题7分）

如图，口48CD的对角线AC、BD相交于点。，AE=CF.

(1)求证：ABOE”ADOF；

（2）若BD=EF,连接。E、BF,判断四边形EBFD的形状，并证明你的结论.

B

21.（本小题7分）

甲、乙两人分别从4、B、C、。这4个景点中随机选择2个景点游览.

（1）甲选择的两个景点中含有景点4的概率为;

（2）求甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率.

22.（本小题7分）

学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，己知坡长2C=12m,坡角a为

30。，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角。为27。，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C

处，且与地面的夹角为60。，4、B、C、。在同一平面上.求CD的长度.（结果精确至iJO.lm.参考数据：

sin27°«0.45,cos27°«0.89,tan27°«0.51,V~3«1.73.）

23.（本小题8分）

高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图,小明先接温水后再接开水，接满

70（hn/的水杯，期间不计热损失.利用图中信息解决下列问题：

物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开

水体积X开水降低的温度=温水体积x温水升高的温度.

生活经验：饮水最佳温度是35-38K（包括35K与38。0,这一温度最接近人体体温.

（1）若先接温水26秒，求再接开水的时间.

（2）设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为丫。匚

①若y=50,求x的值.

②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围.

温水开水

水流速度◎@水流速度

20ml/s彳筋爸施运,15ml/s

出水口

图2

24.(本小题6分)

如图：已知O0,用直尺和圆规作图(保留作图痕迹，写出必要的文字说明.)

(1)在图①中，点P是O。外一点，过点P作。。的一条切线；

(2)在图②中，0。1与0。外离，作一条直线1与。。、。01都相切.

・P

图②

25.(本小题8分)

如图，已知是。。的直径，点E是O。上异于4，8的点，点F是防的中点,连接4E,AF,BF,过点F

作FC1AE交AE的延长线于点C,交AB的延长线于点D,N4DC的平分线DG交于点G,交FB于点H.

(1)求证：CD是。。的切线;

(2)求sin/FHG的值;

(3)若GH=4，ZHB=2,求。。的直径.

26.(本小题8分)

在二次函数y=x2+2mx+m-1中.

(1)求证：不论小取何值，该函数图象与久轴总有两个公共点.

(2)当0WXW3时，y的最小值为—3,则m的值为.

(3)当m<0时，点4(n一2,a),5(4,fa),C(n,a)都在这个二次函数的图象上，且a<6<zn-1.则??的取值

范围是•

27.(本小题10分)

如图1,点。为矩形4BCD的对称中心，AB=4,4D=8,点E为4D边上一点(0<AE<3),连结E。并延

长，交BC于点凡四边形ABFE与AB'FE关于EF所在直线成轴对称，线段8'尸交4。边于点G.

(1)求证：GE=GF.

(2)当4E=2DG时，求4E的长.

(3)令力E=a,DG=b.

①求证：(4一a)(4-6)=4.

②如图2,连结OB',0D,分别交AD,B'F于点H,K.记四边形。KGH的面积为S1，ADGK的面积为S2,当

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：22000000=2.2X107.

故选：D.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10%其中n为整数，且几比原来的整数位数

少1,据此判断即可.

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为ax10%其中l=|a|<10,确定a与九的值是解

题的关键.

2.【答案】B

【解析】解:4，^与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意.

B、原式=­°,故B符合题意.

C、原式=炉】，故C不符合题意.

D、原式=6a,故。不符合题意.

故选:B.

根据二次根式的加减与乘法运算、塞的乘方运算、同底数幕的乘法运算即可求出答案.

本题考查二次根式的加减与乘法运算、塞的乘方运算、同底数幕的乘法运算，本题属于基础题型.

3.【答案】C

【解析】解：；21<23<25<26<29,

><21<AA23</25<^26<729,

•••25-23=2,25—21=4,26—25=1,29—25=4,

・•・与25最接近的数是26,

.•・与5最接近的是，左，

故选：C.

先判断各个选项中的被开方数21,23,25,26和29的大小，并比较其他各数与25的差的大小，从而进行

判断解答即可.

本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数介于哪两个整数之间.

4.【答案】B

【解析】解：a-1〉0,

a>1,

一CLV—19

-a<-1V1Va,

故选：B.

根据不等式的性质，进行计算即可解答.

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：如图，过点E作EM1BC于M,交4。于N,

•••AD//BC,

EM1AD,

••・四边形4BMN是矩形，

•••AB=MN,

•正方形4BC0的面积为16,

,,,SABGC=&BC=4,

•••△EBG的面积为6,

1

*，,S^BCE=14=2XBC•EM,

・•.EM=7,

・•.EN=3,

•・•AD][BC,

•••△EEGs&EBC,

.FG_EN_3

故选：c.

由正方形的性质可求SABGC=8,BC=4,由面积的和差关系可求SABCE=14,即可求EM=7,EN=3,

由相似三角形的判定和性质可求解.

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造直角

三角形是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：延长DF交圆于M,延长DG交圆于N,

,:乙AFC=LDFB,/.AFM=Z.DFB,

：.AAFC=NAFM,

同理NEGB=乙NGB,

由圆的对称性得到俞=AC，NB=BE，

•.•念的度数为20。，前的度数为60。，

.•・莉的度数为20。，6的度数是60。，

••,AB是圆的直径，

俞的度数=180°-20°-60°=100°,

:.乙FDG=1x100°=50°.

故选：C.

延长DF交圆于M,延长DG交圆于N,由对顶角的性质得到乙4FM=ADFB,而〃FC=NDFB,推出

ZXFC=乙4FM,同理NEG8=/.NGB,由圆的对称性得到俞=AC，NB=BE，于是得到俞的度数为

20°,介的度数是60。，求出前的度数=180。一20。一60。=100。，由圆周角定理求出NFDG=：x100。=

50°.

本题考查圆周角定理，关键是由圆的对称性得到俞=*,NB=BE.

7.【答案】1±3

【解析】解：-：的相反数是看

•；(±3)2=9,

9的平方根是±3,

1

+3

2--

根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可；根据平方根的定义解答即可.

本题考查了相反数，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键.

8.【答案】％44且刀片2

【解析】解：由题可知，

f4—x>0

卜-2大0，

解得x<4且久丰2.

故答案为：X34且乂42.

根据被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可.

本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件

是解题的关键.

9.【答案】(a—2b)2(a+2bA

【解析】解:原式=(a?—4/)2

=(a-26)2(a+26)2.

故答案为：(a—2b)2(a+26)2.

直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可.

此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键.

10.【答案】11

【解析】解：•••2，+24=2。，35+35+35=36,

2a=2x24=25,3b=3x35=36.

[a=5,b=6.

a+b=5+6—11.

故答案为：11.

根据乘方的定义(求几个相同因数或因式的积的一种运算)解决此题.

本题主要考查乘方，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键.

11.【答案】8兀

【解析】解：根据题意得圆锥的母线长为4,底面圆的半径为2,

所以这个圆锥的侧面积=1X4X2TTX2=8TT.

故答案为：87r.

根据圆锥的主视图得到圆锥的母线长为4,底面圆的半径为2,然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个

扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.

本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底

面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

12.【答案】£

【解析】解：•••四边形4BCD是矩形，四边形EFGH是正方形，

・•.EH//CD,CD=AB=3,AD=BC=4

•••△AEHSAACD

.EH_AH

CDAD

nnEHCD3

1AHAD4

设E”=3%,AH=4%,

GH=GF=3%,

•・•EF//AD

Z.AFE=/-FAG

・•・tan乙4FE=tanN凡4G=g=产k=2

AG3x+4x7

故答案为*

根据矩形和正方形的性质可得EH〃CD,CD=AB=3,AD=BC=4进而可得△在。。，对应边成

比例得目=*即霏=掾=),再根据锐角三角函数即可求解.

CLf/iUAriAD4

本题考查了正方形的性质、矩形的性质、解直角三角形、相似三角形的性质，解决本题的关键是综合以上

知识.

13.【答案】一84人<0

【解析】解：当反比例函数y=g的图象与丫=无图象交于点4时，k的绝对值最大，

0A=4,

此时点力的坐标为

***k.=-8,

・・・若反比例函数y=5的图象经过点4贝味的取值范围是：一8Wk<0.

故答案为：—8Wk<0.

利用反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解答本题的关键.

14.【答案】—4

【解析】解：由于二次函数的图象过点力(一1,4),点B(2,l),

所叱士广4V

解得F=；a；1

=3—2a.

因为二次函数图象与X轴有两个不同的交点，

所以4=b2—4ac>0,

(—a—1)2—4a(3—2a)>0,即(9a—l)(a—1)>0,

由于a是正整数，故aN2,

又因为b+c=-3a+24-4,

故b+c的最大值为-4.

故答案为-4.

根据已知条件得到关于a,b,c的方程组，用a表示b和c,根据与久轴有两个不同的交点，求得a的取值范

围，再进一步分析b+c的最大值.

在已知两个三元一次方程的时候，要善于用一个字母表示其它的字母，根据其中一个字母的取值范围来确

定要求的代数式的取值范围.

15.【答案】4

【解析】解：过C点作CH14B于“点，连接CD、OC、AC,如图：

••,圆弧BC沿BC所在的直线折叠后与直径48交于点D,

比和废所在的圆为等圆，

•••比和公所对的圆周角都是N4BC,

AC=CD,

•••CA—CD,

•・•CHLAD,

AH=DH,

•••BD=1,

OC—OA=OB=BD+OD=1+OD,

AD=OA+OD=1+20D,

AH=DH=^AD=^+0D,

1II3

OH=DH-OD=/OD—OD=BH=OB+OH=1+OD=OD,

在中，BC=/TO，

CH2=BC2-BH2=(710)2-(|+OD)2=IO-7-3OD-OD2=斗一3。。-OD2,

Z44

在RtA0cH中，C"2=2_2=(1+OD)2-《)2=1+20D+0D2-1=OD2+20D+7,

0C0HZ44

斗-30D-OD2=OD2+20D+

44

OD=1或。D=一■舍去)，

OB=1=1=2,

AB=4,

即半圆。的直径为4,

故答案为：4.

过C点作CH14B于”点，连接CD、0C,如图，根据折叠的性质得到力和爬所在的圆为等圆，由于力和

诧所对的圆周角都是乙4BC,所以曲=就，贝UC4=CD,根据等腰三角形的性质求出2"=。//=2人。=

1+0D,则0"=京=|+0£),

根据勾股定理求出。。=1,再根据线段的和差求解即可.

本题考查了勾股定理、折叠的性质、圆周角定理等知识，熟练运用勾股定理、圆周角定理是解题的关键.

16.【答案】①②④

【解析】解：如图1：在BC上截取=连接E”，

图1

•••乙EBH=90°,

VEH=V2BE,AF=y[2BE,

・•.AF=EH,

•・•乙DAM=乙EHB=45°,乙BAD=90°,

・•・^FAE=乙EHC=135°,

•••BA=BC,BE=BH,

・•.AE=HC,

•••△E4EaE”C(SZS),

EF=EC,乙AEF=LECH,

・•・LECH+(CEB=90°,

・•.Z,AEF+乙CEB=90°,

・•・乙FEC=90°,

・•・乙ECF=乙EFC=45°,

/.^BCE+Z.DCF=90°-45°=45°,FC=^[2EF,故①②正确;

如图2,延长40到”，使得DH=BE,

图2

在正方形Z8CD中，BC=CD,AB=Z.CDH=90°,

・•・△CBE^LCD”(S/S),

・•・乙ECB=乙DCH,CE=CH,

・•.CECH=乙BCD=90°,

・•・乙ECG=乙GCH=45°,

・・・CG=CG,

・•・△GCE^AGCH(S/S),

・•.EG=GH,

•・•GH=DG+DH,DH=BE,

EG=BE+DG；故③错误,

设BE=BH=x,贝!ME=CH=2—x,AF=<2x,

・•・S△AEF=S△EHC=2x(2—%)=-1x2+x,

1

v0,

1

•.,比=—芯］=1时，△AEF的面积的最大值为g1；

故④正确，

故答案为：①②④.

如图1中，在BC上截取=连接E”.证明AFAE之△EHC(SAS'),即可判断①②；如图2中，延长力D

到H，使得。"=BE,则4CBE沿4CDH(SaS),即可判断③；设BE=%,贝！=a-x,AF=构

建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题可判断④；从而可得答案.

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用等知识，解题的关键是学会添加

常用辅助线构造全等三角形解决问题.

17.【答案】解：(1)(2，^—兀)。—11—+3tan30。+(―》-2

=1-(73-1)+3x^+4

=1-73+1+73+4

=6；

(2)咯空+(三+爪+3)

'7m2—4m+43J

_m2(m—2).9+(m+3)(m—3)

一(m-2)2,rn-3

_m2.m2

m—2m—3

__m2m—3

m—2m2

_m—3

m—2,

【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答.

本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数哥，负整数指数哥，特殊角的三角函数值，准确熟练地

进行计算是解题的关键.

18.【答案】解：(1)言—六=1，

—......-----=1,

x-1(%+1)(%-1)

方程两边都乘(久+1)(%-1),得。+1)2-4=(%+1)(%一1),

x2+2x+1—4=x2—1,

%2+2%—%2=—1+4—1,

2%=2,

x=1,

检验：当久=1时，(%+1)(%-1)=0,

所以％=1是增根，

即分式方程无解；

(2x+l<3①

(2)三3②，

12T4一_

解不等式①，得％<1,

解不等式②，得久2—3,

所以不等式组的解集是-3<%<1.

【解析】(1)方程两边都乘(久+1)(久-1)得出。+I)2-4=(%+1)(%-1),求出方程的解，再进行检验

即可；

(2)先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即

可.

本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解(1)的关键，能根据求

不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解(2)的关键.

19.【答案】1.954.0①

【解析】解:(1)4种树树叶的众数n=4.0,

B种树叶的长宽比重新排列为1.3、1.8、1.8、1.9、2.0、2,0、2.0、2.0、2.4,

所以B种树叶的中位数m=咛型=1.95,

故答案为：1.95、4.0；

(2)8种树叶的长宽比的平均数1.91,中位数是1.95,众数是2.0,

••・甲同学说法合理，

•••0.0424<0.0669,

4种树叶的形状差别小，

故乙同学说法不合理，

故答案为：①；

(3)这片树叶更可能来自力种树，

•••一片长17cm,宽4.5on的树叶，长宽比接近3.8,

这片树叶更可能来自4种树.

(1)根据中位数和众数的定义解答即可；

(2)根据题目给出的数据判定即可；

(3)根据树叶的长宽比判定即可.

本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是关键.

20.【答案】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

BO=DO,AO=OC,

•••AE=CF,

：.AO-AE=OC-CF,

即：OE=OF,

在△BOE和△DOF中，

OB=OD

Z.BOE—Z.DOF

.OE=OF

,心BOE咨ADOF(SAS)；

证明：BO=DO,OE=OF,

••・四边形BED?是平行四边形，

■•1BD=EF,

・•・平行四边形BEDF是矩形.

【解析】(1)根据平行四边形的性质得出B。=D。，AO=OC,求出。E=OF,根据全等三角形的判定定理

推出即可；

(2)根据对角线互相平分先推出四边形EBFD是平行四边形，再根据平行四边形对角线相等是矩形得出即

可.

本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和矩形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此

题的关键.

21.【答案】1

【解析［解：(1)画树状图如下:

开始

共有12种等可能的结果，其中甲选择的两个景点中含有景点4的结果有：AB,AC,AD,BA,CA,DA,

共6种,

••・甲选择的两个景点中含有景点4的概率为备=今

故答案为：

⑵列表如下：

ABACADBCBDCD

AB(AB,AB)(AB,AC)(AB,AD){AB,BD)(AB,CD)

AC(AC,AB)(AC,AC)(AC,AD)Q4C,8C)(AC,BO){AC,CD)

AD(AD,AB)(AD,AC)(AD,AD)(AD,BC)(AD,BD){AD,CD)

BC(BC,AC)(BC,4D)(BC,BC)(BC,BD)(BC,CD)

BD(8D,AC)(BD,AD)(BD,BC)(BD,CD)

CD(CD,AB)(CD,AC)(CDfAD)(CD,BC)(CD,CD)

共有36种等可能的结果，其中甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的结果有6种，

.•・甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率为盘=3.

JoO

(1)画树状图得出所有等可能的结果数以及甲选择的两个景点中含有景点4的结果数，再利用概率公式可得

出答案.

(2)列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的结果数，再利用概率公式可

得出答案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

22.【答案】解：延长84交CG于点E,

贝i]BE1CG,

在封△"£1中，/.ACE=30°,AC=12m,

*'*AE=-AC=-x12=6(m),CE=AC-cosa=12x—=6V-3(m)，

在中，/BCE=60。，

BE=CE•tanZ-BCE=6V_3xV-3=18(m),

在中，^BDE=27°,

RFI—

•••CD=DE-CE=空--60«24.9m,

tanZ.BDE

答：CD的长度约为24.9m.

【解析】延长B4交CG于点E,根据直角三角形的性质求出4E,根据余弦的定义求出CE,再根据正切的定

义求出8E,根据正切的定义求出DE,进而求出CD.

本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键.

23.【答案】解：(1)设接开水的时间的时间为t秒，

根据题意得：20x26+15t=700,

解得t=12,

答：接开水的时间为12秒；

(2)①由题意知，温水体积20xzn1,开水体积为(700-20x)m/,

则20x•(50-30)=(700-20x)(100-50),

解得x=25；

②由①得：20x(y-30)=(700-20x)(100-y),

化简，得y=—2久+100,

35<y<38,

31<%<32.5,

•••y关于％的函数关系式为y=-2x+100,达到最佳水温时x的取值范围为31<x<32.5.

【解析】（1）设接开水的时间为t秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满700巾1的水杯”，结合图2中开

水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解；

（2）①根据物理知识中等量关系，列式，即可求解；

②根据物理知识中等量关系，列出y关于x的函数，根据增减性，即可求解.

本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是：读懂题意列出关系式.

24.【答案】解：（1）①连接0P,作线段0P的垂直平分线，交。P于点4②以点2为圆心，以4。的长为半

径作02,04交0。于点8；③作直线PB,则直线PB是。。的切线；如图，直线PB即为所作；

图①图②

（2）①作直线。01，②作垂直于直线。01的半径OiC、0D,③连接CD交。。1于点E,④分别以01E、0E为

直径作圆，与。。和。。分别交于点4、B,⑤作直线AB,则直线与。。、CD。】都相切.如图，直线

AB即为所作.

【解析】⑴直接以0P为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直角，可得〃DC=90。，可证直线PD是切

线；

⑵作直线。。1作垂直于直线。。1的半径OiC、0D,连接CD交。。1于点E,分别以3区0E为直径作圆，与

。。1和。。分别交于点4、B,连接4B,则直线48与O。、。。1都相切.

本题考查了尺规作图一作切线，切线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学

知识解决问题.

25.【答案】（1）证明：连接。F.

0A=0F,

•••Z-0AF=Z-0FA,

/■-、/~、

EF=FBy

Z.CAF=Z.FAB,

Z.CAF=Z-AF0,

・•.0F//AC,

AC1CD,

••・OF1CD,

•••0F是半径，

・•・CO是。。的切线.

(2)解：•・•48是直径，

••・乙AFB=90°,

•・•OF1CD,

•••乙OFD=/-AFB=90°,

Z-AFO=zJ)FB,

v/-OAF=Z.OFA,

••・乙DFB=/-OAF,

•••GO平分乙4DF,

•••Z-ADG=Z-FDG,

•・•(FGH=Z.OAF+^.ADG,乙FHG=乙DFB+乙FDG,

・•・乙FGH=乙FHG=45°,

••・sinZ-FHG=苧；

(3)解：过点H作”MID产于点M,“可1/。于点可.

•・.”。平分乙4。尸,

••・HM=HN,

1

F-PF

-2-

...S^DHF----F

H1B

-

S^DHB2

•••△FG”是等腰直角三角形，GH=

.・.FH=FG=4,

PF4

'='—2n,

DB2

设DB=fc,DF=2k,

•・•乙FDB=Z.ADF,(DFB=Z-DAF,

DFBs〉DAF,

DF2=DB-DA,

•••AD=4k,

•••GD平分N4DF,

.FG_OF_1

"AG~AD~2'

AG=8,AF=12,

•••^AFB=90°,FB=6,

AB=y/AF2+BF2=V122+62=6"，

••.O。的直径为6t.

【解析】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性

质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.

(1)连接。F,证明。FlCD即可；

(2)证明NFGH=NFHG=45。，可得结论；

(3)过点”作1DF于点M,HN1AD于点M则HM=HN,可得沁班=黑=亨坦=惠=2,设

S^DHBHBLDB-HNDB

DB=k,DF=2/c,证明△DFBS/IDAF,推出。可得AD=4/c,由GO平分4ZDF,同法可

得益=黑=)推出4G=8,再利用勾股定理求解即可•

/iLfZ

26.【答案】-13<n<4或几>6

【解析】(1)证明：由题意得，A=(2m)2-4(m-1)

=4m2—4m+4

1

=4(m2—771+4)+3

1

=4(m--)2+3.

又对于任意的m都有(m-1)2>0,

1

・•・4(m--)2>0.

...4=4(m-p2+3>3>0.

・•・不论TH取何值，该函数图象与％轴总有两个公共点.

(2)解：由题意可得，y=%2+2mx+m—1=(%+m)2—m2+m—1.

・•・抛物线的对称轴是直线％=-m.

①当一?71>3时，即7?1<—3.

又抛物线开口向上，

当久=3时,y取最小值为9+6m+m—1=-3.

m=-y>-3,不合题意.

②当。<—m<3时，即一3<m<0.

又抛物线开口向上，

・•・当％=—zn时，y取最小值为-zn?+m—1=-3.

•••m2—m—2=0.

•••m=2或m=—1、

又一3<m<0,

.・.m=—1.

③当一TH<0时，即m>0.

又抛物线开口向上，

・•・当汽=0时，y取最小值为m-1=-3.

.・.m=—2<0,不合题意.

综上，m=-1.

故答案为：-1.

(3)解：由题意得，对称轴是直线式=-m=亨之

・•.—m=n—1.

•••m=-n+1.

又m<0,

•••—n+1<0.

n>1.

又抛物线过B(4,6),

・♦・16+8m+m—1=6.

又b<m—1,

•••9m+15<m—1.

m<—2.

••・—m>2.

：.n=1—m>3,即n>3.

•・・抛物线开口向上，

・・・当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小.

a<b,

•••n—(—m)<|—m—4|.

.••当几+m<m+4时，解得九<4；

当ri+m<—m—4时，n+(1—n)<n—1—4,解得n>6.

综上，3<n<4或ri>6.

故答案为：3<九<4或九>6.

(1)依据题意，由4=(2zn)2一4(租-1)=4(根一乎+3,又对于任意的m都有(租一扔之0,从而可以判

断4的大小，进而可以得解；

(2)依据题意，分“当0<-m<3时”、“当一根<0时"、“当一根>3时”，三种情况计算讨论，得出

答案即可；

(3)依据题意，根据二次函数对称轴公式，结合点/(几-2,a),C(n,a)两点纵坐标相等可知，对称轴直线

x=n-1=-m,结合?n<0,a<b<m-1,列不等式求出几的各种范围，进而可以得解.

本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键.

27.【答案】(1)证明：•・・四边形ZBCD是矩形，

・•.AD//BC,

Z.GEF=Z-BFE,

•・・四边形A8FE与48'FE关于EF所在直线成轴对称，

•••乙BFE=Z.GFE,

Z.GEF=Z.GFE,

・•.GE=GF；

(2)解：过G作G/71BC于"，如图：

・•.GE=AD-AE-DG=8-3x=GF,

•・•乙GHC=z_C=Z-D=90°,

・•・四边形GHCD是矩形,

.・.GH=CD=AB=4,CH=DG=%,

•・•点。为矩形ABC。的对称中心，

CF=AE=2x,

・•.FH=CF-CH=x,

在RtAGFH中，FH?+GH2=GF2,

%2+42=(8—3x)2,

解得x=3+门(此时AE大于AD,舍去)或x=3-73,

AE=2x=6—2-\/^;

・•・AE的长为6-2门；

(3)①证明：过。作。QIAD于Q,连接04,0D,0G,如图:

•・•点。为矩形力BCD的对称中心，EF过点。，

•••。为EF中点，。4=。。，0Q=^AB=2,

•••GE=GF,

••・0G1EF,

・•・乙GOQ=90°-乙EOQ=(QEO,

•・•Z.GQO=90°=(OQE,

•••△GOQsxOEQ,

.•・黑=窈，即GQ.EQ=OQ2,

・•・GQEQ=4,

OA=OD,OQ1AD,

1

...AQ=DQ=^AD=