2025届全国普通高等学校数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届全国普通高等学校数学高一下期末学业质量监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若是的重心，，，分别是角的对边，若，则角（）A． B． C． D．2．若，则三个数的大小关系是（）A． B．C． D．3．如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在处南偏西且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为（）分钟．A．24 B．36 C．48 D．604．设数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，且、、成等比数列，则等于（）A． B． C． D．5．函数的部分图像如图所示，则的值为（）A．1 B．4 C．6 D．76．《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斜稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）A．57.08斜 B．171.24斛 C．61.73斛 D．185.19斛7．一个多面体的三视图如图所示．设在其直观图中，M为AB的中点，则几何体的体积为（）A． B． C． D．8．在中，，，则的最大值为A． B． C． D．9．已知三个互不相等的负数，，满足，设，，则()A． B． C． D．10．设平面向量，，若，则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．=__________.12．在等差数列中，，，则公差______.13．已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：_____.12340.13.1414．给出以下四个结论：①过点，在两轴上的截距相等的直线方程是；②若是等差数列的前n项和，则；③在中，若，则是等腰三角形；④已知，，且，则的最大值是2.其中正确的结论是________（写出所有正确结论的番号）.15．已知，，，若，则__________．16．中,三边所对的角分别为,若,则角______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列与等比数列满足，，且.（1）求数列，的通项公式；（2）设，是否存在正整数，使恒成立？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.18．如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB＝2，AD＝1，E，F分别为AC，BP中点．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．19．已知函数是指数函数．(1)求的表达式；(2)判断的奇偶性，并加以证明(3)解不等式：．20．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，D为的中点，.（1）求证：平面；（2）求与所成角的余弦值．21．在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售.如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了80个面包，以x（单位：个，）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润.（1）求食堂面包需求量的平均数；（2）求T关于x的函数解析式；（3）根据直方图估计利润T不少于100元的概率.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】试题分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案为D.考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.2、A【解析】

根据对数函数以及指数函数的性质比较，b，c的大小即可．【详解】＝log50.2＜0，b＝20.5＞1，0＜c＝0.52＜1，则，故选A．【点睛】本题考查了对数函数以及指数函数的性质，是一道基础题．3、A【解析】

利用余弦定理求出的长度，然后根据速度、时间、路程之间的关系求出时间即可.【详解】由题意可知：，运用余弦定理可知：该船到求助处的时间，故本题选A.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.4、A【解析】

设等差数列的公差为，根据得出与的等量关系，即可计算出的值.【详解】设等差数列的公差为，由于、、成等比数列，则有，所以，，化简得，因此，.故选：A.【点睛】本题考查等差数列前项和中基本量的计算，解题的关键就是结合题意得出首项与公差的等量关系，考查计算能力，属于基础题.5、C【解析】

根据是零点以及的纵坐标值，求解出的坐标值，然后进行数量积计算.【详解】令，且是第一个零点，则；令，是轴右侧第一个周期内的点，所以，则；则，，则.选C.【点睛】本题考查正切型函数以及坐标形式下向量数量积的计算，难度较易.当已知，则有.6、C【解析】

根据圆锥的周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数．【详解】设圆锥形稻谷堆的底面半径为尺，则底面周长为尺，解得尺，又高为尺，所以圆锥的体积为（立方尺）；又（斛，所以估算堆放的稻谷约有61.73（斛．故选：．【点睛】本题考查了椎体的体积计算问题，也考查了实际应用问题，是基础题．7、D【解析】

利用棱柱的体积减去两个棱锥的体积，求解即可.【详解】由题意可知几何体C−MEF的体积：VADF−BCE−VF−AMCD−VE−MBC=.故选：D.【点睛】本题考查简单空间图形的三视图及体积计算，根据三视图求得几何体的棱长及关系，利用几何体体积公式即可求解，考查运算能力和空间想象能力，属于基础题.8、A【解析】

利用正弦定理得出的外接圆直径，并利用正弦定理化边为角，利用三角形内角和关系以及两角差正弦公式、配角公式化简，最后利用正弦函数性质可得出答案．【详解】中，，，则，，其中由于，所以，所以最大值为．故选A．【点睛】本题考查正弦定理以及两角差正弦公式、配角公式，考查基本分析计算能力，属于中等题．9、C【解析】

作差后利用已知条件变形为，可知为负数，由此可得答案.【详解】由题知.因为，，都是负数且互不相等，所以，即.故选：C【点睛】本题考查了作差比较大小，属于基础题.10、D【解析】分析：由向量垂直的条件，求解，再由向量的模的公式和向量的数量积的运算，即可求解结果.详解：由题意，平面向量，且，所以，所以，即，又由，所以，故选D.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和向量模的求解，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式和向量模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】由对数的运算性质可得到，故答案为2.12、3【解析】

根据等差数列公差性质列式得结果.【详解】因为，，所以.【点睛】本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.13、【解析】

根据回归直线方程过样本点的中心，代入数据即可计算出的值.【详解】因为，，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据回归直线方程过样本点的中心求参数，难度较易.14、②④【解析】

①中满足题意的直线还有，②中根据等差数列前项和的特点，得到，③中根据同角三角函数关系进行化简计算，从而进行判断，④中根据基本不等式进行判断.【详解】①中过点，在两轴上的截距相等的直线还可以过原点，即两轴上的截距都为，即直线，所以错误；②中是等差数列的前n项和，根据等差数列前项和的特点，，是一个不含常数项的二次式，从而得到，即，所以正确；③中在中，若，则可得，所以可得或，所以可得或，从而得到为直角三角形或等腰三角形，所以错误；④中因为，，且，由基本不等式，得到，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，即的最大值是，所以正确.故答案为：②④【点睛】本题考查截距相等的直线的特点，等差数列前项和的特点，判断三角形形状，基本不等式求积的最大值，属于中档题.15、-3【解析】由可知，解得，16、【解析】

利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.【详解】由得，由于，所以.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），．（2）存在正整数，，证明见解析【解析】

（1）根据题意，列出关于d与q的两个等式，解方程组，即可求出。（2）利用错位相减求出，再讨论求出的最小值，对应的n值即为所求的k值。【详解】（1）解：设等差数列与等比数列的公差与公比分别为，，则，解得，于是，，．（2）解：由，即，①，②①②得：，从而得．令,得,显然、所以数列是递减数列，于是，对于数列，当为奇数时，即，，，…为递减数列，最大项为，最小项大于；当为偶数时，即，，，…为递增数列，最小项为，最大项大于零且小于，那么数列的最小项为．故存在正整数，使恒成立．【点睛】本题考查等差等比数列，利用错位相减法求差比数列的前n项和，并讨论其最值，属于难题。18、(1)见证明；(2)【解析】

(1)根据EF是△BDP的中位线可知EF∥DP，即可利用线线平行得出线面平行；(2)取AB中点O,连接PO，DO，可证明∠PDO为DP与平面ABCD所成角，在Rt△DOP中求解即可.【详解】(1)因为E为AC中点，所以DB与AC交于点E．因为E，F分别为AC，BP中点，所以EF是△BDP的中位线，所以EF∥DP．又DP⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD．(2)取AB中点O,连接PO，DO∵△PAB为正三角形，∴PO⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面PAB∴PO⊥平面ABCD,∴DP在平面ABCD内的射影为DO，∠PDO为DP与平面ABCD所成角，在Rt△DOP中，sin∠PDO=,∴直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，线面角的求法，属于中档题.19、（1）（2）见证明；（3）【解析】

(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.(2)，判断关系得到答案.(3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数是指数函数，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函数；（3）不等式：，以2为底单调递增，即，∴，解集为．【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）连接，设与相交于点O，连接OD.证明OD为的中位线，得，即可证明；（2）由（1）可知，为与所成的角或其补角，在中，利用余弦定理求解即可【详解】(1)证明：如图，连接，设与相交于点O，连接OD.∵四边形是平行四边形．∴点O为的中点．∵D为AC的中点，∴OD为的中位线，平面，平面，平面.（2）由（1）可知，为与所成的角或其补角在中，D为AC的中点，则同理可得，在中，与BD所成角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力是基础题21、（1）84；（2）；（3）【解析】

（1）每个小矩