刚体定轴转动和平面运动课件

刚体定轴转动和平面平行运动一、惯量张量和惯量椭球对形状规则的刚体，将转动惯量写为积分形式对通过空间某一点O的轴线,

,

,

为转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦,则一次算出轴转动惯量和惯量积,通过O点的任一轴线的转动惯量都可得出.

三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物理量,代表刚体转动的惯性的量度，可以写为矩阵的形式并叫它惯量张量,元素叫惯量张量的组元或惯量系数.利用矩阵乘法,得

惯量系数是点坐标的函数,所以用静止的坐标系时,刚体转动时,惯量系数随之而变.通常选取固着在刚体上、并随着刚体一同转动的动坐标系,这样,惯量系数都是常数．

显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除,如在转动轴上,截取线段I为刚体绕该轴的转动惯量,则Q点的坐标将是因过O点有很多转轴,则有很多的Q点，这些点的轨迹是这是一个中心在O点的椭球,通常叫惯量椭球,如O为质心,又叫中心惯量椭球.椭球有三个主轴,如坐标轴选取与之重合,则惯量积消失.I1,I2,I3称为O点上的主转动惯量.此时,

椭球与主轴交点的位矢R的方向和椭球上该点法线的方向重合.这是解析几何里求二次曲面主轴的方法,或线性代数里求本征值的方法.在力学里,大都是对称的均匀刚体,而这种刚体的惯量主轴,则可根据对称性很方便地求出.1平动(a)是平动,(b)不是平动

平动时刚体内所有点都有相同的速度和加速度.通常用质心的运动来代表刚体整体的运动.二、刚体的平动与绕固定轴的转动2定轴转动

刚体绕固定轴z轴转动时,刚体中任何一点Pi,都在垂直于z轴的平面内,即xy平面内作圆周运动.设在xy平面内,其一质点的位矢是ri,它和z轴距离为Ri,如果在某一时刻,质点Pi的线速度为vi,则

定轴转动,

方向不变,则

是角加速度.在定轴转动中,它的指向与角速度相同或相反,并且也是沿着同一条转动轴线.定轴转动的角动量定理为有保守力作用的定轴转动的机械能为3定轴转动时轴上的附加压力

刚体绕定轴转动可以看作等价于空间两点A和B保持不动时刚体的运动.显然是刚体受到了约束,可以用动量定理和角动量定理来确定作用在A、B两点上的约束反力.因为所以最后一式是刚体绕定轴转动的动力学方程,其余五式,用来求约束反力前五式是如平衡方程,最后式子是平衡条件,对应约束反力是静力反作用力如果要刚体转动时不在轴承上产生附加压力,当所有主动力等于零时，反作用力也都应等于零，这样，就有这是以xC、yC及Iyz,Izx为未知量的二元一次方程,但它们的系数行列式在转动时都不等于零,故xC、yC及Iyz,Izx必须同时为零,即刚体的重心在转动轴上,而且转动轴是惯量主轴.这时,我们就说这样的刚体己达到了动平衡,这时的转动轴叫做自由转动轴.这时即使取消约束刚体还是会绕着它继续转动.例1

涡轮可以看作是一个均质圆盘,由于安装不善,涡轮转动轴与盘面法线成交角

＝1o.涡轮圆盘质量为20千克,半径0.2米,重心O在转轴上,O至两轴承A与B的距离均为0.6米.设轴以12000转／分的角速度匀速转动,试求轴承上的压力解选取坐标轴如图.图中x,y,z是固定的坐标轴,而x’,y’,z’为几何对称轴.设在图示瞬间,y和y’正好重合.显然又如以O为参考点,则(1)首先要求出Izx,由坐标变换得这样,求解式(1),得

在NAx与NBx式中第一项代表静力反作用,第二项代表动力反作用,亦即轴上的附加压力.把题给的数据代入得附加压力而静力反作用之和只有20×9.8=196N,可见动力反作用对轴承的危害更大.

1平面平行运动运动学刚体平面平行运动时,任一点都始终在平行于某一固定平面的平面内运动.只须研究刚体中任一和固定平面平行的截面(薄片)的运动,空间问题简化为平面问题.三、刚体的平面平行运动(i)纯平动薄片上任何一点的位移都是(ii)纯转动薄片绕A’点转动一个角度,薄片上一点速度,加速度A点加速度相对切向加速度相对向心加速度A点常叫基点任一时刻薄片上恒有一点速度为零,叫做转动瞬心(C),转动瞬心相对于Oxy系的坐标可从上式求得2转动瞬心如果

＝0,则无转动瞬心,或者说,转动瞬心在无穷远处.

只要转动瞬心C已知,就知道薄片在此时的运动.因为如果取C为基点，则因它此时的速度为零,薄片将仅绕C转动而任意一点P的速度大小为过A及B作两直线分别垂直于vA及vB,此两直线的交点即为转动瞬心.3平面平行运动动力学

质心作为基点,利用质心运动定理和相对于质心的角动量定理写出平面平行运动的动力学方程Mz为诸外力(包括约束反力)对z轴的力矩的和由于外力一般是已知的,但约束反力是未知的.所以要联立约束方程,始能求解.4滚动摩擦由于滚动物体和地面接触处的形变导致反作用力不通过质心而造成的.例2

如图,将一根质量为m的长杆用细绳从两端水平地挂起来,其中一根绳子突然断了,另一根绳内的张力是多少?T解:设杆子长2l,质心运动定理和过质心轴的角动量定理给出绳断的一刹那的运动方程:因在此时悬绳未断的一端加速度为零,从而有例3

如图,一半径为R的乒乓球与水平面摩擦系数为

.开始时,用手按球的上左侧,使球质心以vC0向右运动,并具有逆时针方向的初始角速度

0,设vC0<2/3R0,试分析乒乓球以后的运动.解:开始时乒乓球与水平面的接触点P具有速度vP0=vC0+R

0>0,乒乓球一边滑动,一边倒着转动.它在水平面方向受滑动摩擦力-mg的作用,按照质心运动定理,有利用(a)和(b)来分析乒乓球的运动vC0

0t=0fPPvCt=t1对质心的摩擦擦力矩-mgR,对质心的转动方程为(1)当t=t1=vC0/(g),vC=0,=0–3vC0/(2R),据条件vC0<2/3R0,这时vC=0,>0,质心停止运动,绕质心的旋转方向没有变.

当t>t1,vC<0,>0,质心开始倒退,但接触点P的速度vP=vC+R>0,滑动摩擦力方向向左,驱使质心加速倒退,力矩继续减缓转动,直到接触点P的速度为零.(2)vP为零的时刻t2满足自时刻t2以后,乒乓球向后作无滑动滚动,如不考虑滚动摩擦,质心速度和角速度恒定例4

如图,一半径为R的圆木以角速度

在水平面上作纯滚动,在前进的路上撞在以高度为h的台阶上.设碰撞是完全非弹性的,即碰撞后圆木不弹回.要圆木能够翻上台阶而又始终不跳离台阶,对台阶又什么要求?解:碰撞前圆木质心速度v0=R

0,圆木对接触点的角动量为IC

0+mv0(R-h),碰撞后为IA

,由角动量守恒得vC

0将圆柱体的转动惯量公式IC=1/2mR2带入,得(1)圆木能够爬上台阶的条件是它碰撞后的动能足够大:hN由(a),(