28.2.2 解直角三角形的应用 提升训练（解析版）

28.2.2解直角三角形的应用提升训练1．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为（）A．米 B．米 C．10米 D．5米【答案】B【分析】由题意得米，分别在和中，利用三角函数求出，即可得解．【详解】解：由题意得，米，米，在中，，，在中，，，米．故选B．【点睛】此题考查解直角三角形的应用：仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此题的关键．2．5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行6米到达B处，再延斜坡步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（

）（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）A．17.3米 B．18.9米 C．65.0米 D．66.6米【答案】B【分析】如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作FL⊥MN于L，过点E作EI⊥MN于I，延长MN交AB的延长线于H，设，，利用三角形函数构建方程求出x即可解决问题．【详解】解：如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作FL⊥MN于L，过点E作EI⊥MN于I，延长MN交AB的延长线于H，设，，在中，∵，∴，∵，∴，，在中，，∵，，∴，则，在中，，∵，，∴，则，∴，解得．故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．3．如图所示，在同一水平面从左到右依次是大厦、别墅、小山、小彬为了测得小山的高度，在大厦的楼顶B处测得山顶C的俯角∠GBC=13°，在别墅的大门A点处测得大厦的楼顶B点的仰角∠BAO=35°，山坡AC的坡度i=1:2，OA=500米，则山C的垂直高度约为（

）（参考数据：sin13°≈0.22，tan13°≈0.23，sin35°≈0.57）A．161.0 B．116.4 C．106.8 D．76.2【答案】A【详解】分析：分别过点C作CM⊥OA，CN⊥BG，垂足为点M，N，构建Rt△ABO，Rt△ACM，Rt△BCN，利用三角形函数的定义列方程求解.详解：分别过点C作CM⊥OA，CN⊥BG，垂足为点M，N.Rt△ABO中，BO＝OAtan35°≈0.7×500＝350.设MC＝x，则AM＝2x，所以BN＝OM＝500＋2x，CN＝350－x.Rt△BCN中，CN＝BNtan13°，即350－x＝0.23(500＋2x)，解得x≈161.0米.故选A.点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，用勾股定理或三角形函数的定义求解.4．2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为______米（精确到米）．（参考数据：，，）【答案】1614【分析】首先利用勾股定理求出OB的长，设DE＝CE＝x米，则AF＝（50+x）米，DF＝（x﹣14）米，利用tan46°12′1.04，即可解决问题．【详解】解：在中，由勾股定理得，（米），，，，∴△CDE是等腰直角三角形，，设米，则米，米，．∴，解得，米，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，用x的代数式表示AF和DF的长是解题的关键．5．如图1为温州乐园的游乐设施一摩天轮与飞天梭．当摩天轮一座舱与飞天梭高度相同时（如图，另一座舱恰好位于摩天轮最低点；当座舱顺时针旋转至与飞天梭相同高度的点时，座舱旋转至点．此时地面某观测点与点，圆心恰好在同一条直线上，且，已知摩天轮的半径为32米，则点，间的距离为__米；现又测得，则点距离地面的高度为__米．【答案】

52【分析】延长交于，过点作于，连接，，，延长交于点，设交于，由旋转，可知，，证明四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形，再证，再解直角三角形即可.【详解】解：如图，延长交于，过点作于，连接，，，延长交于点，设交于．，，，共线，由题意，，，，，，四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形，，，，，，∵，，，，，，，，，△，，，，△，，，，，，，，，，．故答案为：，52．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造辅助线解决问题是前提.6．如图是一款利用杠杆原理设计的平衡灯，灯管AB与支架AD，砝码杆AC均成120°角，且AB＝40cm，AC＝18cm，AD＝6cm，底座是半径为2cm的圆柱体，点P是杠杆的支点．如图1，若砝码E在端点C时，当杠杆平衡时，支架AD垂直于桌面，则此时垂直光线照射到最远点M到支点P的距离PM为_____cm．由于特殊设计，灯管的重力集中在端点B，砝码杆重力集中在砝码E上，支架AD的重力忽略不计，由杠杆原理可知，平衡时重力保持垂直水平桌面向下，且G1•h1＝G2•h2，如图2．为了使得平衡时砝码杆与桌面平行，则砝码E到离A点的距离为_______cm．【答案】

【分析】如图1中，过点B作BT⊥PM于T，过点A作AR⊥BT于R．在Rt△BMT中，求出BT，可得结论．如图2中，延长EA交AG1于K，过点A作AJ⊥G1G2于J，设G1，G2的重力线交桌面于N，M，则四边形AEMJ，四边形AKNJ都是矩形，想办法求出MJ，PJ，可得结论．【详解】解：如图1中，过点B作BT⊥PM于T，过点A作AR⊥BT于R．∵AP⊥PT，∴∠APT=∠PTR=∠ART=90°，∴四边形ARTP是矩形，∴AP=RT=6+4=10（cm），∠PAR=90°，∵∠BAP=120°，∴∠BAR=30°，∠ABR=60°，∴BR=AB=20（cm），PT=AR=AB•cos30°=20（cm）∴BT=BR+RT=30（cm），∵AB⊥BM，∴∠ABM=90°，∴∠TBM=30°，∴TM=BT•tan30°=10（cm）．∴PM=PT+TM=30（cm），

如图2中，延长EA交AG1于K，过点A作AJ⊥G1G2于J，设G1，G2的重力线交桌面于N，M，则四边形AEMJ，四边形AKNJ都是矩形，∴AE=JM，AK=JN，在RtABK中，AK=AB•cos60°=20（cm），在Rt△APJ中，PJ=AP•sin30°=5（cm），由图1可知，G2•AC•cos30°=G1•AB•cos30°，∴G1：G2=AC：AB=9：20，∵G1•h2=G2•h1，∴h1：h2=G1：G2=9：20，∵h2=JN﹣PJ=20﹣5=15（cm），∴h1=，∴AE=JM=h1-PJ=﹣5=（cm）．故答案为：30，．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，杠杆平衡等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．7．如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛千米的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．(1)渔船航行多远距离小岛最近（结果保留根号）？(2)渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．（结果精确到1千米，参考数据）【答案】(1)；(2)从处沿南偏东出发，最短行程．【分析】（1）过点作的垂线交于点，则为所求，根据已知条件得到即可解答；（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到，从而求出的长度，再求出的度数，即可得到的度数．【详解】（1）解：过点作的垂线交于点，∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，由题意可知：，，∴，∴渔船航行时，距离小岛最近．（2）解：在中，，，，，∵，，，．答：从处沿南偏东出发，最短行程．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．(1)填空：___________度，___________度；(2)求楼的高度（结果保留根号）；(3)求此时无人机距离地面的高度．【答案】(1)75；60(2)米(3)110米【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求；（2）在中，求出DE的长