小学奥数教程

Bite黜喃拨

一、常用公式

-iC7?X5+1)

1.1+2+3++n=------------;

2

2.—+/="x(〃+l)x(2〃+l)；

6

3.13+23+33++n3=(1+2+3++〃/=〃-*(：+D-:

4.1+3+5+7++(2〃-l)=l+2+3++(〃-l)+〃+(〃-l)++3+2+1=/;

5.等比数列求和公式：S"=qq"+…+qq"1=......—(1);

4-1

6.平方差公式:a2—b2=(a+/>)(a-Z>);

7.完全平方公式：(a+匕1=4。+2"+/，=a2-lab+b1;

用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，

两条公式也可以合写在一起：(a±b^=a2±2ab+b2.为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾

平方，2倍乘积在中央

二'常用技巧

1.abcabc=1001；

2.cibabab=10101；

1・23

3.-=0.142857,-=0.285714,-=0.428571,

777

456

一=0.571428,二=0.714285,—=0.857142；

777

4.Ill1x1111=123n321,其中〃49.

“个1n个1

mm例题精讲

一、前”项和

[例1]I2+32+52++192

【考点】公式法之求和公式【难度】2星【题型】计算

【解析】12+32+52++192

=(12+22+32++192)-(22+42++182)

=-X19X20X39-4X(12+22++92)

6

=2470--x9xl0xl9

6

=2470-285=2185

【答案】2185

【巩固】12+22+42+52+72+82+102+112+132+142+162

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】原式=(「+22++162)-(32+62+92+122+152)

*2,/2、c2c2A2C2\16x17*335x6x1

=(r+2-++16-)-3x(r+2-+3-+4-+5)=-----------9nx------

66

=1496-495=1001

【答案】1001

【例2］计算：36+49+64+81++400

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】原式=6?+7?+8?++202

=12+22+32++202-(12+22+32+42+52)

=-x20x21x41--x5x6xll

66

=2870-55=2815

【答案】2815

［例3］计算：13+33+53+73+93+113+133+153

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】原式=广+23+3'+43++143+153-(23+4,++14。

=亘华匚8、(13+2、+7，)

4

=8128

【答案】8128

【巩固】计算：/+33+53++993=.

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

【解析】与公式/+23++/=0+2+“J="（；1）相比,

13+33+53++99,缺少偶数项，所以可以

先补上偶数项.

原式=(『+23+33++1003)-(23+43++100)

^^X1002X1012-23X(13+23++503)

=-xl002xl012-23xlx502x512

44

=502X(1012-2X512)=12497500

【答案】12497500

、工田1+23+3'+…+20063

［例4］计算：--------------------

1+2+3+…+2006

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

,、2

h(1+2+3+…+2006)，1/、

【解析】原v式------------------匚=1+2+3+…+2006=2x2006x(2006+1)=2013021

1+2+3+…+200621)

【答案】2013021

【例5]计算：2004x2003-2003x2002+2002x2001-2001x2000++2x1=。

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

【关键词】西城实验

【解析】原式=2003x2+2001x2++3x2+lx2

=2x(l+3+5++2001+2003)

=2x(1+2003)x1002-2

=2008008

其中也可以直接根据公式1+3+5+7++(2〃-1)="得出

1+3+5++2001+2003=10022

【答案】2008008

【例6]计算：1X22+2X32+3X42++18X192+19X202

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】分拆(2—1)x22=23-2，(3-1)X32=33-32再用公式

原式=(23-22)+(33-3?)+......+(203-202)=(1+23+33+......+203)-(1+22+32+......+202)

1,,1

=-X202X212——x20x21x41=41230

46

【答案】41230

【例7】对自然数。和〃，规定aV"=/+a"T,例如3V2=3?+3=12,那么：

(1)1V2+2V2+3V2++99V2=；

(2)2V1+2V2+2V3++2V99=.

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴原式=俨+1+22+2+32+3++99"+99

=(12+22+32++99?)+(1+2+3++99)

=ix99xl00xl99+4950

6

=328350+4950=333300

(2)原式=21+2°+2?+21+23+2、+2"+298

=(2°+2'+22++298)+(2'+22+23++2")

=(20+2'+22+298)X3

=(2"-l)x3

=3x2"-3

【答案】⑴333300(2)3x2"-3

3233323

【巩固】看规律I=I,1+23=32,1+2+3=6...,试求6'+7-++14

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【关键词】人大附中

【解析】原式=(『+23++143)-(13+23++53)=(1+2+3++14)2—0+2+3+4+5)2

=1052-152=(105-15)(105+15)=90x120=10800

【答案】10800

[例8]计算：1+，+4+4+4+[+[

33233343536

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】法一：利用等比数列求和公式。

lx

7

原式=二中31型

2729

1--

3

法二：错位相减法.

、儿…1।1111

亍又S=1H----1—rH—rH——H--H--

33233343536

则3s=3+1+」+[+!+二+1，35-5=3-4,整理可得S=1当.

33233343536729

法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3,与公比4差1,所

以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项

的分子变得也都与公比差1.由于公比为3,要把分子变为2,可以先将每一项都乘以2进行算，最

后再将所得的结果除以2即得到原式的值.

由题设，2s=2+：2+(2+(2+(2+(2+(2,则运用“借来还去”的方法可得到2S+#13,

整理得到5=1记.

729

【答案】1吧364

729

【例9】TfW27+26X3+25X32+24X33+23X34+22X35+2X36+37(已知3，=2187，38=6561,

39=19683,3'°=59049,2?=128,28=256,29=512,210=1024)

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算

【解析】注意到式子的特点是从第一个加数开始，每一个加数比前一个加数2的指数减少1,3的指数增加1.

所以每一个加数是前一个加数的士倍，如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为士的

22

等比数列，于是按照错位减法进行运算即可。

记S=27+26x3+2X2+24x33+23x34+22x35+2x36+3，，

338

-S=26X3+25X32+24X33+23X34+22X35+2X36+37+—

22

aq手

-S-S^-=---27,那么5=38-28=6561-256=6305,即原式的值为6305.

222

【答案】6305

[例10]1-+3-+5-+7—+9—+11—+13—+15—+17—+19^—

2481632641282565121024

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营

【解析】原式=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+1+4+!+^-+l+'+-!-+'+-!-+1

2481632641282565121024

=1x(l+19)xl0+

1023

=100+=100

1024

【答案】100，^

1024

r』的333333

【解析】计算：一+—+—+——+-----+-----

4166425610244096

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

333C1

33

原式=±+二++二+_

一

【解析】一-

4423+-+46

4343314

33-

不+

不-

(75)-

1-4445

6

409

4609

4095

【答案】

4096

3「33〃3

【解析】一+2—+4—++16——=

248512

【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空

3333

【解析】原式=(2+4+6++16)+—+—+-++---

248512

111

=2x(l+2+3++8)+3x一+―++----

24512

74”

=72+3x|l--—

I512512

【答案】74—

512

■加।工的i234567

【例111计算：1+3+示+示+才至+三

【考点】公式法之求和公式【难度】4星【题型】计算

【解析】设算式的值为S,那么35=3+2+；+最+，+卷+《，

3—(2)+—.4

一寸

11111Z

++++

即2s=4+7W7F7-

2

2223621

-8

1-4+-+-+7+十7-=-174+

故4s=8-3

36323435

。9171636

5=---------=-----

44x36729

1636

【答案】

二、平方差与完全平方公式

【例12](1)(31415926)2-31415925x31415927=；

(2)12342+87662+2468x8766=.

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空

【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营

【解析】⑴观察可知31415925和31415927都与31415926相差1,设a=31415926,

原式=6_(a—l)(a+l)=a2—(a?—1)=]

(2)原式=12342+8766?+2x1234x8766

=(1234+8766『=1000()2

=100000000

【答案】(1)1(2)100000000

【巩固】2009x2009-2008x2008=

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，3年级，初赛

【解析】方法一：原式=2009x(2008+1)-(2009-1)x2008

=2009x2008+2009-2009x2008+2008

=2009+2008=4017

方法二：原式=2009?-2008?

=(2009+2008)x(2009-2008)

=4017x1

=4017

【答案】4017

【巩固】37x37+2x63x37+63x63=

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，3年级，初赛

【解析】原式=(37+63)2=1(X)2=10000

【答案】10000

【巩固】计算：314x31.4+628x68.6+68.6x686=。

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，6年级，决赛

【解析】题目分析：答案为100000。记原式为X,则

10X=314x314+628x686+686x686

=3142+2X314x686+6862

=(314+686)2=1000000,所以，X=100000»

【答案】100000

【例13】有一串数1,4,9,16,25,36……它们是按一定规律排列的，那么其中第1990个数与第1991

个数相差多少？

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空

【解析】这串数中第1990个数是199()2,而第1991个数是199/,它们相差

19912-19902=(1991+1990)x(1991-1990)=1991+1990=3981

【答案】3981

【巩固】a、b代表任意数字，若(a+b)x(a-b)=axa-bxb,这个公式在数学上称为平方差公式.根据公

式，你来巧算下列各题吧.

⑴98x102⑵67x73(3)64x28(4)2x29x3x31

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】计算

【解析】这个公式可以给我们的计算带来很多便利，在以后的奥数学习中会经常遇到，同学们最好记住哦.我们

就依据公式.(a+b)x(a-b)=axa-bxb来进行下面的计算：

(1)98x102=(100-2)x(100+2)=100x10()-2x2=10000-4=9996

(2)67x73=(70-3)x(70+3)=70x70-3x3=4900-9=4891

(3)64x28=2x32x28=2x(30+2)x(30-2)=2x(30x30-2x2)=1792

(4)2x29x3x31=2x3x(30-1)x(30+1)=6x(900-1)=5400-6=5394

【答案】⑴9996⑵4891(3)1792(4)5394

【例14］计算：11x19+12x18+13x17+14x16=.

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，中年级组，决赛

【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式.

原式=052—42)+(152—32)+(152—22)+(152_俨)

=152X4-(12+22+32+42)

=900-30=870

其中F+2?+3?+4?可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式

I2+22++〃2=："("+1)(2〃+1)进行计算.

【答案】870

【例151[2007-(8.5x8.5-1.5xI.5)+10卜160-0.3=.

【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空

【关键词】迎春杯，初赛

【解析】原式=[2007-(8.5+1.5)(8.5-1.5)+10]+160-0.3=[2007-10x(8.5-1.5)70卜160-0.3

=(2007-7)-160-0.3=12.5-0.3=12.2

【答案】12.2

三、公式综合运用

【例16］计算：1x4+3x7+5x10++99x151=.

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】仁华学校

【解析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1,3,5......99,

乘数依次为4,7,10,....,151,根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为2”-1,乘数可以

表示为3〃+1,所以通项公式为(2〃—OxGn+DuG”？.所以，

原式=(6x/一i—I)+(6X22—2—1)++(6X502-50-1)

2

=6x02+22++50)-(1+2++50)-50

=50x51x101——x50x51-50

2

=256225

另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变

为相等再进行计算.

原式=\X(3X8+9X14+15X20++297X302)

=^x[3x(3+5)+9x(9+5)+15x(15+5)++297x(297+5)]

2X(32+3X5+92+9X5+152+15X5++2972+297x5)

6

\x[(3?+92+152++297)+5x(3+9+15++297)]

1

9一

=XX十

6-+992)+5x3x0+3+5+

一

3(1l2+32+52++992)+|X(1+3+5++99)

=­x

2

而『+32+52++99。和1+3+5++99都是我们非常熟悉的.

12+32+52++992=(12+22+32++1002)-(22+42+62++1002)

=-x100x101x201-4x1x50x51x101

66

1

=—x100x101x(201-102)

6

=-x99xl00xl01

6

=166650,

1+3+5++99=5()2=2500,

35

所以原式=己x166650+-x2500=256225

22

小结：从上面的计算过程中可以看出，I2+32+52++9算=x99x1(,而

6

lx2+2x3++99xLoex9®,

所以有02+32+5?++992)x2=1x2+2x3++99x100

【答案】256225

【例17】计算：24x----+-----+H-------+12+22++/+2?+~Tltf

2x34x520x21

【考点】公式法之综合运用【难度】4星【题型】填空

6241

【解析】12x

12+22++〃2++2n(2/i+l)(2n+2)2n(2??4-1)(2〃+1)(2〃+2)'

所以，，+1

l2+22++12+22+~+102

r

111

=12x+++

2x33x44x55x620x2121x22

所以原式

=24x----+-----+H----1--2-x-2^3-3^4+4^5-576++20x21-21x22

2x34x520x21

=12x----------1-----------1------------F----------FH----------------1--------------

2x33x44x55x620x2121x22

111111

=12x------------------------1-+-------------

23342122

=12x1_±=6-AA

22211=511

【答案】5n

【例18］计算：12-22+32-42++20052-20062+20072

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算

【关键词】北京二中，入学测试

【解析】原式=2007z-20062++解一42+32一2z+F

=(2(X)7-2006)x(2(X)7+2006)+(2005-2004)x(2005+2004)++(3-2)x(3+2)+1

=2007+2006+2005+2004++3+2+1

=gx(2007+l)x2007=2015028

【答案】2015028

【巩固】计算F-2?+32-42+52-62+...+172-182+192

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算

【解析】这个题目重新整理得：12+(32一22)+(52-42)+(72-62)...+(192-182)

=1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+...+(19+18)(19-18)

=l+3+2+5+4+...+19+18

=1+2+3+4+...+17+18+19

=20x9+10=190

【答案】190

【巩固】计算：20x20-19x19+18x18-17x17++2x2-lxl.

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算

【解析】做这道题的时候，可能有些以前记住了20以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大家看,

利用平方差公式：20x20-1块19：(2-fi19)^2049)+,18x18-17x17=18+17,,

2x2—1x1=24-1.

于是，原式=20+19+18+17++2+1

=(20+1)x20+2=210

【答案】210

【例19]Ix3+2x4+3x5+9x11

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算

【解析】原式=(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)++(10-1)(10+1)

=(22-1)+(32-1)++(102-1)

=(22+32++102)-9

=(12+22+32++102)-10

=10x11x21_w=375

6

【答案】375

【例20］计算：11x29+12x28++19x21=.

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空

【解析】原式+(202-I2)

=202X9-(12+22++92)

=3600--x9xl0xl9=3315

6

【答案】3315

【巩固】计算：1x99+2x98+3x97++49x51=.

【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空

【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式.

原式=(50-49)x(50+49)+(50-48)x(50+48)++(507)x(50+1)

(502-492)+(502-482)++(5O2-12)

=502X49-(12+22++492)

=502X49-(12+22++492)

=502X49--X49X50X99