微专题06 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题（六大题型）（原卷版）

微专题06妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题【题型归纳目录】题型一：问题（系数为1）题型二：问题（系数不为1）题型三：问题题型四：问题题型五：问题题型六：问题【方法技巧与总结】（1）平面向量共线定理已知，若，则三点共线；反之亦然。（2）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。①当等和线恰为直线时，；②当等和线在点和直线之间时，；③当直线在点和等和线之间时，；④当等和线过点时，；⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；【典型例题】题型一：问题（系数为1）【例1】（2024·山东滨州·统考一模）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为A． B． C．1 D．4【变式1-2】（2024·重庆铜梁·高一统考期末）在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．题型二：问题（系数不为1）【例2】（2024·山东潍坊·高一统考期末）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【变式2-1】（2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2024·辽宁沈阳·高三统考期末）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三：问题【例3】（2024·上海徐汇·高二位育中学校考阶段练习）如图，OM//AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且，当时，y的取值范围是【变式3-1】（2024·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是．（填写所有正确说法的序号）①存在点P，使得；②存在点P，使得；③存在点P，使得；④存在点P，使得．【变式3-2】（2024·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为.题型四：问题【例4】（2024·江苏·高三专题练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为【变式4-1】（2024·江苏盐城·高一统考期末）在△ABC中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，(，)，若的最小值为3，则正数的值为.【变式4-2】（2024·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为.题型五：问题【例5】（2024·山西·高一统考期末）已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则.【变式5-1】（2024·山东潍坊·高三开学考试）在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为．【变式5-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是A． B． C． D．题型六：问题【例6】（2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习）在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的取值范围为．【变式6-1】（2024·天津·高三校联考阶段练习）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则，的最小值为.【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值为.【变式6-3】（2024·山东德州·高三统考期末）在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为.【过关测试】一、单选题1．（2024·高三课时练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽六安·高一六安一中校考期末）如图所示，在中，点D是边上任意一点，M是线段的中点，若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．3．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知点为所在平面内一点，满足，为中点，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024·广东惠州·高一校联考阶段练习）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(

)A．2 B．3 C． D．5．（2024·江西南昌·高三阶段练习）在中，点是的三等分点（靠近点B），过点的直线分别交直线，于不同两点，若，均为正数，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．二、多选题6．（2024·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期末）在中，点是线段上任意一点，点是线段的中点，若存在使，则的取值可能是（

）A． B．C． D．7．（2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（

）A． B． C． D．8．（2024·重庆·高一校联考阶段练习）在中，点满足，当点在线段上（不含点）移动时，记，则（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为9．（2024·湖北武汉·高三校联考期末）在中，点D满足，当点E在线段AD上移动时，记，则（

）A． B．C．的最小值为2 D．的最小值为三、填空题10．（2024·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为

11．（2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是.12．（2024·四川绵阳·高一统考期末）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是．13．（2024·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是.14．（2024·全国·高三专题练习）扇形中，，为上的一个动点，且，其中.（1）的取值范围为；（2）的取值范围为.15．（2024·吉林·高一阶段练习）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为16．（2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期末）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是．四、解答题17．（2024·高一课时练习）在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，（如图1），小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．(1)当或时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；(2)如图2，射线，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围．18．（2024·高一课时练习）如图，，点P在由射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且．（1）求x的取值范围；（2）当时，求y的取值范围．19．（2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，x+y=1（如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.

（1）当x+y>1或x+y<1时，O、P两点的位置与AB所在直线