专题爪型三角形解题技巧

爪型三角形解题技巧【知识梳理】1、爪型三角形的基本几何特征:如图，.平面向理的基本定理应用：当时，试用表示:三角形中角平分线的性质：（1）（2）4、直角三角形中三角函数的定义：5、三角形中的等面积思想.【对点训练】类型一、点P为BC边上的定比分点时，即满足，转化为向量知识处理，．中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角的大小；（2）若为的中点，且，求的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，则，化简得，.又，因此，.（2）由，又为的中点，则，等式两边平方得，所以，则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.2．△ABC内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）是边上一点，且，，求△ABC面积的最大值.解析：（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，因为，所以，则，又，所以，因为，所以；（2）根据题意可得，所以，即，所以，当且仅当等号成立所以，面积的最大值为.3.在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：（1）求角的大小；（2）如图，若的面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的最小值．（3）将（2)中增加条件为锐角三角形，求线段的取值范围．【解答】解：（1）若选①，因为，由正弦定理可得，，化简可得，又因为，则，故．若选②，因为，由正弦定理可得，，且，则，且，所以，其中，所以，则．（2）由题意可得，所以，因为、、三点共线，故设，同理、、三点共线，故设，则，解得，所以，则，因为，所以，则当且仅当b=c=时取“=”。所以GP的最小值为1/6.(3)接（2）又因为为锐角三角形，当为锐角，则，即，即，所以；当为锐角，则，即，则，即，所以；综上可得，又因为，则，因为，则，且在上单调递减，（1），（4），所以，，即，所以，即线段的取值范围是，．类型二：角平分线问题：1．在中，内角，，的对边分别为，，，若．（1）求角的大小；（2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．【解答】解：（1）因为，所以，即，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以．（2）因为，，所以由余弦定理得，即，所以，即（当且仅当时，等号成立），因为，所以，解得，因为（当且仅当时，等号成立），所以（当且仅当时，等号成立），所以长度的最大值为．2.（2022成都一诊）在△ABC中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.求AB+2AC的最小值.解析：，依题意是角的角平分线，由三角形的面积公式得，化简得，，.当且仅当，时等号成立.故答案为：3.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，.的角平分线交边于点D，（1）若，求AD;(2)若，求△ABC的面积；(3)的取值范围.解法：(1)如图，由角平分线性质定理，，所以，从而，所以，故.（2）如图，由角平分线性质定理，，即，设，则，由Stewart公式，，解得：，所以，故，（3）由角平分线性质定理，，所以，故，设，则，因为，所以，故.类型三、高线问题：方法一：通过直角三角形中的三角函数的定义处理；方法二：通过三角形等面积处理。1.（23年全国1卷T17)已知在中，．（1）求；（2）设，求边上的高．2．已知在中，，．（1）求；（2）设，求边上的高．【解答】解：（1），，，，，，，，，，即，又，，解得，又，，；（2）由（1）可知，，，，，，设边上的高为，则，，解得，即边上的高为6．3.已知锐角△ABC内角，，的对边分别为，，.若.（1）求角的大小；（2）若，求边上高的取值范围.解析：（1）由条件可知：，，∵，∴，，又，∴，