人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.1 空间向量及其运算（七个重难点突破）（原卷版）

专题1.1空间向量及其运算知识点1空间向量的有关概念1．空间向量的定义及表示定义在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量长度或模空间向量的大小叫做空间向量的长度或模表示方法几何表示法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模符号表示法若向量SKIPIF1<0的起点是A，终点是B，则SKIPIF1<0也可记作SKIPIF1<0，其模记为SKIPIF1<0或SKIPIF1<02.几类特殊的空间向量名称方向模表示法零向量任意0记为SKIPIF1<0单位向量1SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相反向量相反相等记为SKIPIF1<0共线向量相同或相反SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相等向量相同相等SKIPIF1<0或SKIPIF1<0知识点2空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量SKIPIF1<0的乘积SKIPIF1<0仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义SKIPIF1<0SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的方向相同SKIPIF1<0的长度是SKIPIF1<0的长度的SKIPIF1<0倍SKIPIF1<0SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的方向相反SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其方向是任意的3.空间向量的运算律交换律SKIPIF1<0结合律SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分配律SKIPIF1<0知识点3共线向量与共面向量1.直线SKIPIF1<0的方向向量定义：把与SKIPIF1<0平行的非零向量称为直线SKIPIF1<0的方向向量．2．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义位置关系表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量与任意向量平行充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的充要条件是存在实数SKIPIF1<0使SKIPIF1<0共面向量定理：若两个向量SKIPIF1<0不共线，则向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使SKIPIF1<0对空间任一点O，SKIPIF1<0空间中SKIPIF1<0四点共面的充要条件是存在有序实数对SKIPIF1<0，使得对空间中任意一点SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0重难点1空间向量的线性运算1．如图，在空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，化简下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．2．如图，点M，N分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点，求证：SKIPIF1<0.3．在正六棱柱SKIPIF1<0中，化简SKIPIF1<0，并在图中标出化简结果．

4．如图.空间四边形OABC中，SKIPIF1<0，点M在OA上，且满足SKIPIF1<0，点N为BC的中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，SKIPIF1<0，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：SKIPIF1<0.

6．如图，设A是SKIPIF1<0所在平面外的一点，G是SKIPIF1<0的重心.求证：SKIPIF1<0.7．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，M为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点．记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则下列正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0重难点2共线问题8．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间中两个不共线的向量，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且A，B，D三点共线，则实数SKIPIF1<0_____；9．在正方体SKIPIF1<0中，点E，F分别是底面SKIPIF1<0和侧面SKIPIF1<0的中心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____．10．(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足SKIPIF1<0=mSKIPIF1<0+nSKIPIF1<0，其中m+n=1，则结论正确的有（

）A．P∈直线AB B．P∉直线ABC．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相同，且SKIPIF1<0，则λ的值为_____；（2）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相反，且SKIPIF1<0，则λ的值为_____.12．已知SKIPIF1<0是空间的一个基底，下列不能与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成空间的另一个基底的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．已知平面单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0成立的正数SKIPIF1<0有且只有一个，则SKIPIF1<0的取值范围为_____.14．如图，在正方体SKIPIF1<0中，E在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，F在对角线A1C上，且SKIPIF1<0若SKIPIF1<0.（1）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0.（2）求证：E，F，B三点共线.15．如图，已知SKIPIF1<0为空间的9个点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求证：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.重难点3向量的共面问题16．已知空间SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，且其中任意三点均不共线，设SKIPIF1<0为空间中任意一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<017．已知点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，并且对空间任一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____．18．已知SKIPIF1<0三点不共线，对于平面SKIPIF1<0外的任意一点SKIPIF1<0，判断在下列各条件下的点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0是否共面．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．19．已知SKIPIF1<0为两个不共线的非零向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0四点共面．20．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是三个不共面的向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面，则SKIPIF1<0的值为_____.21．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．若{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知识点1空间向量的夹角如图，已知两个非零向量SKIPIF1<0，在空间任取一点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的夹角，记作SKIPIF1<0，夹角的范围：SKIPIF1<0，特别地，如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0互相垂直，记作SKIPIF1<0知识点2空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积已知两个非零向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的数量积，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．零向量与任意向量的数量积为0，即SKIPIF1<0.2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律SKIPIF1<0交换律SKIPIF1<0分配律SKIPIF1<03．投影向量在空间，向量SKIPIF1<0向向量SKIPIF1<0投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量SKIPIF1<0共线的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0称为向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量．4．数量积的性质若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为非零向量，则（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0重难点4空间向量数量积的运算23．在正四面体SKIPIF1<0中，棱长为1，且D为棱SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的值为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0_____.25．在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上任意一点，则SKIPIF1<0=_____.26．给出下列命题：①空间中任意两个单位向量必相等；②若空间向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③在向量的数量积运算中SKIPIF1<0；④对于非零向量SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中假命题的个数是_____．27．已知空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.其中正确的个数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<029．已知向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角都是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，试求(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．30．在三棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____重难点5用数量积解决夹角问题31．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：(1)BD1的长；(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.32．（多选）如图所示，平行六面体SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0是相交直线D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<033．已知向量SKIPIF1<0都是空间向量，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____.34．已知不共面的三个向量SKIPIF1<0都是单位向量，且夹角都是SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<035．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0中点．(1)求SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值．36．如图，二面角SKIPIF1<0的棱上有两个点A，B，线段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为_____．重难点6投影向量37．在标准正交基SKIPIF1<0下，已知向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为_____，在SKIPIF1<0上的投影之积为_____．38．已知SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0为单位向量，SKIPIF1<0，则空间向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上投影为_____．39．如图，在长方体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别求向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向上的投影数量．40．如图，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量等于_____.41．在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的投影向量的模是_____．42．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)确定SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影向量，并求SKIPIF1<0；(2)确定SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量，并求SKIPIF1<0．重难点7用数量积求线段长度43．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)用向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.44．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为（

）A．5 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<045．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0