改版人教版九年级数学第22章二次函数全章导学案

22.1二次函数及其图像

22.1.1二次函数

【学习目标】

1.了解二次函数的有关概念.

2.会确定二次函数关系式中各项的系数。

3.确定实际问题中二次函数的关系式。

【学法指导】

类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。

【学习过程】

一、知识链接：

1.若在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说

y是x的,x叫做o

2.形如＞=(左W0)的函数是一次函数，当=0时，它是函数；形如

(左W0)的函数是反比例函数。

二、自主学习：

1.用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(itf)与长方形的长x(m)之间的函数关系式

为o

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x米，则宽为米，如果将面积记为y平方米，

那么y与％之间的函数关系式为y=,整理为y=.

2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式

3.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为厂的扇形，求扇形的面积S与它的半径/"之间的函数关系式

是。

4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？

5.归纳：一般地，形如,(a,瓦c是常数，且a)的函数为二次函数。其中x是自变

量，a是,b是,c是.

三、合作交流：

(1)二次项系数a为什么不等于0?

答：。

(2)一次项系数b和常数项c可以为0吗？

答：•

四、跟踪练习

1.观察：①y=6尤\®y=-3x2+5；③y=200x2+400x+200；@y=%3-2x；⑤y=必——+3；

x

@y=(x+l)2-x2.这六个式子中二次函数有o(只填序号)

2.y=（m+l）x'^-m-3x+l是二次函数，则m的值为.

3.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为s=5产+2/,则当t=4秒时，该物体所经过的

路程为。

4.二次函数丁=一X2+公+3.当x=2时，y=3,则这个二次函数解析式为.

5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,

绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm,绿化带的面

积为yn?.求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

22.1.2二次函数y=or2的图象

【学习目标】

1.知道二次函数的图象是一条抛物线；

2.会画二次函数y=ax2的图象；

3.掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用.（重点）

【学法指导】

数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.

【学习过程】

一、知识链接：

1.画一个函数图象的一般过程是①；②；③O

2.一次函数图象的形状是；

二、自主学习

（一）画二次函数y=x?的图象.

列表：

X・・・-3-2-10123・・・

y=x2・・・・・・

在图（3）中描点，并连线

L思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？

答：

2.归纳：

①由图象可知二次函数y的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即

抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线；

②抛物线y=/是轴对称图形，对称轴是；

③y=—的图象开口；

④与的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y=/的顶点坐标是；

它是抛物线的最—点（填“高”或"低”），即当x=0时，y有最______值等于0.

⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈______趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈_______趋势；即

时，y随x的增大而,x>0时，y随x的增大而=

（二）例1在图（4）中，画出函数y=%2,>=2/的图象.

解：列表:

X・・・-4-3-2-101234・・・

y=—1%2・・・

2

X・・・-2-1.5-1-0.500.511.52・・・

y=2x2•・・・・・

线y^-x2,

-2

j=x2,y=2/的图象的形状都是；顶点都是；对称轴都是；二次项系数

a0；开口都；顶点都是抛物线的最点（填“高”或“低”）.

归纳：抛物线y=-g，，y=—尤2,y=—2/的的图象的形状都是-顶点都是

；对称轴都是：二次项系数a0；开口都；顶点都是抛物线的最

点（填“高”或“低”）.

例2请在图（4）中画出函数>=一：/,y=-%2,y=—2/的图象.

列表：

・・・

X-4-3-2-101234・・・

・・・

y=——1x2・・・

2

X・・・-3-2-10123・・・

y=--

・・・•••

・・・・・・

X-2-1.5-1-0.500.511.52

y=1

-lx.・・・・・

三、合作交流：

归纳：

抛物线y=a^的性质

对称开口有最高或

图象（草图）顶点最值

轴方向最低点

当*=____时，

a>0y有最_______

值，是______.

当X=____时，

a<0y有最_______

值，是______.

2.当a>0时，在对称轴的左侧，即X0时，y随光的增大而；在对称轴的右侧，即X

0时y随x的增大而。

3.在前面图（4）中，关于x轴对称的抛物线有对，它们分别是哪些？

答：O由此可知和抛物线y=ax1关于九轴

对称的抛物线是。

4.当a>0时，。越大，抛物线的开口越；当。<0时，a越大，抛物线的开口越；

因此，时越大，抛物线的开口越o

四、课堂训练

1.函数y=——的图象顶点是,对称轴是,开口向,当*=时,

有最_________值是.

2.函数y=—6/的图象顶点是,对称轴是,开口向,当*=时,

有最_________值是.

3.二次函数y=（加一3卜2的图象开口向下，则m.

4.二次函数y=mx加有最高点，则m=.

5.二次函数y=（k+l）x2的图象如图所示，则k的取值范围为.

6.若二次函数y=ax2的图象过点（1,-2）,则a的值是.

7.如图，抛物线①丁二-5x2②y=-2x2③y=5/④y=7d开口从小至I］大排歹1J是

；（只填序号）其中关于x轴对称的两条抛物线是

和0

1

8.点A（万，b）是抛物线y=/上的一点，则5=；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B

的坐标是。

9.如图，A、B分别为y=ad上两点，且线段AB±y轴于点（0,6）,若AB=6,则该抛物线的表达式

为。

10.当m=时，抛物线y=（机―开口向下.

11.二次函数y=ax?与直线y=2x-3交于点P（1,b）.

（1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小.

22.1.3二次函数丁=a（x—7z）2+左的图象（一）

【学习目标】

1.知道二次函数y=+左与y=af的联系.

2.掌握二次函数、=。三+上的性质，并会应用；

【学法指导】

类比一次函数的平移和二次函数y=a£的性质学习，要构建一个知识体系。

【学习过程】

一、知识链接：直线y=2x+l可以看做是由直线y=2x得到的。

练：若一个一次函数的图象是由y=-2x平移得到，并且过点（-1,3）,求这个函数的解析式。

解：

由此你能推测二次函数y=，与y=X2—2的图象之间又有何关系吗？

猜想：

二、自主学习

X・・・-3-2-10123・・・

y=X2+1・・・…

y=x2-1……

1.填表：开口方对称有最高增减

顶点

向轴（低）点性

y=/

y=*+1

y=x2-1

（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数y=l2,y=%2+1,丁=工2-1的图象.

2.可以发现，把抛物线丁=必向平移个单位，就得到抛物线丁=/+1：把抛物线y=/

向平移个单位，就得到抛物线y=x2-l.

3.抛物线丁二/，y=x2+1,丁=尤2—1的形状.开口大小相同。

三、知识梳理：（一）抛物线y=+左特点：

1.当a>0时，开口向；当”<0时，开口；

2.顶点坐标是；

3.对称轴是o

（二）抛物线y=ax?+左与y=a%2形状相同，位置不同，y=。尤2+左是由丁=以2_

平移得到的。（填上下或左右）

二次函数图象的平移规律：上—下。

（三）。的正负决定开口的；时决定开口的,即时不变，则抛物线的形状o

因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线。值____________。

三、跟踪练习：

1.抛物线y=2九2向上平移3个单位，就得到抛物线；

抛物线y=2/向下平移4个单位，就得到抛物线.

2.抛物线丁=-3必+2向上平移3个单位后的解析式为,它们的形状,当％=

时，y有最____值是-

3.由抛物线丁=5*-3平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是,是把原抛物线向

平移个单位得到的。

4.写出一个顶点坐标为（0,—3）,开口方向与抛物线y=-无2的方向相反，形状相同的抛物线解析式

5.抛物线y=4/+1关于x轴对称的抛物线解析式为.

6.二次函数y=ax?+左（aw0）的经过点A（1,-1）、B（2,5）.

⑴求该函数的表达式；

⑵若点C（-2,m）,D（n,7）也在函数的上，求加、"的值。

22.1.3二次函数丁=。（%—〃）2+左的图象（二）

【学习目标】

1.会画二次函数y=。（尤—/z）2的图象；

2.知道二次函数y=a（x—切2与y=的联系.

3.掌握二次函数y=a（尤—。尸的性质，并会应用；

【学习过程】

一、知识链接：

（一）抛物线y=ad+左特点：

1.当a>0时，开口向；当a<0时，开口；

2.顶点坐标是；

3.对称轴是；

（二）抛物线y=ad+左与y=形状相同，位置不同，y=af+左是由y=以2_

平移得到的。（填上下或左右）

二次函数图象的平移规律：上—下o

（三）。的正负决定开口的；时决定开口的,即时不变，则抛物线的形状

因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线。值____________。

1.将二次函数y=2无2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为0

2

2.将抛物线y=^x+l的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为o

二、自主学习

画出二次函数y=（无+1>，y=（x—l）2的图象；先列表:

X・・・・・・

y=(x+l)2・・・・・・

y=a-i)2・・・・・・

归纳：（1）y=（x+l）2的开口向,对称轴是直线,顶点坐标是o

图象有最点，即％=时，y有最—值是；

在对称轴的左侧，即％一时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x时y

随x的增大而。

y=（x+1尸可以看作由y=尤？向_平移个单位形成的。

（2）y=（无—1了的开口向,对称轴是直线,顶点坐标是,图象有最—点,

即X=时，y有最—值是；

在对称轴的左侧，即％时，y随光的增大而；在对称轴的右侧，即x时y

随X的增大而o

y=（x+1猿可以看作由y=向_平移个单位形成的。

三、知识梳理

（一）抛物线y=a（x—"）2特点：

1.当。〉0时，开口向；当。＜0时，开口；

2.顶点坐标是；3.对称轴是直线。

（二）抛物线y=a（x—与丁=依2形状相同，位置不同，y=a（x—外2是由丁=。必平移

得到的。（填上下或左右）

结合学案和课本第34页可知二次函数图象的平移规律：左—右—，上—下o

（三）a的正负决定开口的；时决定开口的，即时不变，则抛物线的形状=因为平移没

有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线。值________o

四、课堂训练

1.抛物线y=2（x+3）2的开口；顶点坐标为；对称轴是直线；当x时,

y随x的增大而减小；当％时，y随x的增大而增大。

2.抛物线y=-2（无-If的开口；顶点坐标为；对称轴是直线；当x时,

y随光的增大而减小；当％时，y随x的增大而增大。

3.抛物线y=2f—1的开口；顶点坐标为；对称轴是；

4.抛物线y=5/向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为.

5.抛物线丁=7炉向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为.

6.将抛物线＞=-§（%-2）2向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为.

7.抛物线y=4（x-2）z与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标为.

8.写出一个顶点是（5,0）,形状、开口方向与抛物线y=-2/都相同的二次函数解析式

22.1.3二次函数y=a（x-/?y+左的图象（三）

备课时间9月12日

【学习目标】1.会画二次函数的顶点式、=。(％—/l)2+左的图象；

2.掌握二次函数y=a(x—//1+左的性质；

【学习过程】

一、知识链接：

1.将二次函数y=-5炉的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为o

2.将抛物线y=-炉的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为o

二、自主学习

在右图中做出y=(x-l)2-2的图象：

观察：L抛物线y=(x—2开口向；

顶点坐标是；对称轴是直线。

2.抛物线>=(%-1)2-2和丁=尤2的形状，位置________。(填“相同”或“不同”)

3.抛物线>=(%-1)2-2是由3；=/如何平移得到的？答：

三、合作交流

平移前后的两条抛物线。值变化吗？为什么？

答：。

四、知识梳理

结合上图和课本第35页例3归纳：

(一)抛物线y=a(x-/z)2+上的特点：

1.当a>0时，开口向；当a<0时，开口；

2.顶点坐标是；3.对称轴是直线o

(二)抛物线y=a(x—/1f+左与y=a无2形状,位置不同，丁二忒龙—人丁+左是由丁二：炉平移得

到的。

二次函数图象的平移规律：左—右—，上—下o

(三)平移前后的两条抛物线。值____________。

五、跟踪训练

1.二次函数y=](x—1)-+2的图象可由丁二立/的图象()

A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到

B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到

C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到

D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

1

2.抛物线y=-?x-6y0+5开口,顶点坐标是,对称轴是,当尤=

时，y有最_____值为。

3.填表：

4.函数

y-)2-3

y=3/y=-3y=2(x+3)2

开口方向

顶点

对称轴

y=2(x-)3-的图象可由函数y=2V的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平

移个单位得到。

5.若把函数y=5(x-2『+3的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式

为____________________o

6.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线丁=3必相同的解析式为()

A.)=；(%一2)~+3B.y=g(x+2)~_3

C.y=g(x+2『+3D.y=-1(x+2)2+3

7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y=2f相同，对称轴和抛物线y=(x-2)2相同，且顶点纵坐

标为0,求此抛物线的解析式.

22.1.3二次函数丁=。(%—")2+左的图象(四)

备课时间9月12日

【学习目标】

会用二次函数y=a{x-hf+左的性质解决问题；

【学习过程】

一、知识链接：

1.抛物线y=—2（x+iy—3开口向,顶点坐标是,对称轴是,当x=时,

y有最_____值为o当x时，y随x的增大而增大.

2.抛物线y=—2（x+l）2-3是由y=—2/如何平移得到的？答：

二、自主学习

1.抛物线的顶点坐标为（2,-3）,且经过点（3,2）求该函数的解析式？

分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。

2.仔细阅读课本第36页例4：

分析：由题意可知：池中心是,水管是，点是喷头，线段的长度是1米，线

段的长度是3米。

由已知条件可设抛物线的解析式为o抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需

再确定一个点的坐标即可，这个点是。

求水管的长就是通过求点—的____坐标。请写出详细的解题过程。

二、跟踪练习:

如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米,

底部宽度为12米.A0=3米，现以。点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系.

(1)直接写出点A及抛物线顶点尸的坐标;

(2)求出这条抛物线的函数解析式；

三、能力拓展

1.知识准备

如图抛物线y=(x-l『-4与x轴交于A,B两点，交y轴于点D,抛物线的顶点为点C

(1)求AABD的面积。

(2)求4ABC的面积。

(3)点P是抛物线上一动点，当AABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。

(4)点P是抛物线上一动点，当AABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。

(5)点P是抛物线上一动点，当^ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。

22.1.4二次函数丁=々^+麻+0的图象和性质

备课时间9月12日

【学习目标】

1.能通过配方把二次函数y=。尤2+Zzx+c化成y=a(x-〃)2+左的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶

点坐标。

2.熟记二次函数y=af+/；尤+。的顶点坐标公式；

3.会画二次函数一般式y+匕尤+。的图象.

【学习过程】

一、知识链接：

1.抛物线y=2(x+3『-1的顶点坐标是；对称轴是直线；当了=时y有最_____值

是；当了时，y随x的增大而增大；当尤时，y随x的增大而减小。

2.二次函数解析式y=a(x-/1f+左中，很容易确定抛物线的顶点坐标为,所以这种形式被称

作二次函数的顶点式。

二、自主学习：

(一)、问题：(1)你能直接说出函数丁=尤2+2]+2的图像的对称轴和顶点坐标吗？

(2)你有办法解决问题(1)吗？

解：

y=x2+2x+2的顶点坐标是,对称轴是.

(3)像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用的方法转化为式从而直接得到它的图

像性质.

(4)用配方法把下列二次函数化成顶点式：

2

&y=x-2x+2②>=,/+2》+5③y=a?+法

(5)归纳：二次函数的一般形式y=ad+"c+c可以用配方法转化成顶点式：

因此抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是；对称轴是,

(6)用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。

用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。

®y=2x2-3x+4@y=-2x2+x+2@y=-x2-4x

1,

(二)、用描点法画出y=5/+2x—i的图像.

(1)顶点坐标为；

(2)列表：顶点坐标填在；(列表时一般以对称轴为中心，对称取值.)

X・・・・・・

y=—x2+2x-l.・・

2

(3)描点，并连线：

(4)观察：①图象有最点，即％=时，y有最—值是

②X时，y随光的增大而增大；X时y随x的增大而减小。

③该抛物线与y轴交于点o

④该抛物线与％轴有个交点.

三、合作交流

求出＞—+2x-1顶点的横坐标x=-2后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。

2

22.1.5用待定系数法求二次函数的解析式

备课时间9月12日

【学习目标】

1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；

2.会用待定系数法求二次函数的解析式。

【学习过程】

一、知识链接：

已知抛物线的顶点坐标为（-1,2）,且经过点（0,4）求该函数的解析式.

解：

二、自主学习

1.一次函数y=fcr+人经过点A（-l,2）和点B（2,5）,求该一次函数的解析式。

分析：要求出函数解析式，需求出左力的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关

于k,b的二元一次方程组即可。

解：

2.已知一个二次函数的图象过（1,5）、（2,11）三点,求这个二次函数的解析式。

分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答：；所设解析式中有

个待定系数，它们分别是,所以一般需要个点的坐标；请你写出完整的解题过程。

解：

三、知识梳理

用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式y=。（％-刈2+左和一般式

y=a）c+bx+c

1.已知抛物线过三点，通常设函数解析式为；

2.已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为o

四、跟踪练习：

1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2,-3）,且图像过点（—3,-1）,求这个二次函数的解析式.

2.已知二次函数y=%2+无+m的图象过点（1,2）,则〃2的值为.

3.一个二次函数的图象过（0,1）、（1,0）、（2,3）三点，求这个二次函数的解析式。

k

4.已知双曲线y=—与抛物线y=ox2+b无+。交于A(2,3)、B(m,2)>c(-3,〃)三点.

x

(1)求双曲线与抛物线的解析式；

(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出aABC的面积，

5.如图，直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0),

(1)求该抛物线的解析式；

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使AAISQ是等腰三角形？若存在,求出符合条件的Q点坐标;

若不存在，请说明理由.

22.2二次函数与一元二次方程(一)

备课时间9月12日

【学习目标】

1、体会二次函数与方程之间的联系。

2、理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,

【学习过程】

一、知识链接：

L直线y=2x—4与y轴交于点,与x轴交于点。

2.一元二次方程。/+/^+。=0,当△时，方程有两个不相等的实数根；当A时，方程

有两个相等的实数根；当△时，方程没有实数根；

二、自主学习

1.解下列方程

(1)%2—2%—3=0(2)x~—6x+9=0(3)%2—2,x+3=0

2.观察二次函数的图象，写出它们与X轴的交点坐标:

函y—%2—2x—3y=x2-6x+9>=Y一2x+3

数

图

象

交与元轴交点坐标是_____与元轴交点坐标是_____与X轴交点坐标是_____

点

3.对比第1题各方程的解，你发现什么？

4.解答课本43页问题，请写出详细解答过程。

三、知识梳理：

⑴一元二次方程ax2+Ax+c=0的实数根就是对应的二次函数y=ax1+Z?无+c与x轴交点

的.(即把y=0代入y=。无2+匕龙+。)

⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：(一元二次方程的实数根记为W、马)

二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c-0

b2-4ac_____0,方程有

与X轴有一个交点

的实数根

与元轴有一个交点；这个交b2-4ac__0,方程有_________

点是____点实数根

b2-4ac_0,方程_______实数

与X轴有一个交点

根.

⑶二次函数y=a£+)x+c与y轴交点坐标是.

四、跟踪练习

1.二次函数y=%2—3尤+2,当x=l时，y=；当y=0时，%=

2.抛物线y=X2—4尤+3与％轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是

3.二次函数y=d-4%+6,当％=时，y=3.

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4.如图，一元二次方程ax+Z?x+c