数学（选修12）练习5.2.1直接证明分析法与综合法活页作业8

活页作业(八)直接证明：分析法与综合法1．平面内有四边形ABCD和点O，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD为()A．菱形 B．梯形C．矩形 D．平行四边形解析∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).∴四边形ABCD是平行四边形．答案：D2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明()A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C．eq\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0解析要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明(a2－1)·(1－b2)≤0，即只需证明(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D3．在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定解析∵tanAtanB＞1，∴tanA＞0，tanB＞0.∴A，B为锐角．又∵tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＜0，∴A＋B＞eq\f(π,2).∴C＜eq\f(π,2).∴△ABC是锐角三角形．答案：A4．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．由a的取值确定解析∵要证P＜Q，只需证P2＜Q2，只需证2a＋7＋2eq\r(aa＋7)＜2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)，只需证a2＋7a＜a2＋7只需证0＜12.∵0＜12成立，∴P＜Q成立．答案：C5．若平面内eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(OP2,\s\up6(→))＋eq\o(OP3,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP3,\s\up6(→))|，则△P1P2P3一定是________三角形(形状)．解析由eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(OP2,\s\up6(→))＋eq\o(OP3,\s\up6(→))＝0，得O为△P1P2P3的重心．由|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP3,\s\up6(→))|，得O为△P1P2P3的外心．则△P1P2P3为等边三角形．答案：等边6．如图所示，四棱柱ABCD_A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足____________________时，BD⊥A1C(解析要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而可证BD⊥A1答案：AC⊥BD(答案不唯一)7．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.(1)求证：ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).(2)求证：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).(2)∵eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.8．如图所示，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC．证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，因为EF⊥SC，则只需证AE⊥SC．只需证AE⊥平面SBC，因为AE⊥SB，则只需证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，因为AB⊥BC，则只需证BC⊥SA，由SA⊥平面ABC，可知BC⊥SA成立．故AF⊥SC．1．用分析法证明命题“已知a－b＝1，求证：a2－b2＋2a－4b－3＝0”，A．a＝b B．a＋b＝1C．a＋b＝－3 D．a－b＝1解析要证a2－b2＋2a－4b即证a2＋2a＋1＝b2＋4b即(a＋1)2＝(b＋2)2，即证|a＋1|＝|b＋2|，即证a＋1＝b＋2或a＋1＝－b－2.故a－b＝1或a＋b＝－3.而a－b＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件．答案：D2．已知函数f(x)是R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．若f(1)＝2，则f(2015)等于()A．2015 B．2C．1 D．0解析∵f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，∴令x＝－3，得f(3)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝0.∵f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝0.∴f(x＋6)＝f(x)．∴6是f(x)的一个周期．∵f(1)＝2，∴f(2015)＝f(336×6－1)＝f(－1)＝f(1)＝2.答案：B3．已知a，b，c三数成等比数列，且x，y分别为a，b和b，c的等差中项，则eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)的值为________.解析∵a，b，c成等比数列，∴eq\f(a,b)＝eq\f(b,c).∴eq\f(a,a＋b)＝eq\f(b,b＋c).又由题设知x＝eq\f(a＋b,2)，y＝eq\f(b＋c,2)，∴eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2c,b＋c)＝eq\f(2b,b＋c)＋eq\f(2c,b＋c)＝eq\f(2b＋c,b＋c)＝2.答案：24．已知x，y∈(0，＋∞)，当x2＋y2＝____________时，有xeq\r(1－y2)＋yeq\r(1－x2)＝1.解析要使xeq\r(1－y2)＋yeq\r(1－x2)＝1，只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2yeq\r(1－x2)，即2yeq\r(1－x2)＝1－x2＋y2，只需使(eq\r(1－x2)－y)2＝0，即eq\r(1－x2)＝y.∴x2＋y2＝1.答案：15．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).证明：要证原式，只需证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，即证eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，即只需证eq\f(bc＋c2＋a2＋ab,ab＋b2＋ac＋bc)＝1.而由题意知A＋C＝2B，∴B＝eq\f(π,3)，∴b2＝a2＋c2－ac.∴eq\f(bc＋c2＋a2＋ab,ab＋b2＋ac＋bc)＝eq\f(bc＋c2＋a2＋ab,ab＋a2＋c2－ac＋ac＋bc)＝eq\f(bc＋c2＋a2＋ab,ab＋a2＋c2＋bc)＝1.∴原等式成立，即eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).6．设a＞0，f(x)＝eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)在R上满足f(x)＝f(－x)．(1)求a的值．(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(1)解依题意，得对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，即eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)＝eq\f(1,aex)＋aex.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))＝0对一切x∈R成立．由此可得a－eq\f(1,a)＝0，即a2＝1.又∵a＞0，∴a＝1.(2)证明：设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝ex1－ex