人教版八年级下册数学期末试卷测试卷(版-含解析)

人教版八年级下册数学期末试卷测试卷（word版，含解析）

一、选择题

1.下列式子中，一定属于二次根式的是（）

A.GB.77^2C.您D.G

2.已知。、b、c是三角形的三边长，如果满足（"3）2+y/b-4+1c-5|=0,则三角形的

形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

3.如图，四边形ABC。中，对角线AC、BD交于点O,下列条件能证明四边形ABC。是

平行四边形的有（）

①ABIIDC,ADWBC-,（2）AB=DC,AD=BC；③AO=CO,BO=DO；④ABIIDC,AD

=BC；（5）ABIIDC,AB=CD；（6）ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC.

4.下列说法中正确的是（）

A.样本7,7,6,5,4的众数是2

B.样本2,2,3,4,5,6的中位数是4

C.样本39,41,45,45不存在众数

D.5,4,5,7,5的众数和中位数相等

5.在△ABC中，ZA,ZB,NC的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是（）

A.如果NA-NB=NC,那么△ABC是直角三角形

B.如果NA：ZB：ZC=l：2：3,那么△ABC是直角三角形

C.如果a?：b2：c2=9：16：25,那么△ABC是直角三角形

D.如果a2=b2-c2,那么△ABC是直角二角形且NA=90°

6.如图，在平行四边形A3CO中，将一ADC沿AC折叠后，点。恰好落在DC的延长线上

的点E处.若/3=60。，AB=3,则的周长为（）

A.12B.15

C.14D.18

7.如图，在平行四边形ABC。中，AD>AB,以点A为圆心，A3为半径画弧与AD交于

点尸，然后以大于尸为半径，分别以3,尸为圆心画弧交于点G,连接AG交8C于点

E,若BF=6,AB=4,则AE的长为（）

8.如图，在平面直角坐标系中，已知A（5,0）点P为线段OA上任意一点.在直线y=

3

—X上取点E,使PO=PE,延长PE到点F,使%=PF,分别取OE、AF中点M、N,连结

4

9.若二次根式I有意义,则x的取值范围是______.

A/2-X

10.菱形的周长是20,一条对角线的长为6,则它的面积为.

11.在心A3C中，ZACB=RtN,BC=血,AC=46,则AB长为.

12.如图，在ABC中，点D,E分别是边A3,AC的中点，点尸是线段DE■上的一点,

连接A尸，BF,ZAFB=90°.已知AB=6,BC=10,则肝的长是.

13.一次函数图象过点（0,-2）日与直线y=2-3无平行，则一次函数解析式.

14.如图，矩形ABCD中，AB=y/2,人。=2.点E是BC边上的一个动点，连接AE,过点

。作DF_LAE于点F.当△CDF是等腰三角形时，BE的长为.

D

15.如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，

ZACB=90o,AC=BC,点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象

限，AC所在直线的函数表达式是＞=2尤+2,若保持AC的长不变，当点4在y轴的正半

轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点0的最大距离是

16.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C

恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将AABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的

点H处，有下列结论：①NEBG=45。；②△DEF-△ABG；③%ABG=1.5SAFGH;

④AG+DF=FG；其中正确的是.（填写正确结论的序号）

三、解答题

17.计算题.

⑴衣一卡；

②与姮一代

(3)(V3-V2)°+(--2+O-V16;

(4)(76-25/15)Xy/3-6.-.

18.如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉

到距离旗杆5m处，发现此时绳子末端距离地面1m,求旗杆的高度.(滑轮上方的部分忽

略不计)

19.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段A3和线段8的端点均在小正方形

的顶点上.

(1)在方格纸中画以AB为一边的正方形点E和点F均在小正方形的顶点上；

(2)在方格纸中画以CO为一边的菱形CDG”，点G和点//均在小正方形的顶点上，菱

形CDGH的面积为20,连接尸G,并直接写出线段FG的长.

20.如图，△ABC中，ZBCA=90°,C。是边AB上的中线，分别过点C,。作R4和BC的

平行线，两线交于点E,且DE交AC于点。，连接AE.

(1)求证：四边形ADCE是菱形；

21.先阅读下列的解答过程，然后再解答：

形如小m土2G的化简,只要我们找到两个正数服b,使a+b=/“，ab=n,使得

(-Ja)2+(s/b)2=m,y[a-y[b=>Jn>那么便有：y]m±2yfn=yl(s/a±y/b)2=y/a+\fb(a>6)

例如：化简小+46

解：首先把g+4百化为"7+21石，这里m=7,"=12,由于4+3=7,4x3=12

即(〃)2+(招2=7,y/3xy/4=J12

y/7+4^3=J7+2&I=J("+与I?=2+A/3

（1）填空：，4-26=，，9+4石=；

（2）化简：719-4715•

22.4月23日是“世界读书日"，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动.甲书店：

所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过160元的按原价计费，超

过160元后的部分打7折.设x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付

金额.

（I）分别就两家书店的优惠方式，写出y甲、y乙关于X的函数解析式；.

（2）"世界读书日”这一天，当购书费用超过160元时如何选择这两家书店去购书更省钱？

23.问题发现：

（1）如图1,点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b.填空：当点A位于CB延长线

上时，线段AC的长可取得最大值，则最大值为（用含a,b的式子表示）；

（2）如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90°,M、N分

另1J为AB、AD的中点，连接MN、CE.AD=5,AC=3.

①请写出MN与CE的数量关系，并说明理由.

②直接写出的最大值.

（3）如图3所示，△ABC为等边三角形，£M=6,DB=10,NAOB=60。，M,N分别为

BC、BD的中点，求/WN长.

（4）若在第（3）中将"N458=60。"这个条件删除，其他条件不变，请直接写出MN的取

值范围.

24.如图1,直线分别与x轴，》轴交于A,5两点，OA=6,ZBAO=30°,过点8

作交了轴于点C.

（1）请求出直线3c的函数解析式.

（2）如图1,取AC中点。，过点D作垂于％轴的线DE,分别交直线和直线3C于点

F,E,过点/作关于％轴的平行线交直线BC于点G,点"为直线DE上一动点，作

脑7，y轴于点"，连接A”,NG,当40+MN+NG最小时，求M点的坐标及

AA/+MN+GN的最小值.

（3）在图2中，点尸为线段上一动点，连接尸£）,将240沿尸。翻折至△Bl'D,连

接A3,A'C,是否存在点尸，使得，A'BC为等腰三角形，若存在，请直接写出点尸的坐

标，若不存在，请说明理由.

25.如图1,在二。4B中，ZOAB=9CP,NAO3=30,08=8,以。B为边，在ACMB外作等

边AOBC,。是。B的中点，连接A。并延长交。C于E.

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）连接AC,BE交于点P,求AP的长及AP边上的高B”；

（3）在（2）的条件下，将四边形0/WC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标

原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形AP/WN：

①M点的坐标为.

②直接写出正方形4PMN与四边形。/WC重叠部分的面积（图中阴影部分）.

26.如图，在正方形ABCD中，点E、歹是正方形内两点，BE//DF,EF1BE,为探索

这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

（1）在图1中，连接3D,且BE=DF

①求证：EF与互相平分；

②求证：（BE+DF）2+EF2=2AB2；

（2）在图2中，当BEMF,其它条件不变时，（BE+Dpy+Ek=2A店是否成立？若

成立，请证明：若不成立，请说明理由.

图2

(3)在图3中，当AB=4,ZDPB=135°,行8尸+2尸。=4"时，求PD之长.

【参考答案】

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

根据二次根式的定义，被开方数大于等于0进行判断即可得到结果.

【详解】

解：A、被开方数不是非负数，没有意义，所以A不合题意；

B、x>2时二次根式有意义，x<2时没意义，所以B不合题意；

C、正为三次根式，所以C不合题意；

D、道满足二次根式的定义，所以D符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义.

2.B

解析：B

【分析】

根据二次根式和绝对值的非负性，可得。=3,6=4,c=5,然后再由勾股定理的逆定理，即

可求解.

【详解】

解：(a-3)2+y/b-4+\c-51=0,

/.ci—3=0,Z>—4=0,c—5=0,

解得：a=3,b=4,c=5,

a2+A2=32+42=25=52=c2，

该三角形的形状是直角三角形.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的逆定理，平方、算术平方根、绝对值的非负性，熟练掌握若一

个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键.

3.C

解析：C

【解析】

【分析】

由平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可.

【详解】

解：ABHDC,ADWBC,

四边形48C。是平行四边形；

（2）-：AB=DC,AD=BC,

.四边形ABC。是平行四边形；

（3）-：AO=CO,BO=DO,

四边形ABC。是平行四边形；

④由A8IIOC,AD=BC,不能判定四边形ABC。是平行四边形；

（5）-/ABWDC,AB=CD,

四边形ABC。是平行四边形；

⑥・•,ZBAD=NBCD,ZABC=NADC,

•四边形ABC。是平行四边形；

能证明四边形A8CL•是平行四边形的有5个，

故选：C.

【点睛】

此题考查的是平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键.

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

根据众数定义和中位数定义对各选项进行一一分析判定即可.

【详解】

A.样本7,7,6,5,4的重复次数最多的数是7,所以众数是7,故选项A不正确；

B.样本2,2,3,4,5,6的处于中间位置的两个数是3和4,所以中位数是—=3.5,

2

故选项B不正确；

C.样本39,41,45,45重复次数最多的数字是45,故选项C不正确；

D.5,4,5,7,5,将数据重新排序为4,5,5,5,7,重复次数最多的众数是5和中位数

为5,所以众数和中位数相等，故选项D正确.

故选D.

【点睛】

本题考查众数与中位数，掌握众数与中位数定义，一组数据中重复次数最多的数据是众

数，将一组数据从小到大排序后，处于中间位置，或中间位置上两个数据的平均数是中位

数是解题关键.

5.D

解析：D

【分析】

根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可.

【详解】

选项A中如果NA-NB=NC,由NA+NB+NC=180。，可得NA=90。，那么△ABC是直角

三角形，选项正确；

选项B中如果NA：ZB：ZC=l：2：3,由NA+NB+NC=180。，可得NA=90。，那么

△ABC是直角三角形，选项正确；

选项C中如果a?：b2：c2=9：16：25,满足a?+b2=c2,那么△ABC是直角三角形，选项正

确；

选项D中如果a2=b2-c2,那么△ABC是直角三角形且NB=90。，选项错误；

故选D.

【点睛】

考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三

角形的定义解出此题.

6.D

解析：D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到8c=2A£>=6,AD=6,再根据ADE

是等边三角形，即可得到—ADE的周长为6x3=18.

【详解】

由折叠可得，ZACD=ZACE=90°,

四边形ABC。是平行四边形

AB//CD,ZD=ZB,

：.ZBAC=ZACD=90°,

又；ZB=60°,

ZACB=30°,

BC=2AB=6,

/.AD=6,

由折叠可得，NE=ND=NB=60。

ZDAE=60°

二一一43E是等边三角形，

.,.一45E的周长为6x3=18,

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定，解题时注意折叠

是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和

对应角相等.

7.B

解析：B

【解析】

【分析】

设AE,BF交于点H,连接收，根据作图可得四边形AFEB是菱形，进而勾股定理求解即

可.

【详解】

设4£3尸交于点连接EF,

由作图可知，AB=AF,ZEAF=ZEAB,

四边形ABCD是平行四边形，

AFHBE,

:.ZAEB=ZFAE,

:.ZEAB=ZAEB,

/.AB=BE,

:.AF=BE,

二四边形ABEF是平行四边形，

又=,

二四边形ABEF是菱形，

:.AH=HE,AHLBF,BH=HF,

BF=6,

:.BH=-BF=3,

2

在RfAB“中，AB=4,

AH=[AB。-BH。=依4=V7,

.­.AE=2AH=2A/7.

故选B.

【点睛】

本题考查了角平分线作图，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，等角对等边，勾股定

理，理解题意证明四边形即是菱形是解题的关键.

8.B

解析：B

【分析】

如图，连接PM,PN,设AF交EM于J,连接PJ.证明四边形PMJN是矩形，推出

MN=PJ,求出PJ的最小值即可解决问题.

【详解】

解：如图，连接PM,PN,设AF交EM于J,连接PJ.

AV

PO=PE,OM=ME,

/.PM±OE,ZOPM=ZEPM,

•••PF=PA,NF=NA,

/.PN±AF,ZAPN=NFPN,

ZMPN=NEPM+ZFPN=：(ZOPF+ZFPA)=90°,ZPMJ=ZPNJ=90°,

•四边形PMJN是矩形，

MN=PJ,

•当JP±OA时，PJ的值最小此时MN的值最小，

3

AF±OM,A(5,0),直线0M的解析式为y二二x

4

4

「•设直线AF的解析式为v=g+b

直线AF过A(5,0),

4--

/.—x5+b=0,

3

316

y=­xx=一

45

由42。‘解得,

12

J=—

•PJ的最小值为不=2.4

即MN的最小值为2.4

故选：B.

【点睛】

本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用

转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题.

二、填空题

9.x<2

【解析】

【分析】

根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可.

【详解】

解：二次根式£—有意义,

.2-x>0,解得：x<2.

故答案为：x<2.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解题的关键.

10.D

解析：【解析】

【分析】

先画出图形，根据菱形的性质可得A£>=5,DO=3,根据勾股定理可求得AO的长，从而得

到AC的长，再根据菱形的面积公式即可求得结果.

【详解】

由题意得AD=20+4=5,BD=6

■：菱形ABCD

/.00=3,AC±BD

AO=^IAD2-DO2=4

AC=2AO=8

S=-ACBD=24

2

D

考点：本题考查的是菱形的性质

【点睛】

解答本题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的四条边相等；同时熟记

菱形的面积等于对角线乘积的一半.

11.A

解析：2夜

【解析】

【分析】

直接利用勾股定理求出AB的长进而得出答案.

【详解】

解：如图所示：:NACB=90。，AC=yf6,BC=6,

二•AB的长为：VAC2+BC2=2A/2,

故答案为：2夜.

此题主要考查了勾股定理，熟练应用勾股定理是解题关键.

12.D

解析：2

【分析】

利用三角形中位线定理得到OE=；BC.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到

DF=^AB.所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可.

【详解】

解：1,点。、E分别是边AB、AC的中点，

.0E是△ABC的中位线，

BC=10,

1

DE=-BC=5.

2

•••ZAFB=90°,。是AB的中点，AB=6,

1

DF=-AB=3,

2

EF=DE-DF=5-3=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理的应用以及直角三角形斜边的中线定理，解题的关键是了

解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

13.y=-3x-2

【解析】

【分析】

设一次函数解析式为y=kx+b,先把（0,-2）代入得b=-2,再利用两直线平行的问题得到

k=-3,即可得到一次函数解析式.

【详解】

解：设一次函数解析式为y=kx+b,

把（0,-2）代入得b=-2,

---直线y=kx+b与直线y=2-3x平行,

/.k=-3,

一次函数解析式为y=-3x-2.

故答案为：y=-3x-2.

【点睛】

本题考查两直线相交或平行的问题：若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相

同，即k值相同.

14.C

解析：722-72

【分析】

过点C作C/WLOF,垂足为点M,判断ACDF是等腰三角形，要分类讨论，①6=8；

②DF=DC；③FD=FC,根据相似三角形的性质进行求解.

【详解】

①CF=C。时，过点C作C7W_LDF,垂足为点M,

贝UCMIIAE,DM=MF,

延长C/W交A。于点G,

4G=G0=l,

CE=1,

■：CGIIAE,ADWBC,

四边形AGCE是平行四边形，

/.CE=AG=1,

BE=1

当BE=1时，△CDF是等腰三角形；

②OF=OC时，贝|OC=OF=&,

DF±AE,AD=2,

：.ZOAE=45",

则BE=y/2，

.,.当8E=后时，△CDF是等腰三角形；

③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点.

•AB—，BE=x,

•—，2+/，

2

△ADF~△EAB,

ADAF

瓦一砺，

x

x2-4x+2=0,

解得：x=2士后,

•当BE=2-四时，△CDF是等腰三角形.

综上，当BE=1、5/2>2-@'时，ACDF是等腰三角形.

【点睛】

此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质及等腰三角形的判定，考查知

识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法.

15.【分析】

根据自变量与函数值得对应关系，可得A,C点坐标，根据勾股定理，可得AC

的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD,BD的长，可得B点坐标；

首先取AC的中点E,连接BE,OE,OB,可求

解析：u

2

【分析】

根据自变量与函数值得对应关系，可得4C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根

据全等三角形的判定与性质，可得CD,BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E,连

接BE,OE,0B,可求得0E与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大

距离.

【详解】

解：当x=0时,y=2x+2=2,

A(0,2)；

当y=2x+2=0时，x=-l,

：.C(-1,0).

0/1=2,OC=1,

：•y]Q42+OC2~亚，

如图所示，过点B作BDJ_x轴于点D.

ZACO+AACB+ABCD=180°,ZACO+ACAO=90°,ZACB=90°,

：.ZCAO=Z.BCD.

在小AOC^ACDB中，

ZAOC=ZCDB

<ZCAO=ZBCD,

AC=CB

：.NAOC^△CDB(A4S),

：.CD=AO=2,DB=OC=1,

OD=OC+CD=3,

二点B的坐标为(-3,1).

如图所示.取AC的中点E,连接BE,OE,OB,

ZAOC=90Q,AC=5

：.OE=CE=^AC=—,

22

BC±AC,BCf,

,--------------5

■■■BE川BC、CE。=不，

若点O,E,B不在一条直线上，则。B<0E+BE=3+1,

22

若点O,E,B在一条直线上，则0B=0E+BE=9+@，

22

二当O,E,B三点在一条直线上时，0B取得最大值，最大值为小公,

2

故答案为：21.

此题考查了一次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求AC长度的关键，又利

用了勾股定理；求点B的坐标的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CO,B。的长；

求点8与原点0的最大距离的关键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关

系.此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

16.①③④

【分析】

根据矩形的性质和折叠的性质，可知，DF的长度.利用勾股定理可求出AG、

GF、GH、HF的长度，结合题意逐个判断即可.

【详解】

①：根据题意可知，，，

，，即.

故①正确；

②：，

解析：①③④

【分析】

根据矩形的性质和折叠的性质，可知NEBE+NGBH=45。,OF的长度.利用勾股定理可

求出AG、GF、GH、HF的长度，结合题意逐个判断即可.

【详解】

①：根据题意可知=ZGBA=ZGBH,

ZEBC+ZEBF+ZGBA+/GBH=90°,

ZEBF+Z.GBH=45°,即ZEBG=45°.

故①正确；

②：ZEFD+ZAFB=90°,ZABF+ZAFB=9G°,

ZEFD=ZABF,

:._ABFDFE,

.AB_AF

一~DF^~DE'

AF=ylBF2-AB2=V102-62=8>

•DEAF_8_4

-DF~AB~6~3'

设AG=x,则GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=10-6=4.

又在RtGHF中，GH2+HF'=GF2,

x2+42=(8-x)2

解得x=3,即AG=3,

AB6c

—=-=2.

AG3

■组*匹

"AGDF

故.DEF和AABG不相似.

故②错误；

③：由②得GH=3,

S.„=-AB.AG=-x6x3=9,S=-GH-HF=-x3x4=6.

树r22-GrFFfHl22

••SABG•SaF[j=9:6=1.5.

故③正确.

(4)：DF=10-8=2,由②可知AG+DF=3+2=5,GF=8-3=5.

AG+DF=GF.

故④正确.

故答案为①③④.

【点睛】

本题考查折叠的性质、矩形的性质、三角形相似的判定和性质结合勾股定理来解题.本题

利用勾股定理计算出AG的长度是解题的关键.

三、解答题

17.(1)(2)(3)-1(4)6

【分析】

(1)根据二次根式的加减运算法则即可求解；

(2)根据二次根式的混合运算法则即可求解；

(3)根据实数的混合运算法则即可求解；

(4)根据二次根式的混合运算

解析：(1)-(2)1-372(3)-1(4)6下

7

【分析】

(1)根据二次根式的加减运算法则即可求解；

(2)根据二次根式的混合运算法则即可求解；

(3)根据实数的混合运算法则即可求解；

(4)根据二次根式的混合运算法则即可求解.

【详解】

⑴V28

二2币一也

7

_12百

7

(2)后F-屈；

v3

=79-5/4-372

=3-2-3点

=1-30

(3)(>/3-5/2)°+(-y)2+\[-?>-V16

=1+4-2-4

=-1

(4)(A/6-2A/15)xV3-6

=718-2^-718

=6也.

【点睛】

此题主要考查二次根式与实数的运算，解题的关键是熟知负指数募与二次根式的运算法

则.

18.13m

【分析】

根据题意构造直角三角形，然后设旗杆高度为xm,根据勾股定理即可求解.

【详解】

如图，

设旗杆高度为m,

即，，

中，

即

解得

即旗杆的高度为13米.

【点睛】

本题考查了勾股

解析：13m

【分析】

根据题意构造直角三角形，然后设旗杆高度为xm,根据勾股定理即可求解.

【详解】

如图，

设旗杆高度为xm,

BPAD—x,AB=x—1,BC=5

：.RtABC中，AB2+BC2=AC2

即（XT）2+52=x2

解得x=13

即旗杆的高度为13米.

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键.

19.（1）见解析；（2）见解析，

【解析】

【分析】

（1）根据正方形的定义画出图形即可；

（2）画出底为，高为的菱形即可，利用勾股定理求出.

【详解】

解：（1）如图，正方形即为所求；

（2）如图，菱

解析：（1）见解析；（2）见解析，FG=y/26

【解析】

【分析】

（1）根据正方形的定义画出图形即可；

（2）画出底为5,高为4的菱形即可，利用勾股定理求出尸G.

【详解】

解：（1）如图，正方形ABEF即为所求；

（2）如图，菱形CDGH即为所求，FG=75^=726.

【点睛】

本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，菱形的性质，正方形的性质等知识，解题的关

键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

20.（1）见解析；（2）

【分析】

（1）先根据已知条件，证明四边形DBCE是平行四边形，可得ECIIAB,且EC

=DB,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则可得四边形是平

行四边形，根据邻边相

解析：（1）见解析；（2）18A/3

【分析】

（1）先根据已知条件，证明四边形D8CE是平行四边形，可得ECIMB,且比=。8,根据

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得8=仞=08,则可得四边形4XE是平行

四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；

（2）根据已知条件可得△D3C是等边三角形，进而求得AB,AC,根据小=BC,进而根

据菱形的性质求得面积.

【详解】

（1）证明：；DEWBC,ECWAB,

四边形DBCE是平行四边形.

ECWAB,且EC=DB.

在RtAABC中，C。为AB边上的中线，

•.AD--DB—CD.

/.EC=AD.

，四边形ADCE是平行四边形

•四边形ADCE是菱形.

（2）解：RtAABC中，C。为4B边上的中线，ZB=60°,BC=6,

DB=DC

是等边三角形

AD=DB=CD=6.

AB=12，由勾股定理得AC=，钻2一3。2=[I嗟一&=66>.

•••四边形DBCE是平行四边形，

DE=BC=6.

.Q_AC£D_673x6rr

••S菱形ADCE==---=18,3.

【点睛】

本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，等

边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键.

21.（1）,；（2）

【解析】

【分析】

（1）化简时，根据范例确定a,b值为3和1,化简时，根据范例确定a,b值

为4和5,再根据范例求解.（2）化简时，根据范例确定a,b值为15和4,再

根据范例求

解析：（1）A/3-I,2+6；（2）V15-2

【解析】

【分析】

（1）化简2小时,根据范例确定a,b值为3和1,化简也+44时,根据范例确定

a,b值为4和5,再根据范例求解.（2）化简Ji9_4jT?时,根据范例确定a,b值为15

和4,再根据范例求解.

【详解】

解：（1）在“一2后中,m=4,n=3,由于3+1=4,3x1=3

即（石）,+（a）2=4,舟&=#）

-^4—2^=-y/i）2=|A/3-1|=A/3-1；

首先把,9+4百化为。9+205，这里m=9,n=20,由于4+5=9,4x5=20

即（后+（府=9,74XA/5=720

79+475=J9+205=J（"+府=2+75

（2）首先把化为J19-2病，这里m=19,n=60,由于15+4=19,15x4=

60

即（&?）2+（a）2=19,岳乂"二屈

.719-4715=V19-2A/60=7（A/15-A/4）2=|V15-2|=V15-2

【点睛】

本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解

答此题的关键.

22.(1)；当X4160,y乙=*,当x>160时，；

(2)当时，选择甲书店购书更省钱；当时，选择乙书店购书更省钱.答案见解

析.

【分析】

(1)根据公式：应支付的金额=标价总额x折扣，即可

解析：(1)y甲=0.8x；当xS160,y乙=*,当x>160时，y乙=0.7x+48；

(2)当160Vx<480时，选择甲书店购书更省钱；当x>480时，选择乙书店购书更省

钱.答案见解析.

【分析】

(1)根据公式：应支付的金额=标价总额x折扣，即可得函数关系式；

(2)求出两书店所需费用相同时的书本标价，从而可以判断哪家书店省钱.

【详解】

解：(1)为=0.8x,

当x<160,yz.=x,

当x>160时，y乙=160+0.7(x-160)=0.7x+48即％=0.7x+48

(2)解：,/x>160

当昨〉丁乙时，即0.8x>0.7x+48,解得x>480

当，甲=丫乙时,即0.8x=0.7x+48,解得x=480；

当为<丫乙时，即0.8x<0.7x+48,解得x<48。

所以当x>480,去乙书店购书更省钱；

当尤=480,两家书店购书省钱一样；

当x<480,去甲书店购书更省钱.

【点睛】

本题考查了一次函数在实际生活中的应用，关键是正确找出题中的等量关系，分情况讨论

即可.

23.(1)a+b；(2)①EC=2MN,见解析；②MN的最大值为4；(3)MN

=7；(4)2<MN<8

【分析】

(1)当点在的延长线上时，的值最大.

(2)①结论：.连接，再利用全等三角形的性质证明，

解析：(1)a+b；(2)①EC=2MN,见解析；②MN的最大值为4；(3)MN=7；

(4)2<MN<8

【分析】

(1)当点A在CB的延长线上时，AC的值最大.

(2)①结论：EC=2MN.连接再利用全等三角形的性质证明3O=EC,再利用三

角形的中位线定理，可得结论.②根据”N,,4W+4V,求出A",AN,可得结论.

(3)如图3中，以AO为边向左作等边连接CD,BT,过点T作"_LBD交5。

的延长线于九证明BT=CD,MN=；CD,求出3T可得结论.

(4)由(3)可知，MN=；BT,求出37的取值范围，可得结论.

【详解】

解：⑴BC=a,AB=b,

AC„a+b,

二•AC的最大值为〃+Z?,

故答案为：a+b.

图2

理由：连接BD.

ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAD=ZCAEf

在AR4D和AC4E中，

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

ABAD=ACAE(SAS),

:.BD=CE,

AM二MB,AN=ND,

:.BD=2MN,

:.EC=2MN.

②AD=5,AB=AC=3,

：.AM=BM=3-,AN=ND=5-,

22

:.MN„AM+AN,

MN,,-+-,

22

:.MN„4,

二.MN的最大值为4.

(3)如图3中，以AD为边向左作等边AAZJT,连接CO,BT,过点了作"，瓦>交BD

的延长线于J.

M

y图3

AABC,AADT都是等边三角形，

.\ZTAD=ZBAC=6O°,AT=ADfAB=AC,

.\ZTAB=ZDAC,

在和ADAC中，

AT=AD

<ZTAB=ADAC,

AB=AC

:.ATAB=ADAC(SAS),

:.BT=CD,

BM=CM,BN=ND,

:.MN=-CD,

2

:.MN=-BT,

2

ZADB=ZADT=6D°,

ZTDJ=180°-120°=60°,

ZDTJ=30°,

AD=DT=6,

□=^D=3，TD=dDT2-DJ2=3百，

:.BJ=DJ-^BD=3+10=13,

BT=IT/+BJ?=J(3百.+132=14,

:.MN=-BT=7.

2

1

(4)由(3)可知，MN2-

10-颂5T6+10,

..4领BT16,

.•.2麴Kv8.

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形

的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形解决问题.

24.（1）直线的函数解析式为：；（2）当点的坐标为：时，有最小值；（3）的坐标

为：，或，或或.

【解析】

【分析】

（1）利用锐角三角函数求直角三角形的边和的长度，从而得出点、的坐标，再利用待定系

数法，

解析：（1）直线的函数解析式为：*=氐+26；（2）当〃点的坐标为：（2,受）

时，3+跖7+而有最小值^^+2；（3）尸的坐标为：（8-273,2-|6）或（6+26，

-2）或（4,邛）或（0,2石）.

【解析】

【分析】

（1）利用锐角三角函数求直角三角形的边03和OC的长度，从而得出点5、C的坐标，

再利用待定系数法，求出直线2C的函数解析式；

（2）此题需先在图形中补全题目出现的条件，第二问为“造桥问题"，借助两点之间线段最

短，先作图，再结合函数知识解决问题；

（3）借助有定点、定长可确定圆入手，找到动点A，的运动轨迹；同时，考虑等腰三角形

△A2c的腰不确定，应分三种情况讨论，从而确定点尸的坐标.

【详解】

解：（1）x轴_Ly轴，OA=6,ZBAO=30°,

：.ZBOA=90°,ZABO=60°,则80=330。04=立・6=2百，

3

.­.8（0,2石）；

过点B作3C，AB交无轴于点C,

ZCBA=90°,NCBO=ZCBA-ZABO=90°-60°=30°,

:.CO=tan30°OB=—-2s/3=2,

3

.'.C（2,0）;

设直线8C的函数解析式为：y^kx+b,将点3（0,2石），C（-2,0）代入得，

限产,解得，E，

[-2%+b=0历=2v3

・・.直线BC的函数解析式为：乂=^x+2百.

（2）

将点G在直线G尸上平移至点G',使得G7=ACV,连接AG,交DE于点过AT作

河川//4亚交^轴于点乂，连接GM,

则=GN'=G'M',当〃位于点AT时，AA/+MN+NG有最小值；

「点。为线段AC的中点，C(-2,0),A(6,0),

•••0(2,0),AD=4,

•.,DE_Lx轴，

.-.GG'=MN=M'N'=2,ZFDA=9Q°,直线DE上所有点的横坐标都为2；

AD=2,ZBAO=30°,

.•.£>F=tan30°-AD=q.4=¥,贝"尸(2,竽)，

.•・设点G(x，W),

代入y='得，6x+2G=4弋,解得，x=——,则G(-g,,

・•.呜，手),则AG，=q一6>+呼一0)-W，

.1AM+AfiV+NG的最小值为：AM+MN+NG=AM'+M'N'+N'G=AG'+MN=^^-+2,

3

设直线G4的函数解析式为：y2=kx+b,将点G(_1,¥),A(6,0),代入得，

2,,,_4A/3

—k+b=---s/口k,=--5-G-

33,解得，，3

6k+b=0b=V)6

，直线BC的函数解析式为：%=一半x+10石，

设点㈤，将点〃，代入%—/Ix+IOQ得，机=丹8，

当AM+MN+NG最小时，M点的坐标为：⑵邛）.

（3）存在点尸，使得△A7JC为等腰三角形.

点A,。是定点，则是定长，A/ND沿尸。翻折至△则点A，是。上的动点,

（1）当A'C=AZ时，

①如图，点P在x轴上方，点尸（8-2代，2-|A/3）；

②如图，点尸在x轴下方，点P（6+2括，-2）；

（2）当3c=54'时，4也在B上，点p

（3）当CB=C4'时，点A'也在C上，点尸（0,26）.

【点睛】

本题考查了一次函数的综合应用，涉及的知识点有：一次函数、直角三角形等，体现了数

学的模型思想、转化思想.解题的关键是：学生需要对基础知识掌握非常熟练，灵活调

动.

25.(1)见解析；(2),；(3)①；②

【分析】

(1)利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA,推出NAEO=60。，进一步得

出BCIIAE,COIIAB,可得结论；

(2)先计算出0A=,推出PB=

解析：(1)见解析；(2)PA=2近,BH*后;(3)①〃(4+2326)；②gg

【分析】

(1)利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA,推出NAEO=60。，进一步得出

BCIIAE,COIIAB,可得结论；

(2)先计算出0A=4A/L推出PB=2A，利用勾股定理求出AP=2A/7,再利用面积法计算

BH即可；

(3)①求出直线PM的解析式为y=¥x-3,再利用两点间的距离公式计算即可；

②易得直线BC的解析式为y=-#x+4,联立直线BC和直线PM的解析式成方程组，求得

点G的坐标，再利用三角形面积公式计算.

【详解】

(1)证明：R3OAB中，D为0B的中点，

11

/.AD=-OB,OD=BD=-OB,

DO=DA,

/.ZDAO=ZDOA=30°,ZEOA=90°,

ZAEO=60°,

又OBC为等边三角形,

/.ZBCO=ZAEO=60°,

/.BCIIAE,

,/ZBAO=ZCOA=90°,

/.COIIAB,

「•四边形ABCE是平行四边形；

(2)解：在RtZkAOB中，ZAOB=30°,0B=8,

AB=4,

OA=4A/3,

•••四边形ABCE是平行四边形，

/.PB=PE,PC=PA,

/.PB=25

•*.PC=PA=y/PB2+AB2=2^7,

•*-SMBC=^ACBH=^ABBE,

BP-X4A/7XBH=-X4X4A/3,

2