人教版数学高一-必修2学案 43空间直角坐标系

4.3.1空间直角坐标系

国刚狒厘

1.空间直角坐标系.

(1)空间直角坐标系及相关概念.

①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位

长度的数轴：x,y,z轴,这样就建立了空间直角坐标系Oxvz.

②相关概念：点O叫做坐标原点,x,y,z轴叫做坐标轴.通过每两

个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为XOY平面、vOz平面、zOx平面.

(2)右手直角坐标系.

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向工轴的正方向，食指指向丫轴

的正方向，如果中指指向通的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标

系.

练习1：原点。的坐标是(0,0,0).

2.空间一点的坐标.

空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,

y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z).其中x

叫做点M的横坐标，匕叫做点M的纵坐标，L叫做点M的竖坐标.

A思考应用

在空间直角坐标系中，一些特殊点的坐标特征是怎样的？

(l)xOy平面是坐标形如(x,y,0)的点构成的点集;

(2)xOz平面是坐标形如(x,0,z)的点构成的点集;

(3)yOz平面是坐标形如(0,y,z)的点构成的点集:

(4)x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集:

(5)y轴是坐标形如(0,y,0)的点构成的点集;

(6)z轴是坐标形如(0,0,z)的点构成的点集.

其中x,y,z均为任意实数.

画画画同

1.点P(—l,0,2)位于(。

A.y轴上B.z轴上

C.xOz平面内D.yOz平面内

解析：点P的纵坐标为0,则点P在平面xOz上.

2.y轴上的点的坐标的特点是(。

A.竖坐标是0B.横坐标是0

C.横、竖坐标都是0D.横、纵坐标都是0

解析：y轴上的点的坐标是(0,c,0).

3.在空间直角坐标系中，点(一2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是(驴

A.(—2,1,—4)B.(~2,—1,—4)

C.(2,-1,4)D.(2,1,-4)

解析：点P(a,b,c)关于x轴的对称点为P'(a,­b,—c).

4.点M(—2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(5)

A.(-2,0,2)B.(-2,0,0)

C.(0,1,2)D.(-2,1,0)

解析：点M(—2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(-2,0,0).

国圆区朝

1.在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z),那么下列说法正确的是

(D)

A.点P关于x轴对称的点的坐标是Pi(x,-y,z)

B.点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x,-y,-z)

C.点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x,-y,z)

D.点P关于原点对称的点的坐标是P4(—x,-y,-z)

2.点A(—L2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐

标分别为(或

A.(-1,0,1),(-1,2,0)

B.(-1,0,0),(-1,2,0)

C.(-1,0,0),(-1,0,0)

D.(-1,2,0),(-1,2,0)

解析：点A(—1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是一1,纵坐标、竖

坐标都为0,故为(一1,0,0),点A(—1,2,1)在xOy平面上横、纵坐标

不变且竖坐标是0,故为(一1,2,0).

3.点P(l,1,1)关于xOy平面的对称点为Pi,则点Pi关于z轴的对

称点P2的坐标是(或

A.(1,1,-1)B.(-1,-1,-1)

C.(-1,-1,1)D.(1,-1,1)

解析：Pi(l,1,-1),P2(-l,-1,-1).

4.已知等腰直角4OAB的直角顶点A的坐标为(0,1,0),其中O为

坐标原点，顶点B在坐标平面内，则B的坐标为(。

A.(0,1,1)B.(1,1,0)

C.(0,1,1)或(1,1,0)D.(-1,-1,0)

解析：当B在平面yOz上时，B的坐标为(0,1,1),当B的坐标在平

面xOy上时，B的坐标为(1,1,0).

5.在xOy平面内有两点A(—2,4,0),B(3,2,0),则AB的中点坐

标是.

解析:审,空宇也3.0).

答案：3，0

6.已知A(3,5,一7)和B(-2,4,3),则线段AB在坐标平面yOz

上的射影的长度为.

答案：Viol

7.已知一长方体ABCDAiBiCiDi的对称中心在坐标原点O,交于同

一顶点的三个平面分别平行于三个坐标平面，顶点A的坐标为(一2,—3,

—1),求其他7个顶点的坐标.

解析：TA(—2,-3,-1),根据长方体各顶点的对称关系，不难求

得B(—2,3,-1),C(2,3,-1),D(2,-3,-1).将A、B、C、D分

别关于平面xOy对称，可得到Ai(-2,-3,1),Bi(-2,3,1),Ci(2,3,

1),DI(2,-3,1).

瓯画提困

8.在空间直角坐标系中，作出点A(2,2,-1),B(-3,2,-4),并

判断直线AB与坐标平面xOz的关系.

解析：作出点A可按以下步骤进行：先在x轴上作出横坐标是2的点

Ai,再将点Ai沿与y轴平行的方向向右移动2个单位得到A2,然后将A2

沿与z轴平行的方向向下移动1个单位得到点A.

作出点B可按以下步骤进行：

先在x轴上作出横坐标是一3的点Bi,再将点Bi沿与y轴平行的方向

向右移动2个单位得到B2,然后将B2沿与z轴平行的方向向下移动4个单

位得到点B.

由于A、B两点的纵坐标都是2,则A、B两点到坐标平面xOz的距离

都是2,且都在坐标平面xOz的同侧，所以AB平行于坐标平面xOz.

9.VABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB=2,VO=3,试建立

空间直角坐标系，并确定各顶点坐标.

解析：以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系

TV在Z轴正半轴上，且|VO|=3,它的横坐标与纵坐标都是零,

••・点V的坐标是(0,0,3).而A、B、C、D都在xOy平面上，

•••它们的竖坐标都是零.

又|AB|=2,

AA(1,-1,0),B(l,1,0),C(-l,1,0),D(-l,-1,0),V(0,

0,3).

10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形.且边长为2a,

棱PDJL底面ABCD,|PD|=2b,取各侧棱的中点E,F,G,H,试建立适

当的空间直角坐标系，写出点E,F,G,H的坐标.

解析：由图知：DAJLDC,DC±DP,DP_LDA.故以D为原点，DA,

DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

VE,F,G,H分别是侧棱的中点，则可易知平面EFGH〃平面ABCD.

从而这四点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，即为b.

由H为DP的中点，得H(0,0,b),E在底面ABCD上的投影为AD

的中点，

/.E(a,0,b),同理G(0,a,b).

F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G,故F与E横坐标

相同，F与G纵坐标相同.

.*.F(a,a,b).