人教版九年级数学下册02 教学设计-图形的位似

eeo

《图形的位似》教学设计

C载学目标D

i.了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区

别，掌握位似多边形的性质.

2.掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图

形放大或缩小.

3.了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的位似变换的

性质。

4.在平面直角坐标系中图形的位似变换.

:教学蜜瞪点》

1.位似多边形的有关概念、性质与作图.

2.利用位似将一个图形放大或缩小.

3.在平面直角坐标系中图形的位似变换.

殿学准备）

多媒体课件

一、复习回顾

下列是一些图的变换，请连线:

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我们发现：前三个图中的两个图形都是全等的，而第四个图形中

的两个图形相似，那么第四个图是怎样的一种变换呢？

二、探究新知

1.位似图形的定义

下面的一组图片是形状相同的图形，在图片①上取一点A,它与另

一图片（如图片②）上的相应点B之间的连线是否经过镜头P的中心？

在图片上换其它的点试一试，还有类似的结论吗？

支龙£拉图

AB

可以发现:

直线AB都经过镜头中心点,嗜都等于一个固定值.

问题：下面两个多边形相似,将两个图形的顶点相连，观察发现

OCOD'0E'

连接的直线相交于点。.需北心。石有什么关系？

2

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A

OA_OB,_OC'_OD'_OE'

赤一诟一庆一而一而

归纳：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P所在

的直线都经过同一个点O,且有OP，=k•OP(kWO),那么这样的两

个多边形叫做位似多边形，点O称为位似中心。实际上，k就是这两

个相似多边形的相似比。

位似多边形是具有特殊位置关系的相似多边形.

例1：下列各组图形中，是位似图形的有(D)

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O是位似中心，OA=AD,则AABC与ADEF的位似比是（A）

1

A.2B.3

位似图形的性质:

性质：①两个图形相似.

②对应点的连线相较于一点，对应边互相平行或在同一直线上.

A

③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相

似比.B

O

作位似多边形

如图，已知aABC,以点O为位似中心画ADEF,

使其与AABC位似，且位似比为2.

思考：1.如何利用位似将一个图形放大

或缩小？画位似图形的一般步骤是什么？

2.画位似图形时需要注意什么问题？

解：画射线OA,OB,OC;在射线

OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OD=

2OA,OE=2OB,OF=2OC;顺序连接D,E,F,

4

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使ADEF与AABC位似，相似比为2.画法二：4ABC与4DEF异侧

解：画射线OAQBQC;沿着射线OAQBQC反方向上分别取点

D,E,F,OD=2OA,OE=2OB,

OF=2OC;顺序连接D,E,F,使4DEF与4ABC

位似，相似比为2.

画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应

点，画图的方法大致有两种：一是每对对应点都

在位似中心的同侧，二是每对对应点在位似中心的异侧.

例2：已知点O在AABC内，以点O

为位似中心画一个三角形，使它与4ABC

位似，且位似比为1:2.

画法一:△ABC与ADEF在同侧

解：画射线OAQBQC;在射线

OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OA=

2OD,OB=2OE,OC=2OF;顺序连接D,E,F,使4DEF与AABC位似，位

似比为1：2.

画法二：4ABC与4DEF在异侧

解：画射线OAQBQC;在射线

OAQBQC反向延长线上分别取点

D,E,F,使OA=2OD,OB=2OE,

OC=2OF;顺序连接D,E,F,使4DEF

5

C

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与AABC位似，位似比为1：2.

练习：

1.如图，与XA'B'C'是位似图形，且位似比是1：2,

若AB=2cm,则A，B'=4cm,并在

图中画出位似中心O.

2.在任意一个三角形内部画一个小三角形，使

其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心

是(D)

A.一定点

B.原三角形三边垂直平分线的交点

C.原三角形角平分线的交点

D.位置不定的一点

在平面直角坐标系中，4OAB三个顶点的坐标分别为

0(0,0),A(3,0),B(2,3)

(1)将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘2,得到三个点，以这

三个点位为顶点的三角形与4OAB位似吗？如果位似，指出位似中

心和相似比.(相似，相似比为1:2)

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(2)如果将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘以-2.

将AOAB的横坐标和纵坐标分别乘2和-2,得到的两个不同的

三角形都是4OAB的位似图形，位似中心都是原点O,相似比都是2,

且它们关于原点成中心对称.

做一做：

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点分别是

A(4,2),B(8,6),C(6,10),D(-2,6).将点A,B,C,D的横坐标、纵

7

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坐标都乘5,得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形

ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比。

解：如图，两个图形位似，且位似中心为坐标原点(0,0),位

结论：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、

纵坐标都乘同一个数网2#0),所对应的图形与原图形位似，位似中

心是坐标原点，它们的相似比位因.

三、例题讲解

在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为0(0,0),

A(6,0),B(3,6),C(-3,3).以原点O为位似中心，画出四边形OABC

的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.

画法一：如图所示，

解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘：；在平面直角坐标系中

描点0(0,0),A(4,0),B'(2,4)

8

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C(-2,-2);在平面直角坐标系中描点A，BC,用线段顺次连接

O,A',B',C.

V«

9

解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘士；在平面直角坐标系中

3

描点0(0,0),A"(-4,0),

B"(-2,-4),C(2,-2);在平面直角坐标系中描点A",B",C”,用线段顺次

连接O,A",B",C".

B"

9

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结论：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似比为

%,若原图形上点A的坐标为(%,y),那么位似图形点A，的坐标为(履，ky)

或(-京，-ky)o

四、巩固提高

1.如图，矩形ABCD与矩形A'B'CD'

D'是位似图形，点A是位似中心，已知矩形D

ABCD的周长为24,BBZ=4,DD'=2,求

阳')BB'

AB和AD的长.

解：•.•矩形ABCD的周长为24,

AB+AD=12,设AB=x,则AD=12-x,

.'.A'B'=x+4,A'D'=14-%

二•矩形ABCD与矩形A'B'CD'是位似图形，

二.矩形ABCDs矩形A'B'CD'

.AB_AD

--A。''

即」_=生1

x+414-x

解得:_x=8

，AB=8,AD=12-户4.

2.如图，在6义8的网格图中，每个小正方形边长均为1,点O

和4ABC的顶点均为小正方形的顶点.

(1)以点O为位似中心，在网格图中作AA'B'C',使AA'B'

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C和AABC位似，且位似比为1：2；

(2)连接(1)中的AA',求四边形AA'C'C的周长.(结果保留

根号)

(2)AA'=CC'=2.在RtZiOA'C中，OA'=OC'=2,

得AC=^OA2+OC2=2V2

同理可得AC=4后

二.四边形AA，CC的周长=4+6行。

3.如图表示AAOB和把它缩小后得到的ACOD,求它们的相似

比.

解：点D的坐标为(2,0)

点B的坐标为(5,0)

...它们的相似比为I".

4.在平面直角坐标系中有两点A(6,2),B(6,0),以原点为位似

中心，相似比为1：2,则线段AB的对应线段A'B'的长为(C)

A.1B.2C.1或4D.2或6

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3

MM)

2

4.如图，以点D为位似中心，作AABC的一个位似三角形

AiBiCi,A,B,C的对应点分别为Ai,Bi,Ci,DAi与DA的比值

为鼠若两个三角形的顶点及点D均在如图所示的格点上，则k的值

和点C1的坐标分别为(A)

A.2,(2,8)B.4,(2,8)C.2,(2,4)

分析：利用勾股定理求出DAi与DA的值，然

后相比即可求出左值；

连接DB并延长至Bi,使DBi=2DB,连接DC

并延长至Ci,使DCi=2DC,然后顺次连接Ai,Bi,

G,然后根据平面直角坐标系写出点J的坐标即可得

解.

解：根据勾股定理得：

ZM=V12+12=42

DA.=722+22=2V2

.•必=2

DA

12

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「C的坐标为(2,8)

故选A.

五、拓展应用

如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(3,2),(6,

4),ACJ_x轴于点C,BGJ_x轴于点G,分别以AC,BG为边作正

方形ACDE和正方形BGMN.

(1)试分别写出直线AB和直线EN对应的函数表达式；

(2)求证：正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形；

(3)已知点M的坐标是(10,0),试作一个正方形，它以点M为其

中一个顶点，且与已有正方形成位似图形(在下图中作出即可).

解：(1)设直线AB的解析式为yfb:+b(kW0),将A(3,2),

B(6,4)代入得：3Z+b=2,64+b=4

2

解得：k=—,b=0

3

二.直线AB的解析式为:y=(x

同理可以计算出直线EN的解析式为：

2

y=—X

5

77

(2”.•直线AB解析式为y=；x与直线NE解析式为y=(x都

过原点，直线DM与直线CG都与％轴重合，

二.正方形ACDE与正方形BGMN对应

13

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顶点连线交于一点，此点为原点，则正方形ACDE和正方形

BGMN是位似图形；

/dD||G|M

，为3~5610x

(3)如图所示，正方形MN'B'G',正方形A'E'D'C

为所求的正方形.

冲

4..........辛----F

AE\

29----、、、

____d0厂J、=、把?？？，c

~3561_r%

Ef⑷

六、课堂总结

1.位似图形的概念

2.位似多边形的性质

3.位似图形的作法.

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4.平面直角坐标系中的位似变化

在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标

都乘同一个数所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐

标原点，它们的相似比位同.

图形的位似(2)

【教学目标】

1.知识与技能

(1)了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的位似变换的性质。

(2)在平面直角坐标系中图形的位似变换.

2.过程与方法

通过作图培养学生动手和实践能力。

3.情感态度和价值观

通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。

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【教学重点】

在平面直角坐标系中图形的位似变换

【教学难点】

在平面直角坐标系中图形的位似变换

【教学方法】

合作、探究

【课前准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、情境导入

我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)

等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来

表示.

二、探究新知

位似变换与平面直角坐标系

在平面直角坐标系中,△OAB三个顶点的坐标分别为0(0,0),A(3,0),B(2,3)

(1)将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘2,得到三个点，以这三个点位为顶点的三角形与

△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.(相似，相似比为1:2)

(2)如果将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘以-2.

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将4OAB的横坐标和纵坐标分别乘2和-2,得到的两个不同的三角形都是aOAB的位

似图形，位似中心都是原点O,相似比都是2,且它们关于原点成中心对称.

做一做：

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点分别是A(4,2),B(8,6),C(6,10),D(-2,

6).将点A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘,，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四

2

结论：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(kW

0),所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比位|k|.

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三、例题讲解：

在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为0(0,0),A(6,0),B(3,6),C(-3,3).

以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.

画法一：如图所示，

2

解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘§；在平面直角坐标系中描点0(0,0),A，(4,0)B(2,4)

C(-2,-2);在平面直角坐标系中描点A'B'C,用线段顺次连接O,A；B',C.

1，«

2

解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘§；在平面直角坐标系中描点0(0,0),A”(-4,0),

B"(-2,-4),C(2,-2);在平面直角坐标系中描点A",B",C”,用线段顺次连接O,A",B",C".

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B"

结论：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似比为k,若原图形上点A的坐

标为(x,y),那么位似图形点A，的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。

四、巩固练习：

1.如图表示aAOB和把它缩小后得到的△«)口,

求它们的相似比.

解：点D的坐标为(2,0)

点B的坐标为(5,0)

.•.它们的相似比为|.

2.在平面直角坐标系中有两点A(6,2),B(6,

0),以原点为位似中心，相似比为1：2,则线

段AB的对应线段A'B'的长为(C)

A.1B.2C.1或4D.2或6

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3.如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三角形ABG,A,B,C的对应点分别为

A„B,,C,DAi与DA的比值为k,若两个三角形的顶点及点D均在如图所示的格点上，则k

的值和点Cl的坐标分别为(A)

A.2,(2,8)B.4,(2,8)C.2,(2,4)D.2,(4,4)

分析：利用勾股定理求出DAi与DA的值，然后相比即可求出k值;

连接DB并延长至B”使DBi=2DB,连接DC并延长至G,

然后顺次连接B”C,,

可得解.

解：根据勾股定理得:

22

ZM=71+1二J2

^722+22=2^2

.Oj

■■一乙

DA

「.G的坐标为(2,8)

故选A.

五、拓展应用：

如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(3,2),(6,4),ACLx轴于点C,

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BGJ_x轴于点G,分别以AC,BG为边作正方形ACDE和正方形BGMN.

(1)试分别写出直线AB和直线EN对应的函数表达式；

(2)求证：正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形；

(3)已知点M的坐标是(10,0),试作一个正方形，它以点M为其中一个顶点，且与已有

正方形成位似图形(在下图中作出即可).

解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(kW0),将A(3,2),B(6,4)代入得：3k+b=2,6k+b=4

2

解得：k=—,Z?=O