2025届广东省潮州市高一下数学期末联考试题含解析

2025届广东省潮州市高一下数学期末联考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个3．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为()A． B． C． D．4．若||＝2cos15°，||＝4sin15°，的夹角为30°，则等于()A． B． C．2 D．5．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若直线恰好与以为直径的圆相切，则圆面积的最小值为（）A． B． C． D．6．已知函数在处取得极小值，则的最小值为（）A．4 B．5 C．9 D．107．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（）A． B． C． D．18．函数的图象的一条对称轴方程是（）A． B． C． D．9．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．10．在数列中，已知，，则一定（）A．是等差数列 B．是等比数列 C．不是等差数列 D．不是等比数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，、、所对的边依次为、、，且，若用含、、，且不含、、的式子表示，则_______.12．已知数列，若对任意正整数都有，则正整数______；13．在等差数列中，若，且它的前n项和有最大值，则当取得最小正值时，n的值为_______.14．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为．15．已知1，，，，4成等比数列，则______.16．设函数，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，设数列的前n项和为，证明．18．设是等差数列，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值.19．设二次函数f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．20．已知，函数，.（1）若在上单调递增，求正数的最大值；（2）若函数在内恰有一个零点，求的取值范围.21．四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，为正三角形．（1）证明．（2）若，，求二面角的大小的余弦值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由，得，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算及对数不等式.2、B【解析】若平面α外的两点所确定的直线与平面α平行，则过该直线与平面α平行的平面有且只有一个；若平面α外的两点所确定的直线与平面α相交，则过该直线的平面与平面α平行的平面不存在;故选B.3、D【解析】

取的中点，连接，则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取的中点，连接，则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角，设正三棱柱的各棱长为,则，设直线与所成角为，在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值为，故选D．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4、B【解析】分析：先根据向量数量积定义化简，再根据二倍角公式求值.详解：因为，所以选B.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.5、A【解析】

根据题意画出图像，数形结合，根据圆面积最小的条件转化为直径等于原点到直线的距离，再求解圆面积即可.【详解】根据题意画出图像如图所示，圆心为线段中点，为直角三角形，所以，作直线且交于点，直线与圆相切，所以，要使圆面积的最小，即使半径最小，由图知，当点、、共线时，圆的半径最小，此时原点到直线的距离为，由点到直线的距离公式：，解得，所以圆面积的最小值.故选：A【点睛】本题主要考查点到直线距离公式和圆切线的应用，考查学生分析转化能力和数形结合的思想，属于中档题.6、C【解析】由，得，则，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选C.7、B【解析】

对任意的实数x都成立，说明三角函数f（x）在时取最大值，利用这个信息求ω的值．【详解】由题意，当时，取到最大值，所以，解得，因为，所以当时，取到最小值.故选：B.【点睛】本题考查正弦函数的图象及性质，三角函数的单调区间、对称轴、对称中心、最值等为常考题，本题属于基础题.8、A【解析】

由,得，,故选A.9、A【解析】

分别考虑即时；即时，原不等式的解集，最后求出并集。【详解】当即时，，则等价于，即，解得：，当即时，，则等价于，即，所以，综述所述，原不等式的解集为故答案选A【点睛】本题考查分段函数的应用，一元二次不等式的解集，属于基础题。10、C【解析】

依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。【详解】因为，，，所以一定不是等差数列，故选C。【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

利用诱导公式，二倍角公式，余弦定理化简即可得解.【详解】.故答案为.【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的三角函数公式，余弦定理，属于中档题.12、9【解析】

分析数列的单调性，以及数列各项的取值正负，得到数列中的最大项，由此即可求解出的值.【详解】因为，所以时，，时，，又因为在上递增，在也是递增的，所以，又因为对任意正整数都有，所以.故答案为：.【点睛】本题考查数列的单调性以及数列中项的正负判断，难度一般.处理数列单调性或者最值的问题时，可以采取函数的思想来解决问题，但是要注意到数列对应的函数的定义域为.13、.【解析】试题分析：因为等差数列前项和有最大值，所以公差为负，所以由得，所以，＝，所以当时，取到最小正值．考点：1、等差数列性质；2、等差数列的前项和公式．【方法点睛】求等差数列前项和的最值常用的方法有：(1)先求，再利用或求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前项和的最值；（3）利用等差数列的前项和(为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．14、【解析】

由题意可得：该三棱锥的三条侧棱两两垂直，长都为，所以三棱锥的体积.考点：三棱锥的体积公式.15、2【解析】

因为1，，，，4成等比数列，根据等比数列的性质，可得，再利用，确定取值.【详解】因为1，，，，4成等比数列，所以，所以或，又因为，所以.故答案为:2【点睛】本题主要考查等比数列的性质，还考查运算求解的能力，属于基础题.16、【解析】

利用反三角函数的定义，解方程即可．【详解】因为函数，由反三角函数的定义，解方程，得，所以.故答案为：【点睛】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）;（2）见解析.【解析】【试题分析】（1）借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系，再运用等比数列的定义求得通项公式；（2）依据（1）的结论运用错位相减法求解，再借助简单缩放法推证：（1）当时，得，当时，得，所以，（2）由（1）得：，又①得②两式相减得：，故，所以.点睛：解答本题的思路是充分借助题设条件，先探求数列的的通项公式，再运用错位相减法求解前项和．解答第一问时，先借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系，再运用等比数列的定义求得通项公式；解答第二问时，先依据（1）中的结论求得，运用错位相减求和法求得，使得问题获解．18、（1）；（2）【解析】

（1）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出，由此能求出的通项公式．（2）由，，求出的表达式，然后转化求解的最小值．【详解】解：（1）是等差数列，，且，，成等比数列．，，解得，．（2）由，，得：，或时，取最小值．【点睛】本题考查数列的通项公式、前项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．19、（1）5≤f(－2)≤10；（2）[－2,0).【解析】

(1)用和表示，再根据不等式的性质求得.(2)对进行参变分离，根据和求得.【详解】解(1)方法一⇒∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.方法二设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比较两边系数：⇒∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，下同方法一．(2)当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，即当x∈[0,1]时，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立；当x＝0时，显然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；当x∈(0,1]时，若ax2＋x＋1≥0恒成立，则a≥－－＝－(＋)2＋，而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值为－2，∴a≥－2；当x∈(0,1]时，ax2＋x－1≤0恒成立，则a≤－＝(－)2－，而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值为0，∴a≤0，∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范围为[－2,0)．【点睛】本题考查不等式的性质和参变分离的恒成立问题，属于难度题.20、（1）（2）【解析】

（1）求出的单调递增区间，令，得，可知区间，即可求出正数的最大值；（2）令，当时，，可将问题转化为在的零点问题，分类讨论即可求出答案.【详解】解：（1）由，得，.因为在上单调递增，令，得时单调递增，所以解得，可得正数的最大值为.（2），设，当时，.它的图形如图所示.又，则，，令，则函数在内恰有一个零点，可知在内最多一个零点.①当0为的零点时，显然不成立；②当为的零点时，由，得，把代入中，得，解得，，不符合题意.③当零点在区间时，若，得，此时零点为1，即，由的图象可知不符合题意；若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，所以解得.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.21、（1）证明见解析．（2）二面角的余弦值为．【解析】

（1）作于点，连接，根据面面垂直性质可得底面ABCD，由三角形全等性质可得，进而根据线面垂直判定定理证明平面，即可证明.（2）根据所给角度和线段关系，可证明以均为等边三角形，从而取中点，连接，即可由线段长结合余弦定理求得二面角的大小.