2024届重庆高三年级下册5月月考数学试卷含答案

2024届重庆八中高三下学期5月月考数学试卷+答案

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填

写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.如图所示，U是全集，A,8是U的子集，则阴影部分所表示的集合是

A.Cu（AUB）B.AUCJJBC.。4口（。町D.（^A）U（^B）

2.已知函数①y=log“x,②③y=IogcX,④y=logd%的大致图象如图所示，则下列选项

正确的是

A.b+d>a+cB.Z?+c>a+dC.b+d<a+cD.b+c<a+d

3.在复平面内，O为坐标原点，复数（1+。2对应的点为A,复数3+4,对应的点为8,复数-1+加，对应的

点为C,若施，历，则根的值为

1133

A.—B.——C.—D.——

2222

4.设/，机是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，若/ua,a//p,则“加”是“相」乃”

的

充分不必要条件必要不充分条件

充要条件既不充分也不必要条件

22

5.已知椭圆C：彳+==1（。＞。＞0）的左焦点为凡若厂关于直线/：y=一6x对称的点在椭圆C上,

则椭圆的离心率为

D.W

A.V3-1B.273-3C.4-273

2

6.与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，则曲线y=/的法线的纵截距

的取值范围为

（4g4#]（4君）

A.—GO,----U-----------B.—GO,------------U--------------,+00

9[9J19J

4734折4疔

C.D.

7

7.已知盘子A中有3颗糖，盘子B中有4颗糖,小琨每次随机从其中一个盘子中选择吃一颗糖，直到7颗

糖全部吃完为止，则盘子A中的糖先吃完的概率为

792143

A.—B.—C.—D.—

14163264

8.棱长为3的正方体容器ABCQ-中，点E是棱A5上靠近点8的三等分点，点方是棱8C上靠

近3的三等分点，在点E,F,G处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为

274345

A.0B.—C.—D.—

1422

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.若正项无穷数列｛4｝是等差数列，且%+%=1°,则

A.a2+4+%=15

3

B.当q=Q时，｛《｝的前20项和为128

公差”的取值范围是1o,9

C.

D.当%4为整数时，％4的最大值为9

10.已知函数y=x+l（T的零点为七,y=x+lgx的零点为马，则

A.+x2>0B.XjX2<0

C.10*+lg%2=0D.4X^2-+2X2<1

11.我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第

二章《圆锥曲线与方程》的章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与

圆锥侧面的交线）是一个圆.实际上，设圆锥母线与轴所成角为不过圆锥顶点的截面与轴所成角为仇则

7777

当。=—，截口曲线为圆，当（一时，截口曲线为椭圆；当0W6<a时，截口曲线为双曲线；当。=a

22

时，截口曲线为抛物线.则在长方体中，AB=AD=2,4&=4,点尸在平面ABCD

内，下列选项正确的是

A.若点P到直线CG的距离与点P到平面BB&C的距离相等，则点P的轨迹为直线

B.若点P到直线CG的距离与点尸到⑨的距离之和等于4,则点尸的轨迹为椭圆

C.若NBQP=45。,则点P的轨迹为抛物线

D.若/BRP=60。，则点尸的轨迹为双曲线

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知成对样本数据（七,%），（x2,y2）,•••,2）中不，x2,•••,五不全相等，且所有样本

3

点（x,.，x）（z=l,2,..„小都在直线y=--x+l±,则这组成对样本数据的样本相关系数r=,其决定

系数史=.

13.已知直线/：（根+l）x+（l-根）y—2=0被动圆C：（x—〃y+（y—2”『=9截得的弦长为定值，则直

线/的方程为.

14.满足sinA=cosB=tanC且互不相似的△ABC的个数为个.

四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

已知5只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠.血液化验结果呈阳性的

即为患病，呈阴性即为未患病.下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病小白鼠为止.

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病的小白鼠为这3只中的1只，

然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.

若随机变量。，刍分别表示用方案甲、方案乙进行检测所需的检测次数.

（1）求。，4之能取到的最大值和其对应的概率;

（2）为使检测次数的期望最小，同学们应该选取甲方案还是乙方案？并说明理由.

16.（本小题满分15分）

22

已知数列｛4｝满足q=1,an+i=^1+sinjan+coseN*.

（1）求出，为，%，并求证：+1=2（%,t+1）0"eN*）；

（2）求数列｛4｝的前2〃项和“,.

17.（本小题满分15分）

如图，在直三棱柱ABC—4与。］中，AB=AC=AAl=l,M为线段A片上一点，平面BCM交棱AG于

点N.

（1）求证：直线BM,CN,9共点；

（2）若点M为4耳中点，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BQ与平面BCM

所成角的正弦值.

条件①：三棱锥A-MBC体积为工；

条件②：三棱柱ABC-4百百的外接球半径为：-.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.（本小题满分17分）

22

已知M为双曲线C：上-匕=1上的动点，过点M作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为P,Q.

45

（1）求加•丽的值；

（2）设4，4分别为双曲线c的左、右顶点，过点（3,0）的直线/与双曲线C交于A,B两点（点A在x

轴上方），R为直线4人，的交点，若点R的纵坐标为:，求直线/的方程.

19.（本小题满分17分）

已知函数/（%）=-x3+x2+b,g（x）=alnx.

1、3

⑴若/（X）在-彳,1上的最大值为％,求实数6的值;

2）8

（2）若对任意的xe[l,e]（e为自然对数的底数），都有g（x"-d+（a+2.恒成立，求实数a的取值范

围；

⑶在（1）的条件下，设"X）]，!?”「对任意给定的正实数。，曲线y=F（x）上是否存在两点P,

[g⑺,x»l

。，使得△POQ是以。（。为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形的斜边的中点在y轴上？

请说明理由.

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

题号12345678

答案DACBAACD

【解析】

1.图中阴影部分表示的集合为图（4口3）=（14川（图3），故选D.

2.由已知可得/?>a>l>d>。>0,则b+d>a+c,即选项A正确，选项C错误；又〃+d与b+c的大

小不确定，即选项B、D无法判断，故选A.

3.复数（l+，y=2i,即A（0,2）,复数3+由，即8（3,4）,故荏=质一况=（3,2）,复数一1+/位对应

—*/、—>—>3

的点为C,则0c=（—1,加），因为ABLOC,所以一3+2〃?=0,解得加=5,故选C.

4.若加_L/,Iua,a//（3,则相与夕的位置关系不能确定；若m工0,因为a〃尸，所以机_La,

又/ua,所以加」/成立，所以“〃?」/”是“m10”的必要不充分条件，故选B.

5.设厂关于直线/：y=-Gx对称的点为尸，右焦点为工，再设FP的中点为由于。也为厂鸟的中

点，故OM〃尸乙，故焦点中，NF』F=；,NP&F=鼻,故PF=2cs哈=瓜,

PF^=2ccos—=c,故PF+PF,=Me+c=2ane='—=V3—1,故选A.

'3'aV3+1

6.在曲线y=d上任取一点P«/3),对函数y=%3求导得y,=3%2,则y，M=3/,若曲线y=%3的纵

截距存在，则tw0,所以，曲线y—d在点尸处的法线方程为y—t3——，即y=——^-x+t3+—,

所以，曲线》=尤3在点尸处的法线的纵截距为r+_L,令〃力=三+工，其中xwo,则

厂(%)=27*D3，令/可得27%4—3＞。=%4＞工=%2＞J.,所以当冗＜一把时,

v79x2v7933

fr(x)>0,此时，函数/(%)单调递增，---<x<0,0<%<丁时，fr(x)<0,此时，函数/(%)

J3

单调递减,当x>彳-时，/'⑴>0,此时,函数/⑴单调递增，/圾f(x)=—8,

lim/(x)7=-00,limf(x)7=+00lim/(x)=+℃,所以，

尤-0一、Z+CO、

4百乎,+/故选A.

—00,—u

997

flV3

7.记吃第"颗糖时盘子A中的糖先吃完为事件4,,贝P(A3)=P(4)=C；7

2816

、55

「(A)Y2，尸(A)=c；=—,故盘子A中的糖先吃完的概率

232

7a

〃=P(A)+P(4)+尸(A)+P(A)=||，故选c

8.正方体ABCD-4与GO的体积为33=27,

1.当E,F,G处的小孔都在水平面时，如图1,三棱台A^Q-BEF的体积为

(913、131341

V=-x-+-+—x3—,所以容器所装水的多面体AE尸C。4GA的体积V=27—5

3{222)1

2.当只有1个小孔在水平面上方时，(1)当E处的小孔在水平面上方时，如图2；当。处的小孔在水平面

上方时，如图3；显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体AE尸CD41GA的体积小，不会最大;

（2）当尸处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为，

3

①当H在线段CF上时，如图4,设BH=x,xe（l,3]）则4G=—,棱台gQG—3HE的体积为

无

(\313、9x399x

V—X—x3+—xxxl+—x3,可得V=——+—+—之一，当且仅当一=—，即尤=3

-3(2x22J'」2x222lx2

945

时，等号成立，此时棱台4GG-3HE的体积有最小值丫=一，该容器可装水的体积为

22

IS4

②当H在线段CD上时，如图5,设CH=x,XG[0,1],A4的三等分点为K,可知：水平面EHGG

为平行四边形，且四棱锥K—EHC]G与四棱锥C—EHGG的体积相同，可知：多面体E3CH31GG的

19

体积与三棱柱E3C-Kg。的体积相同，所以三棱柱仍C-K耳。的体积为]Xlx3x3=e，此时该容

4545

器可装水的体积为二.综上所述：该容器可装水的最大体积为二，故选D.

22

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

题号91011

答案ACDBCDABD

【解析】

9.对于A,等差数列｛〃〃｝中，若%+%=10,则。8=((%+%)=5,故%+〃8+%4=34=15,A正

确;对于B,由于a8=5,q=』，则公差d=—―5=!，故｛。”｝的前20项和S2。=20%+"义19d=125,

28—122

B错误；对于C,由A的结论，as=5,只需q=5—7d>0且d>0即可，则有0<d<^,即d的取值

范围为C正确；对于D,由等差数列的性质，出+%4=。7+。9=1°，若《4为整数，4必为整数，

又由数列｛4｝是正项递增的等差数列，即囚>0,且％>%，必有。2»1，故即为最大值为9，

D正确，故选ACD.

10.：函数y=x+10”的零点为％],y=x+lgx的零点为々，

；・函数y=—无与函数y=10*图象的交点的横坐标为％,函数y=—无与函数y=1g无图象的交点的横坐

标为超，作函数》=—%、函数》=10"、函数y=lgx的图象如图6,，点A的横坐标为％,点B的横坐标

为马,

-1.5-1-0.5IM^l1.52

图6

••・函数y=l(T与函数y=lg尤的图象关于直线y=x对称，函数y=—x的图象关于直线y=x对称，

...点A、B关于直线y=x对称，又：点A、B在直线y=—x上，...点A、B关于原点对称，

玉+%2=。，故选项A错误；易知C2<0,故选项B正确；

・.・10司=一再，1gX2=-X2,X]+%=0,10国+但无2=0，即选项C正确；由零点存在定理易知

(1Y1>n111M

—/<X]<0,0<々<5，*,•—"2〈°，即无1无。一Q无1+耳尤2一]<0，

4无1%-2无1+2%<1,故选项D正确，故选BCD.

11.A：如图7,尸到直线CC]的距离与尸到平面3片。1。的距离相等，又尸在平面ABCO内，所以在平面

内，P到C的距离与P到直线BC的距离相等，又CeBC,.•.尸在直线CD上，故P的轨迹为直线，故A

正确；B：尸到直线的距离与P到AA的距离之和等于4,同A知：平面内，尸到C的距离与尸到A的

距离之和等于4>[4。=2四，.•.尸的轨迹为椭圆，故B正确;

图7

C：如图8,根据长方体的性质知：5,与面A5CD所成角的平面角NDI5O=畿，，4BR尸=45。时,

相当于以3A为轴，轴截面的顶角为2。=90°的圆锥被面ABCD所截形成的曲线，而BR=2娓,

DR=4,则sina=J=sin45°,即45°<a<90°,故尸的轨迹为椭圆，故C错误；D：同C

32

分析：/3。尸=60。时，相当于以3R为轴，轴截面的顶角为2。=120。的圆锥被面ABC。所截形成的

V6V3

曲线,而sina——<——sin600,即0<。<60°,故P的轨迹为双曲线，故D正确，故选ABD.

32

图8

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

题号121314

答案-1；12x-y-l=01

【解析】

12.由题易知r=-1,R?=1.

13.Z：加（九一y）+无+>一2=0过定点（1,1）,c：—=9,圆心C（”,2”），半径为厂=3,

注意到动圆圆心C在定直线/'：y=2x上动，半径为定值，要使直线/被截得的弦长为定值，则动点C到

/的距离为定值，贝U故/的斜率也为2,故直线/的方程为2x—y—1=0.

14.方法一：在△ABC中，可得sinA>0.再由sinA=cosB=tan。，可得cos3=tanC〉0,所以

JT\JTTT

NB,/C均是锐角，若NA是锐角，由sinA=cos8=sin——B，可得NA=——ZB,ZA+ZB^-,

(2J22

ZC=f与NC是锐角矛盾，由sinA=cos5,可得NA不是直角，所以NA是钝角.由

71

cosB=sinA=cosA----,可得NB=/A----------ZA=-+ZB,于是

2

/、/、sin----2B

7i(7r\(nI2Jcos2Bl-2sin92B

ZC=——2Z.B0<Z5<—.因止匕cos3=tan——2B=——；----与=-----=---------

2(4J<2)(71jsin2B2sinBcosB

v7''cos----InBD

(2)

.1(7T\

2sinB(^1-sin2=1-2sin2BsinB-sin9B-sin5+—=00<ZB<—.设sin3=x,可得

2I4；

I（i\

0<x<--j=,题意即问关于X的方程xi-x2-x+-=00<x（丁的实根个数.设

V22IV2J

ooj.

〃x)=x—x—x-\—=00<x<--j=可得

2IA/27

、

/(X)=3X2-2X-1=(X-1)(3X+1)<00<X<J_/（无）为减函数.又因为/（o）=g>o,

五‘

于=-2也<0,所以关于x的方程无3—无之一无+万0Q<x<的实根个数是1,因此答案

是1个.

TTTT71

方法二：根据题意，有NA=—+N5,于是/C=——2NB.因此cos5=tan——2B.考虑函数

22^2)

2

/(x)=cosx-cot2x,x&,其导函数f\x）=—--sin尤>0,因此函数/（X）单调递增.又

sinn

理〃上-00,㈣〃尤）=干>0,于是函数〃尤）在0,y上有且仅有1个零点，所以只有一组解

X->—7

4

（A,5C）符合题意.

四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

T2

解：（1）用方案甲，最多检测4次，即前3次检测均未检测出患病，则。的最大值为4,。（《=4）=才=£.

A5

用方案乙，最多检测3次，即混检时，检测结果为阳性，继续逐个检测时，第一次未验中，无论第二次是否

验中，均可得出结果，

C2.C1C12

41

则与的最大值为3,尸（多=3）=3-=

（2）。可取1,2,3,4,

1A11A219

尸/=1)=丁*=2)=苛=二,尸(*3)=%=不*=4)=『

£(0),xl+Lx2+Jx3+2x4=¥

'"55555

多可取2,3,

若乙验两次时，有两种可能:

C2C'11

①三只小白鼠混检时结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：《J乂不二一

Q45

C32

②三只小白鼠混检时结果为阴性，再从其他两只小白鼠中验阳性的概率为：U==，（无论第二次是否验

Q5

中，均可以在第二次结束）

•••…小那

・•.£依)』2+2X3』,

555

因此，同学们应该选择乙方案.

16.（本小题满分15分）

解：⑴％=0+1)%+0=2，%=(1+0)。2+1=3,%=(1+1)%+0=6，

,.22mC22m兀

证明：«2m+l1+sin-----+cos--a-2-m-+1,

I2J2

2（2加一1）〃

—(2…”%+cos2a2m-l，

22

7

即a2m+l~a2m+1，tt2m=2a2m.I，则fl2m+l=^a2m-l+L

故“2皿+1+1=2（%*1+1）-

（2）由（1）可得：。2刈+1+1=2（。2"-1+1）且％+1=2/0，

所以数列｛。2.1+1｝是公比为2的等比数列，

故+1=（《+1）2加1，解得：a2m-l=2™-1,出加=2a2（„T=2"”一2,

n+\

2方-1,〃为奇数

故见=，“

2--2,〃为偶数

a

所以S2n=（fl,+tZ3H---F2n-\）+（%+04---的”）

=Qi+2?+…+2”—〃）+Q2+23+…+2"+i—2"）

2（1-2"）4（1-2"）

=△-------n+△--------—2〃=3•2,!+1-3n-6.

1-21-2

17.（本小题满分15分）

（1）证明：如图，由平面ABC〃A4G，平面BCWn平面ABC=BC,

平面BCMn平面4与。］=MN,

故MN〃BC〃BG，且MNwBC,

所以直线与直线NC相交，

记BMCNC=P,则PeBMu平面AB1,

同理PeNCu平面AG，

所以尸在平面AG与平面A4的交线上，即PeA4,.

（2）解：若选择条件①，则有

V=V=-|AA|-S,„=-xlx—xlxlxsinZBAC=—sinABAC=—=>sinABAC-1,即

AA—MRDLr.M—AADRCrQI1|AAoCrQ。（

ZBAC=90°；

若选条件②，记△ABC的外接圆半径为r,三棱柱ABC-4月。的外接球半径R，则有

1QB

R=r~—IAAjI=—=>r=----,记△ABC外接圆心为O,

41142

Ji

则有A0=80=C0=且有4。2+5。2=432,

2

故NA4O=NC4O=45。,

故/BAC=90。；

以A为原点，A3的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A-8C4,

1、

则5（1,0,0）,。（0,1,0）,知-,0,l,^（0,0,1）,CBj=（1,-1,1）,^=（-1,1,0）,W=-^-,0,1,

2727

记平面BCM的法向量为n=（x,y,z）,

-%+y=0

n-BC=0

则有《__

——x+z=0'

h-BM=0I2

取元=（2,2,1）,记直线5c与平面所成角为a,

2-2+1

则有sina=cos（亢,CB]

73x74+4+1-9-

18.（本小题满分17分）

解：（1）设渐近线）=3％的倾斜角为仇则tan9=飞-,

,11

9-

cosZPOQ=cos20=cos0-sin-0=--,cosZMXOM2=

故cosZPMQ=cos（»-/POQ）=-cosZM,OM^=—

129

设M（无（）,%）n5龙;一4y；=20,

20

MPMQ=

339818?

⑵设/：x=my+3,A（XQJ,B（x2,y2）,

x=my+3

联立：炉V_,化简得：（5加2一4）/+3。加》+25=0,

[45

-30m25

%

直线A4：y（尤+2）,直线即：y（尤-2）,

%]+2龙2—2

联立消去y得:

x=_2,2）+为（％+2）=_2.」（加%+1）+乃（"5+5）=_2,2的i%+X+5%

%（%—2）—%（石+2）%（9％+1）—%（9%+5）X—5%

又.•』％=』5（/%+%、），

一：（％+%）+%+5%4

...x=_2.2,肛为+X+5%=_2.

""X-5%"X—5%3

、5

（45