人教高中数学选修全部教案

高中数学教案选修修全套

【选修1-2教案I全套】

目录

目录..........................................................I

第一章统计案例...................................................1

1.1回来分析的基本思想及其初步应用（一）........................1

1.1回来分析的基本思想及其初步应用（二）........................2

1.1回来分析的基本思想及其初步应用（三）........................3

1.1回来分析的基本思想及其初步应用（四）........................4

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）......................6

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（二）......................7

第二章推理及证明.................................................8

2.1.1合情推理（一）...........................................9

2.1.1合情推理（二）..........................................10

2.1.2演绎推理...............................................11

2.2.1综合法和分析法（一）..................................12

2.2.1综合法和分析法（二）..................................14

2.2.2反证法.................................................15

第三章数系的扩充及复数的引入.....................................17

3.1.1数系的扩充及复数的概念...................................17

3.1.2复数的几何意义..........................................18

3.2.1复数的代数形式的加减运算................................19

3.2.2复数的代数形式的乘除运算...............................20

第四章框图......................................................22

4.1流程图....................................................22

4.2结构图.....................................................25

第一章统计案例

第一课时

1.1回来分析的基本思想及其初步应用（一）

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回来分析的基本思想、方法及初

步应用.

教学重点：了解线性回来模型及函数模型的差异，了解推断刻画模型拟合效果

的方法一相关指数和残差分析.

教学难点：说明残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.

教学过程：

一、复习打算：

1.提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？出名气的老师就确定能教出

厉害的学生吗？这两者之间是否有关？

2.复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.回来

分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收

集数据.作散点图T求回来直线方程-利用方程进行预报.

二、讲授新课：

1.教学例题：

①例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编12345678

号

身高165165157170175165155170

/cm

体

HT二

二4857505464614359

/kg

求依据一名女大学生的身高预报她的体重的回来方程，并预报一名身高为172cm

的女大学生的体重.（分析思路一老师演示一学生整理）

当x=172时，

㈡7=0,849x172-85.712

=60.316(ig)>

第一步：作散京高〉第二步：求回来方奇二＞第三步：代值计算

②提问：身高为172cm的女大学生的体重确定是60.316kg吗？

不确定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.

③说明线性回来模型及一次函数的不同

事实上，视察上述散点图，我们可以发觉女大学生的体重y和身高x之间的关系

并不能用一次函数尸加+。来严格刻画（因为全部的样本点不共线，所以线性模

型只能近似地刻画身高和体重的关系）.在数据表中身高为165cm的3名女大

学生的体重分别为48kg、57kg和61kg,假如能用一次函数来描述体重及身高的

关系，则身高为165cm的3名女在学生的体重应相同.这就说明体重不仅受身

高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机变量）

引入到线性函数模型中，得到线性回来模型y=fer+a+e,其中残差变量e中包含

体重不能由身高的线性函数说明的全部部分.当残差变量恒等于0时，线性回

来模型就变成一次函数模型.因此，一次函数模型是线性回来模型的特别形式,

线性回来模型是一次函数模型的一般形式.

2.相关系数：相关系数的确定值越接近于1,两个变量的线性相关关系越强，

它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回来模型拟合这组数据就越好，此

时建立的线性回来模型是有意义.

3.小结：求线性回来方程的步骤、线性回来模型及一次函数的不同.

第二课时

1.1回来分析的基本思想及其初步应用（二）

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回来分析的基本思想、方法及初

步应用.

教学重点：了解评价回来效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回

来平方和.

教学难点：了解评价回来效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回

来平方和.

教学过程：

一、复习打算：

1.由例1知，预报变量（体重）的值受说明变量（身高）或随机误差的影响.

2.为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上及说明变量（身高）有关？

在多大程度上及随机误差有关？我们引入了评价回来效果的三个统计量：总偏

差平方和、残差平方和、回来平方和.

二、讲授新课：

1.教学总偏差平方和、残差平方和、回来平方和：

（1）总偏差平方和：全部单个样本值及样本均值差的平方和，即.

残差平方和；回来值及样本值差的平方和，即.

回来平方和：相应回来值及样本均值差的平方和，即.

（2）学习要领：①留意必、/、亍的区分；②预报变量的变化程度可以分解为

由说明变量引起的变化程度及残差变量的变化程度之和，即

之&_才=£（必_%）2+£（»_5）2；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小,

J-I|~|

则回来平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们

还可以引入相关指数来刻画回来的效果，它表示说明变量对预报变量变化的贡

献率.R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.

2.教学例题：

例2关于x及y有如下数据：

X24568

y3040605070

为了对小丫两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：y=6.5x+17.5,

y=7x+17,试比较哪一个模型拟合的效果更好.

分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回来平方和，

也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.

5

（答案：R,』一骅对=|_坨=0.845,84.5%>82%,所以甲选用的模型拟合效

斗斤1000

果较好.）

3.小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回来平方和，初步了解如何评价两

个不同模型拟合效果的好坏.

第三课时

1.1回来分析的基本思想及其初步应用（三）

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回来分析的基本思想、方法及初

步应用.

教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回来

模型，了解在解决实际问题的过程中找寻更好的模型的方法.

教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关

指数对不同的模型进行比较.

教学过程：

一、复习打算：

1.给出例3：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于

下表中，试建立y及x之间的回来方程.

温度x/C21232527293235

产卵数y/711212466115325

个

（学生描述步骤，老师演示）

并

没

2.探讨：视察右图中的散点图，发觉样本点

性

相

有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线

两

个

关关系，所以不能直接用线性回来方程来建立

变量之间的关系.

二、讲授新课：

1.探究非线性回来方程的确定：

①假如散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回来模型来建

模；假如散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回来模型

来建模.

②依据已有的函数知识，可以发觉样本点分布在某一条指数函数曲线尸Ge。”的

四周（其中qg是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.

③在上式两边取对数，得1"=c'2X+lnq,再令z=lny,则z=cax+lnG，而z及x间的

关系如F:

X21232527293235

Z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784

视察Z及X的散点图，可以发觉变换后样本点分布在一条直线的旁边，因此可以

用线性回来方程来拟合.

④利用计算器算得a=-3.843,6=0.272,z及x间的线性回来方程为z=0.272x-3.843,

因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回来方程为y=\

⑤利用回来方程探究非线性回来问题，可按“作散点图-建模-确定方程”这

三个步骤进行.

其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回来问题转化成线性回来问题.

2.小结：用回来方程探究非线性回来问题的方法、步骤.

三、巩固练习：

为了探讨某种细菌随时间x变化，繁殖的个数,收集数据如一、•

天数力123456

天

繁殖个数612254995190

力个

（1）用天数作说明变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；

（2）试求出预报变量对说明变量的回来方程.（答案：所求非线性回来方程为

0.69^+1.112)

第四课时

1.1回来分析的基本思想及其初步应用（四）

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回来分析的基本思想、方法及初

步应用.

教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回来

模型，了解在解决实际问题的过程中找寻更好的模型的方法，了解可用残差分

析的方法，比较两种模型的拟合效果.

教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关

指数对不同的模型进行比较.

教学过程：

一、复习打算：

1.提问：在例3中，视察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产

卵数y和温度x间的关系，还可用其它函数模型来拟合吗？

2.探讨：能用二次函数模型y=qd+Q来拟合上述两个变量间的关系吗？（令

t44152962572984110241225

y711212466115325

y—r+g

,此时y及/间的关系如下：

视察y及f的散点图，可以发觉样本点并不分布在

一条直线的四周，因此不宜用线性回来方程来拟合

它，即不宜用二次曲线y=c/2+q来拟合＞及》之间

的关系.）小结：也就是说，我们可以通过视察变换后的散点图来推断能否用

此种模型来拟合.事实上，除了视察散点图以外，我们也可先求出函数模型，

然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏.

二、讲授新课：

1.教学残差分析：

①残差：样本值及回来值的差叫残差，即9=必-%.

②残差分析：通过残差来推断模型拟合的效果，推断原始数据中是否存在可疑

数据，这方面的分析工作称为残差分析.

③残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横

坐标，作出的图形称为残差图.视察残差图，假如残差点比较匀称地落在水平

的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型

拟合精度越高，回来方程的预报精度越高.

2.例3中的残差分析:

计算两种模型下的残差

21a23c25一27/29/32P352

ye2”24「66户115〃325Q

71)0.518^-0.167。1.760-1438.889^-14.153。32.92和

7，）47.693219.3970-5.835P-41.003^-40.107P•58.268口77.965/

一般状况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差

的确定值比另一个模型的小，而另一些样本点的状况则相反），故通过比较两个

模型的残差的平方和的大小来推断模型的拟合效果.残差平方和越小的模型，

拟合的效果越好.

由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432,故选用指数

函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型.（当然，还可用相关指数刻

画回来效果）

3.小结：残差分析的步骤、作用

三、巩固练习：练习：教材P13第1题

第一课时

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）

教学要求：通过探究“吸烟是否及患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并

借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸

烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤及必要性.

教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K2的含义.

教学过程：

―复习打算*

回来分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步

骤.

二、讲授新课：

1.教学及列联表相关的概念：

①分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.

分类变量的取值确定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性

别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等.分

类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含

义.如用“0”表示"男”，用“1”表示“女”.

②列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）.不患肺患肺总计

一般我们只探讨每个分类变量只取两个值，这样癌癌

的列联表称为2x2.如吸烟及患肺癌的列联表：不吸7775427817

2.教学三维柱形图和二维条形图的概念：烟

由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患

吸2099492148

肺癌的可能性存在差异.（老师在课堂上用EXCEL烟

软件演示三维柱形图和二维条形图，引导学生视

总9874919965

察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结

计

论）

3.独立性检验的基本思想：

①独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？）：列

联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故须要用列联表

检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体.

②独立性检验的步骤（略）及原理（及反证法类似）：

反证法假设检验

要证明结论A备择假设出

在A不成立的前提下进在此不成立的条件下，即H。成立的条件下进行

行推理推理

推出冲突，意味着结论推出有利于此成立的小概率事务（概率不超过

A成立夕的事务）发生，意味着此成立的可能性（可

能性为（1—a））很大

没有找到冲突，不能对推出有利于乩成立的小概率事务不发生，接受

A下任何结论，即反证原假设

法不胜利

③上例的解决步骤

第一步：提出假设检验问题Ho：吸烟及患肺癌没有关系-H,：吸烟及患肺

癌有关系

第二步：选择检验的指标K2=__（它_越__小_，__原__假_设_“H。：

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

吸烟及患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“山：吸烟及

患肺癌有关系”成立的可能性越大.

第三步：查表得出结论

Pgk0.500.400.250.150.100.00.020.010.000.00

)55051

k0.450.701.322.072.703.85.026.637.8710.8

5832644593

第二课时

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（二）

教学要求：通过探究“吸烟是否及患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并

借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸

烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤及必要性.

教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K2的含义.

教学过程：

教学过程：

一、复习打算：

独立性检验的基本步骤、思想

二、讲授新课：

1.教学例1：

例1在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而

另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶.分别利用图

形和独立性检验方法推断秃顶及患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范

围内有效？

①第一步：老师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶及

患心脏病有关”的结论；

第二步：老师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生说明所得到的统计

结果.

京三步：由学生计算出K?的值；

第四步：说明结果的含义.

②通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自

于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而

把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进

行这种推广.

2.教学例2：

例2为考察高中生的性别及是否喜爱数学课程之间的关系，在某城市的某校高

中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

喜爱数学课程不喜爱数学课总计

程

男3785122

女35143178

总计72228300

由表中数据计算得到六的视察值人4.513.在多大程度上可以认为高中生的性别

及是否数学课程之间有关系？为什么？

（学生自练，老师总结）

强调：①使得&片之3.841）。0.05成立的前提是假设“性别及是否喜爱数学课程之

间没有关系”.假如这个前提不成立，上面的概率估计式就不确定正确；

②结论有95%的把握认为“性别及喜爱数学课程之间有关系”的含义；

③在娴熟驾驭了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算K?的值解决

实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视.

3.小结：独立性检验的方法、原理、步骤不健健总计

三、巩固练习：康康

某市为调查全市高中生学习状况是否对生不优41626667

秀

理健康有影响，随机进行调查并得到如下的

优37296333

列联表：请问有多大把握认为“高中生学习秀

总

状况及生理健康有关”？789221000

计

第二章推理及证明

第一课时

合情推理（一）

教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简

单的推理，体会并相识归纳推理在数学发觉中的作用.

教学重点：能利用归纳进行简单的推理.

教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.

教学过程：

一、新课引入：

1.哥德巴赫猜想：视察4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,

16=13+3,18=11+7,20=13+7,……，50=13+37,……，100=3+97,揣测：任一

偶数（除去2,它本身是一素数）可以表示成两个素数之和.1742年写信提出，

欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上著名遐迩的猜想.1973年，我国

数学家陈景润，证明白充分大的偶数可表示为一个素数及至多两个素数乘积之

和，数学上把它称为“1+2”.

2.费马猜想：法国业余数学家之王一费马（1601-1665）在1640年通过对

22：

Fo=2°+1=3,6=2,+1=5,F2=2+1=17,羽=2d+1=257,工=2"+1=65537的视察，

发觉其结果都是素数，于是提出猜想：对全部的自然数〃，任何形如工=2”+1的

数都是素数.后来瑞士数学家欧拉，发觉乙=22,+1=4294967297=641x6700417不

是素数，推翻费马猜想.

3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研

单位搞地图着色工作时一，发觉了一种好玩的现象：”每幅地图都可以用四种颜色

着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色."，四色猜想成了世界数学界关

注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔及哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的

电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑推断，完成证明.

二、讲授新课：

1.教学概念：

①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具

有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简

言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

②归纳练习：（/）由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？

（七）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结

论？

（力了）视察等式：1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7+9=16=4?,能得出怎样的结

论？

③探讨：（，）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归

纳推理？

（万）归纳推理有何作用？（发觉新事实，获得新结论，是做出科学发觉的重

要手段）

（力⑦归纳推理的结果是否正确？（不确定）

2.教学例题：

①出示例题：已知数列{叫的第1项4=2,且，试归纳出通项公式.

（分析思路：试值比1,2,3,4-猜想凡一如何证明：将递推公式变形，

再构造新数列）

②思索：证得某命题在。时成立；又假设在〃=4时命题成立，再证明〃

=4+1时命题也成立.由这两步，可以归纳出什么结论？（目的：渗透数学归

纳法原理，即基础、递推关系）

③练习：已知〃1）=0,也"）=好（“-1）=1,n>2,a>0,b>0f推想f（〃）的表达式.

3.小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥

德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳.

三、巩固练习：

1.练习：教材P381、2题.2.作业：教材P44习题2组1、2、3题.

第二课时

合情推理（二）

教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比

等进行简单的推理，体会并相识合情推理在数学发觉中的作用.

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.

教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.

教学过程：

一、复习打算：

1.练习：已知4>0（i=l,2,,〃），考察卜列式子：；；（位）（4+o,+43）（'+,+’）29.我

qa2a}

们可以归纳出，对4，见，9也成立的类似不等式为—.

2.猜想数列-L,L,的通项公式是

1x33x55x77x9----------

3.导入：鲁班由带齿的草独创锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，独创潜水艇；

地球上有生命，火星及地球有很多相像点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行

星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家揣测：火星上有

生命存在.以上都是类比思维，即类比推理.

二、讲授新课：

1.教学概念：

①概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出

另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特别到特别的推理.

②类比练习：

（/）圆有切线，切线及圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如

何类比到球体？

（万）平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？

（万。由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征.（教材P81探究填表）

小结：平面一空间，圆一球，线一面.

③探讨：以平面对量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.

2.教学例题：

①出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相像的运算性质.（得到如下

表格）

类比角度实数的加法实数的乘法

运算结果若a,bwR,则a+bwR若R,贝IabeR

运算律

加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除

逆运算使得方程a+x=O有唯法，使得方程6=1有

-1解x=-a唯一解X」

a

单位元a+0=。a]=l

②出示例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的

猜想.

思维：直角三角形中，zc=90°,3条边的长度M,c,2条直角边2和1条斜边

c；

f3个面两两垂直的四面体中，NPE中=NPOE=N氏用=90。，4个面的面积汇邑和S

3个“直角面”£㈤㈤和1个“斜面”S.一拓展：三角形到四面体的类比.

3.小结：归纳推理和类比推理都是依据已有的事实，经过视察、分析、比较、

联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.

三、巩固练习：1.练习：教材P383题.2.探究：教材P35例53.作业:

P445、6题.

第三课时

演绎推理

教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，

驾驭演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。.

教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.

教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.

教学过程：

一、复习打算：

1.练习：①对于随意正整数A,猜想（2hl）及（加1）2的大小关系？

②在平面内，若则a〃从类比到空间，你会得到什么结论？（结论：

在空间中，若a_Lc,b_Lc,则a//A;或在空间中，若a_Ly4_Ly,则a//〃.

2.探讨：以上推理属于什么推理，结论正确吗？

合情推理的结论不确定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形

式呢？

3.导入：①全部的金属都能够导电，铜是金属，所以；

②太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因

此；

③奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以

（填空f探讨：上述例子的推理形式及我们学过的合情推理一样吗？f课题：

演绎推理）

二、讲授新课：

1.教学概念：

①概念：从一般性的原理动身，推出某个特别状况下的结论，我们把这种推理

称为演绎推理。

要点：由一般到特别的推理。

②探讨：演绎推理及合情推理有什么区分？

合情推理上舞曹震鬻渣；演绎推理:由一般到特别•

〔类比推理：由特殊到特殊

③提问：视察教材P39引例1，它们都由几部分组成,各部分有什么特点？

全部的金属都导电铜是金属|铜能导电|

已知的一般原理厂|特别状况一依据原理，对特别状况做出的推断

大前提|H、前提|I结论I

“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提一一已知的一般原理；第

二段：小前提一一所探讨的特别状况；第三段：结论一一依据一般原理，对特

别状况做出的推断.

④举例：举出一些用“三段论”推理的例子.

2.教学例题：

①出示例1:证明函数/（x）=-/+2x在上是增函数.

板演：证明方法（定义法、导数法）f指出：大前题、小前题、结论.

②出示例2:在锐角三角形/a'中，AD±BC,BErAC,D,后是垂足.求证：AB

的中点物到〃后的距离相等.

分析：证明思路一板演：证明过程一指出：大前题、小前题、结论.

③探讨：因为指数函数产优是增函数，尸（夕是指数函数，则结论是什么？

（结论一指出：大前提、小前提一探讨：结论是否正确，为什么？）

④探讨：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正

确）

3.比较：合情推理及演绎推理的区分及联系？（从推理形式、结论正确性等角

度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理供应方向和

思路.）

三、巩固练习：1.练习：P,22、3题2.探究：P」2阅读及思索3.作业：口,6

题，B组1题.

第一课时

综合法和分析法（一）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法

和综合法；了解分析法和综合法的思索过程、特点.

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思索过程.

教学难点：依据问题的特点，结合综合法的思索过程、特点，选择适当的证明

方法.

教学过程：

一、复习打算：

1.已知“若4RGR+，且％+%=1，则”，试请此结论推广猜想.

（答案:若4,4...a.wR+,且q+%+....+a“=1,则n2）

2.已知a,"cwR*,a+h+c=\,求证：.

先完成证明一探讨：证明过程有什么特点？

二、讲授新课：

1.教学例题：

①出示例1：已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a5+c2）+b6+才）

+。（才+田>6abe.

分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）一板演证明过程（留意

等号的处理）

一探讨：证明形式的特点

②提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的

推理论证，最终推导出所要证明的结论成立.

框图表示：•*',要点：顺推证法；由因导果.

③练习：已知a,b,。是全不相等的正实数，求证组二£+"T+空"£>3.

abc

④出示例2：在中，三个内角4、B、。的对边分别为a、b、c,且4、B、

。成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为等边三角形.

分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？

一板演证明过程一探讨：证明过程的特点.

一小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条

件（内角和）

2.练习：

②4,8为锐角，且tanA+tan8+GtanAtanB=6，求证：A+8=60.（提示：算tan（A+B））

②已知a>6>c,求证：

3.小结：综合法是从已知的夕动身，得到一系列的结论…，直到最终的结

论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问

题.

三、巩固练习：

44

1.求证：对于随意角。，coS0-sin^=cos20.（教材P52练习1题）

（两人板演一订正一小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）

2.A4BC的三个内角A,5,C成等差数列，求证：.

3.作业：教材P54/组1题.

第二课时

综合法和分析法（二）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法

和综合法；了解分析法和综合法的思索过程、特点.

教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思索过程.

教学难点：依据问题的特点，选择适当的证明方法.

教学过程：

一、复习打算：

1.提问：基本不等式的形式？

2.探讨：如何证明基本不等式"（a＞0,b＞0）.

2

（探讨一板演~分析思维特点：从结论动身，一步步探求结论成立的充

分条件）

二、讲授新课：

1.教学例题：

①出示例1:求证6+石＞啦+卡.

探讨：能用综合法证明吗？一如何从结论动身，找寻结论成立的充分条

件？

一板演证明过程（留意格式）

一再探讨：能用综合法证明吗？一比较：两种证法

②提出分析法：从要证明的结论动身，逐步找寻使它成立的充分条件，直至最

终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、

公理等）为止._

框图表示：'工土叩J要点：逆推证法；执果索因.

11

23

③练习：设＞＞o,o,证明不等式：u+/r＞（x+/r.

先探讨方法一分别运用分析法、综合法证明.

④出示例4：见教材P任探讨：如何找寻证明思路？（从结论动身，逐步反

推）

⑤出示例5：见教材P"探讨：如何找寻证明思路？（从结论及已知动身，

逐步探求）

2.练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，假如水管截面（指横截面）的

周长相等，则截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

提示：设截面周长为1,则周长为1的圆的半径为,，截面积为，周长

24

为/的正方形边长为,，截面积为（A2,问题只需证：＞（A?.

444

3.小结:分析法由要证明的结论0思索，一步步探求得到。所须要的已知匕巴…，

直到全部的已知户都成立；

比较好的证法是：用分析法去思索，找寻证题途径，用综合法进行书写；或

者联合运用分析法及综合法，即从“欲知”想“需知”（分析），从“已知”推

“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件及结论之间的距离，找

到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）

三、巩固练习：

1.设a,b,c是的△/及7三边，S是三角形的面积，求证：必24Gs.

略证：正弦、余弦定理代入得：-2a6cosc+4必22百必sinC,

即证：2-cosC>273sinC,即：V3sinC+cosC<2,即证：（成立）.

2.作业：教材P52练习2、3题.

第三课时

反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法一一反证

法；了解反证法的思索过程、特点.

教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思索过程.

教学难点：依据问题的特点，选择适当的证明方法.

教学过程：

一、复习打算：

1.探讨：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（缘

由：偶次）

2.提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同始终线上的三点

尔B、C不能作圆”.探讨如何证明这个命题？^一

3.给出证法：先假设可以作一个。。过/、B、C/''三点，

则。在45的中垂线/上，。又在灰的中垂\o线加上，

即。是/及勿的交点。

但•.•/、B、C共线，（冲突）

...过在同始终线上的三点4、AC不能作——圆.

二、讲授新课：

1.教学反证法概念及步骤：

①练习：仿照以上方法，证明：假如力力0,则石〉石

②提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突,

因此说明假设错误，从而证明白原命题成立.

证明基本步骤：假设原命题的结论不成立-*从假设动身，经推理论证得到冲

突一冲突的缘由是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出冲突（及已知条件冲突，或及假设冲突，或及

定义、公理、定理、事实冲突等）.

方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个

命题及其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而确定原

命题真实.

注：结合打算题分析以上知识.

2.教学例题：

①出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能相互平分.

分析：如何否定结论？一如何从假设动身进行推理？f得到怎样的冲

突？

及教材不同的证法：反设力反CD被尸平分，不是圆心，连结OR

则由垂径定理：OPAB,OPCD,则过户有两条直线及伊垂直（冲突），

**.不被刀平分.

②出示例2：求证G是无理数.（同上分析~板演证明，提示：有理数可

表示为mln）

证：假设6是有理数，则不妨设由=加〃（勿,〃为互质正整数），

从而：（血"）2=3,nr-3n2,可见勿是3的倍数.

设炉30（夕是正整数），贝U3/=/=9p2,可见〃也是3的倍数.

这样，m,〃就不是互质的正整数（冲突）..•.6=〃,/〃不可能，.・.6是无理

数.

③练习：假如”+1为无理数，求证〃是无理数.

提示：假设〃为有理数，贝/可表示为p/q（〃应为整数），即八夕/如

由a+l=（p+4）/q,贝h+1也是有理数，这及已知冲突.•••a是无理数.

3.小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出冲突，从而

说明原结论正确.留意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、

“任何”、“唯一”等特征的问题）

三、巩固练习：1.练习：教材PM1、2题2.作业：教材P54A组3题.

第三章数系的扩充及复数的引入

第一课时

数系的扩充及复数的概念

教学要求：理解数系的扩充是及生活亲密相关的，明白复数及其相关概念。

教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数及纯虚数，明白各数系的关系。

教学难点：复数及其相关概念的理解

教学过程：

一、复习打算：

1.提问：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？

（让学生感受数系的发展及生活是亲密相关的）

2.推断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数及△的关系）:

(1)X2-3X-4=0(2)X2+4X+5=0(3)x2+2x+\=0(4)x2+l=O

3.人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的说明，不想得到“无解”的答案。

探讨：若给方程d+l=O一个解i,则这个解i要满意什么条件？i是否在实数集

实数”及i相乘、相加的结果应如何？

二、讲授新课：

1.教学复数的概念：

①定义复数：形如a+方的数叫做复数，通常记为z=a+6,•（复数的代数形式），其

中i叫虚数单位，.叫实部，6叫虚部，数集C={a+〃|a,beR}叫做复数集。

出示例1:下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

2+3z,8-4z,8+3i,6,z,-2-9z,7z,0

规定：a+"i=c+dioa=MLb=d,强调：两复数不能比较大小，只有等及不等。

②探讨：复数的代数形式中规定凡灰心”,取何值时，它为实数？数集及实数集

有何关系？

③定义虚数：4+帆人0）叫做虚数，帆（g0）叫做纯虚数。

实数(b=0)

④数集的关系：复数Z.一般虚数（bN0M工0）

虚数（b#0）.

纯虚数（bw0,a=0）

上述例1中，依据定义推断哪些是实数、虚数、纯虚数？

2.出示例题2：%

（引导学生依据实数、虚数、纯虚数的定义去分析探讨）

练习：已知复数“+万及3+（4-Z）i相等，且a+》的实部、虚部分别是方程炉-43-3=0

的两根，试求：A-的值。（探讨3+（4-4中，k取何值时是实数？）

小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。

三、巩固练习：

1.指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部及虚部。

2+3i

2.推断①两复数，若虚部都是3,则实部大的那个复数较大。

②复平面内，全部纯虚数都落在虚轴上，全部虚轴上的点都是纯虚数。

3若(3x+2y)+(5x-y)i=17-2〃则的值是？

4..已知i是虚数单位，复数Z="(i+i)_皿2+3i)-4(2+i),当〃7取何实数时，z是：

(1)实数(2)虚数(3)纯虚数(4)零

作业：%2、3题。

第二课时

复数的几何意义

教学要求：理解复数及复平面内的点、平面对量是一一对应的，能依据复数的

代数形式描出其对应的点及向量。

教学重点：理解复数的几何意义，依据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学难点：依据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学过程：

一、复习打算：

1.说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

1+4z,7-2z,8+3z,6,i,-2-Oz,7z,O,O-3z,3

2.复数z=(x+4)+(y-3)i,当苍y取何值时为实数、虚数、纯虚数？

3.若(x+4)+(y-3)i=2-i,试求的值,((x+4)+(y-3)iN2呢?)

二、讲授新课：

L复数的几何意义：

①探讨：实数可以及数轴上的点一一对应，类比实数，复数能及什么一一对应

呢？

(分析复数的代数形式，因为它是由实部“和虚部同时确定，即有依次的两实

数，不难想到有序实数对或点的坐标)结论：复数及平面内的点或序

实数——对应。

②复平面：以x轴为实轴，)，轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数及复平面内的点一一对应。

③例1：在复平面内描出复数l+4i,7-2i,8+3i,6,i,-2-0i,7i,0,0-3i,3分别对应的点。

(先建立直角坐标系，标注点时留意纵坐标是人而不是从)

视察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？

④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

思索：我们所学过的知识当中，及平面内的点一一对应的东西还有哪些？

广、----对应——对应

⑤复数Z=a+bi复平面内的点(a,b),复数Z=。+历o平面向量0Z，

---'对应

复平面内的点(a,b)一,平面向量OZ

留意：人们常将复数z=a+方说成点Z或向量0Z,规定相等的向量表示同一复数。

2.应用

例2,在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。

练习：在复平面内画出2+3i,4-2i,-1+3z；4i,-3-0，所对应的向量。

小结：复数及复平面内的点及平面对量一一对应，复数的几何意义。

三、巩固及提高：

1.分别写出下列各复数所对应的点的坐标。

3.若复数2=(/-3加-4)+(裙-5加-6»表示的点在虚轴上，求实数a的取值。

变式：若z表示的点在复平面的左(右)半平面，试求实数”的取值。

3、作业：课本64题2、3题.

第一课时

复数的代数形式的加减运算

教学要求：驾驭复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。

教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义

教学难点：力口、减运算的几何意义

教学过程：

一、复习打算：

1.及复数一一对应的有？

2.试推断下列复数1+包7-2,；61-2-0,7,0,0-3『在复平面中落在哪象限？并画出

其对应的向量。

3.同时用坐标和几何形式表示复数4=1+4，•与Z?=7-2,•所对应的向量，并计算

向量的加减运算满意何种法则？

4.类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？

二、讲授新课：

1.复数的加法运算及几何意义

①.复数的加法法则：zx=a+hi^Z2=c+di,贝!JZ|+Z2=(a+c)+(b+d)i。

例1.计算(1)(1+4/)+(7-2;)(2)(7-20+(