2025届甘肃省河西五市部分普通高中高一下数学期末复习检测试题含解析

2025届甘肃省河西五市部分普通高中高一下数学期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，满足，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．2．如图，在正方体，点在线段上运动，则下列判断正确的是（）①平面平面②平面③异面直线与所成角的取值范围是④三棱锥的体积不变A．①② B．①②④ C．③④ D．①④3．已知函数的图像如图所示，则和分别是（）A． B． C． D．4．若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是()A． B． C． D．5．已知是不共线的非零向量，，，，则四边形是（）A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形6．若，满足不等式组，则的最小值为（）A．-5 B．-4 C．-3 D．-27．在中，已知角的对边分别为，若，，，，且，则的最小角的余弦值为（）A． B． C． D．8．在中，，，则的最大值为A． B． C． D．9．已知，若关于x的不等式的解集为，则（）A． B． C．1 D．710．已知为第Ⅱ象限角，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．_________________；12．等比数列中，若，，则______.13．若直线y＝x＋m与曲线x＝恰有一个公共点，则实数m的取值范围是______.14．若向量，则与夹角的余弦值等于_____15．等差数列满足，则其公差为__________．16．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，则折起后B，D两点的距离为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等比数列的首项为，公比为，它的前项和为.（1）若，，求；（2）若，，且，求.18．已知向量，的夹角为120°，且||＝2，||＝3，设32，2．（Ⅰ）若⊥，求实数k的值；（Ⅱ）当k＝0时，求与的夹角θ的大小．19．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.20．已知数列满足，令（1）求证数列为等比数列，并求通项公式；（2）求数列的前n项和.21．已知，．(1)求及的值；(2)求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

将变形解出夹角的余弦值，从而求出与的夹角．【详解】由得，即又因为，所以，所以，故选B.【点睛】本题考查向量的夹角，属于简单题．2、B【解析】

①连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1，从而可以证明面面垂直；②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；③分析出A1P与AD1所成角的范围，从而可以判断真假；④=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变；【详解】对于①，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1，DB1⊂平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1，正确．②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得A1P∥平面ACD1，正确．③当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故A1P与AD1所成角的范围是，错误；④=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变．∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变，正确；正确的命题为①②④．故选B．【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，空间想象能力，中档题．3、C【解析】

通过识别图像，先求，再求周期，将代入求即可【详解】由图可知：，，将代入得，又，，故故选C【点睛】本题考查通过三角函数识图求解解析式，属于基础题4、C【解析】

根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可．【详解】A:=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．B:==与n有关系，因此不是等差数列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；D:当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C【点睛】本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5、A【解析】

本题首先可以根据向量的运算得出，然后根据以及向量平行的相关性质即可得出四边形的形状．【详解】因为，所以，因为，是不共线的非零向量，所以且，所以四边形是梯形，故选A．【点睛】本题考查根据向量的相关性质来判断四边形的形状，考查向量的运算以及向量平行的相关性质，如果一组对边平行且不相等，那么四边形是梯形；如果对边平行且相等，那么四边形是平行四边形；相邻两边长度相等的平行四边形是菱形；相邻两边垂直的平行四边形是矩形，是简单题．6、A【解析】

画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出的最小值．【详解】画出，满足不等式组表示的平面区域，如图所示平移目标函数知，当目标函数过点时，取得最小值，由得，即点坐标为∴的最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7、D【解析】

利用余弦定理求出和的表达式，由，结合正弦定理得出的表达式，利用余弦定理得出的表达式，可解出的值，于此确定三边长，再利用大边对大角定理得出为最小角，从而求出．【详解】，由正弦定理，即，，，，解得，由大边对大角定理可知角是最小角，所以，，故选D．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查大边对大角定理，在解题时，要充分结合题中的已知条件选择正弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题．8、A【解析】

利用正弦定理得出的外接圆直径，并利用正弦定理化边为角，利用三角形内角和关系以及两角差正弦公式、配角公式化简，最后利用正弦函数性质可得出答案．【详解】中，，，则，，其中由于，所以，所以最大值为．故选A．【点睛】本题考查正弦定理以及两角差正弦公式、配角公式，考查基本分析计算能力，属于中等题．9、B【解析】

由韦达定理列方程求出，即可得解．【详解】由已知及韦达定理可得，，，即，，所以．故选：．【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题．10、B【解析】

首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．【详解】因为，所以或，又为第Ⅱ象限角，故，．因为为第Ⅱ象限角即，所以，，即为第Ⅰ，Ⅲ象限角．由于，解得，故选B．【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用以及象限角的集合应用．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

利用诱导公式化简即可得出答案【详解】【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题．12、【解析】

设的首项为，公比为，根据，列出方程组，求出和即可得解.【详解】设的首项为，公比为，则：，解之得，所以：.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解，解出即可，属于基础题.13、{m|－1＜m≤1或m＝－}【解析】

由x=，化简得x2+y2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数m的取值范围．【详解】由x=，化简得x2+y2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，从图上看出其三个极端情况分别是：①直线在第四象限与曲线相切，②交曲线于（0，﹣1）和另一个点，③与曲线交于点（0，1）．直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣，当直线y=x+m经过点（0，1）时，m=1．当直线y=x+m经过点（0，﹣1）时，m=﹣1，所以此时﹣1＜m≤1．综上满足只有一个公共点的实数m的取值范围是：﹣1＜m≤1或m=﹣．故答案为：{m|－1＜m≤1或m＝－}．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．14、【解析】

利用坐标运算求得；根据平面向量夹角公式可求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.15、【解析】

首先根据等差数列的性质得到，再根据即可得到公差的值.【详解】，解得.，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记公式为解题的关键，属于简单题.16、1.【解析】

取AC的中点E，连结DE，BE，可知DE⊥AC，由平面ACD⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，DE⊥BE，而，再结合ABCD是正方形可求出.【详解】取AC的中点E，连结DE，BE，显然DE⊥AC，因为平面ACD⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥BE，而，所以，.【点睛】本题考查了空间中两点间的距离，把空间角转化为平面角是解决本题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根据题意建立和的方程组，求出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；（2）分、、三种情况讨论，然后利用等比数列的求和公式求出和，即可计算出.【详解】（1）若，则，得，则，这与矛盾，则，所以，，解得，因此，；（2）当时，则，所以，；当时，，，则，此时;当时，则.因此，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的计算，同时也考查了与等比数列前项和相关的数列极限的计算，解题时要注意对公比的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用⊥，结合向量的数量积的运算公式，得到关于的方程，即可求解；（Ⅱ）当时，利用向量的数量积的运算公式，以及向量的夹角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，向量，的夹角为120°，且||＝2，||＝3，所以，，，又由.若⊥，可得，解得k．（Ⅱ）当k＝0时，，则．因为，由向量的夹角公式，可得，又因为0≤θ≤π，∴，所以与的夹角θ的大小为．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19、（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）【解析】

（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；（3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出.【详解】(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个).(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，，，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，，抽取的3个中度拥堵路段为，，，抽取的1个严重拥堵路段为，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：，共9种.所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.【点睛】本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型.20、（1）；（2）【解析】

（1）由变形可得，即，于是可得数列为等比数列，进而得到通项公式；（2）由（1）得，然后分为奇数、偶数两种情况，将转化为数列的求和