统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题四统计与概率第2讲概率与统计文

第2讲概率与统计考点一古典概型与几何概型——构建模型，合理分类1.古典概型的概率公式P（A）＝eq\f(m,n)＝eq\f(事务A中所含的基本领件数,试验的基本领件总数).2.几何概型的概率公式P（A）＝eq\f(构成事务A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）).例1（1）[2022·全国甲卷]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5)D．eq\f(2,3)（2）[2023·河南省杞县中学]在区间[0，1]上随机取两个数，则这两个数差的肯定值大于eq\f(1,2)的概率为（）A．eq\f(3,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,8)归纳总结1.求古典概型的两个关键点一是会利用排列、组合与两个基本计数原理求样本空间所含的基本领件数n以及事务A所含的基本领件数m；二是会运用古典概型的概率公式P（A）＝eq\f(m,n)求事务A发生的概率．2.解几何概型的步骤（1）“定变量”，依据事务发生的过程确定事务中的相关变量，确定变量的取值范围；（2）“观图形”，依据变量的取值范围，画出基本领件所包含的图形和所求事务对应的图形；（3）“求度量”，依据图形的直观性，结合变量的取值范围，求出相应图形的几何度量；（4）“求概率”，把所求得的几何度量代入几何概型的概率计算公式，即可求出概率．提示对立事务是互斥事务，是互斥中的特别状况，但互斥事务不肯定是对立事务，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．对点训练1.某校老师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．今欲随机支配甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲恰好辅导2次的概率为（）A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,7)C．eq\f(3,7)D．eq\f(4,7)2.[2021·全国乙卷]在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于eq\f(7,4)的概率为（）A．eq\f(7,9)B．eq\f(23,32)C．eq\f(9,32)D．eq\f(2,9)考点二概率与统计的综合应用概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新奇，综合性增加，难度加深，驾驭此类问题的解题策略，在高考中才能游刃有余．考向一概率与统计图表的交汇问题——先识图，再转化例1[2023·安徽省芜湖市教化局模拟预料]当顾客在超市排队结账时，“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开，某数学爱好小组却认为最好的方法是如图（1）所示地排成一条长队，然后排头的人依次进入空闲的收银台结账，从而让全部的人都能快速离开，该爱好小组称这种方法为“长队法”．为了检验他们的想法，该爱好小组在相同条件下做了两种不同排队方法的试验．“传统排队法”的顾客等待平均时间为5分39秒，图（2）为“长队法”顾客等待时间柱状图．（1）依据柱状图估算运用“长队法”的100名顾客平均等待时间，并说明选择哪种排队法更适合；（2）为进一步分析“长队法”的可行性，对运用“长队法”的顾客进行满足度问卷调查，发觉等待时间为[8，10）的顾客中有5人满足，等待时间为[10，12]的顾客中仅有1人满足，在这6人中随机选2人发放劝慰奖，求获得劝慰奖的都是等待时间在[8，10）顾客的概率．归纳总结破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤对点训练1.[2023·黑龙江齐齐哈尔三模]中国神舟十三号载人飞船返回舱于2022年4月16日在东风着陆场胜利着陆，这标记着此次载人飞行任务取得圆满胜利．神舟十三号载人飞行任务是中国迄今在太空轨道上停留时间最长的一次任务，航天员王亚平成为第一位在太空行走的中国女性．三位航天员在为期半年的任务期间，进行了两次太空行走，完成了20多项不同的科学试验，并开展了两次“天宫课堂”，在空间站进行太空授课．神州十三号的胜利引起了广阔中学生对于航天梦的极大爱好，某校从甲、乙两个班级全部学生中分别随机抽取8名，对他们的航天学问进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：（1）分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的平均值和方差，并估计两个班级学生航天学问的整体水平差异；（2）若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观市教化局举办的航天摄影展，求这两名学生均来自乙班级的概率．考向二概率与统计案例的交汇问题——精确审题，数据分析例2[2023·陕西省、青海省、四川省联考]某校组织了600名中学学生参与中国共青团相关的学问竞赛，将竞赛成果分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成果落在区间[60，70)内的人数为300.(1)求出频率分布直方图中a，b，c的值；(2)估计该校学生分数的中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；(3)现采纳分层抽样的方法从分数落在[80，90)，[90，100]内的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行现场学问答辩，求抽取的这2人中恰有1人的得分在区间[90，100]内的概率．归纳总结解决概率、统计与其他学问的综合对点训练[2023·河南省济洛平许高三质量检测]4月15日是全民国家平安教化日．以人民平安为宗旨也是“总体国家平安观”的核心价值．只有人人参与，人人负责，国家平安才能真正获得巨大的人民性基础，作为学问群体的青年学生，是强国富民的中坚力气，他们的国家平安意识取向对国家平安尤为重要．某校社团随机抽取了600名学生，发放调查问卷600份(答卷卷面满分100分).回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份．有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间．同时依据560份有效答卷的分数，绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数和平均数n(同一组数据用该组中点值代替).(2)假如把75分及以上称为对国家平安学问高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请依据上述数据，完成下面2×2列联表，并推断能否有95%的把握认为学生性别与国家平安学问敏感度有关．高敏感低敏感总计男生80女生80总计560附：独立性检验临界值表P(K2≥k0)0.10.050.010.0050.001K22.7063.8416.6357.87910.828公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.GAOKAOWUGEDATI[高考5个大题]解题研诀窍（四）概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图[思维流程——找突破口][技法指导——迁移搭桥]概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略（1）精确弄清问题所涉及的事务有什么特点，事务之间有什么关系，如互斥、对立等．（2）理清事务以什么形式发生，犹如时发生、至少有几个发生等．（3）明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无依次等．（4）分清是古典概型还是几何概型后再求概率．（5）会套用求eq\o(b,\s\up6(^))、K2的公式，再作进一步求值与分析．（6）理解各图表所给信息，利用信息找出所要数据．[典例]某家庭记录了未运用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和运用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未运用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7]频数13249265运用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6]频数151310165（1）在下图中作出访用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭运用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭运用节水龙头后，一年能节约多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）[快审题]第（1）问求什么想什么作频率分布直方图，想到频率分布直方图的画法．给什么用什么给出了频数分布表，计算各组的频率，结合每组的组距，计算频率与组距的比值．第（2）问求什么想什么求概率，想到利用频率来估计概率．给什么用什么给出了数据，计算对应的频率，然后利用频率估计概率．第（3）问求什么想什么求一年来节约多少水，想到一天能省多少水．给什么用什么给出50天的日用水量数据，可计算日用水量的平均数．差什么找什么计算一年节约多少水，应计算一天节约多少水，即求两种状况下日平均用水量差．[稳解题]（1）频率分布直方图如图所示．（2）依据频率分布直方图知，该家庭运用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭运用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.（3）该家庭未运用节水龙头50天日用水量的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,50)×（0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5）＝0.48.该家庭运用了节水龙头后50天日用水量的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,50)×（0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5）＝0.35.估计运用节水龙头后，一年可节约水（0.48－0.35）×365＝47.45（m3）.题后悟道（1）求概率的关键：定型——定性——定数量（几何量）——求概率．（2）求解统计案例问题的关键：作图（列表格）——计算——得结论．第2讲概率与统计考点一[例1]解析：（1）从6张卡片中任取2张的取法有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6），共6种，所以所求概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故选C.（2）设在[0，1]上取的两数为x，y，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－y))>eq\f(1,2)，即x－y>eq\f(1,2)，或x－y<－eq\f(1,2).画出可行域，如图所示，则x－y>eq\f(1,2)，或x－y<－eq\f(1,2)所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为eq\f(1,4)，故所求概率P＝eq\f(\f(1,4),1)＝eq\f(1,4).故选C.答案：（1）C（2）C对点训练1．解析：由题意得全部不同方案有（甲，乙，乙，乙），（乙，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，乙），（乙，乙，乙，甲），（甲，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，甲），（甲，乙，乙，甲），（乙，甲，甲，乙），（甲，乙，甲，乙），（乙，甲，乙，甲），（乙，甲，甲，甲），（甲，乙，甲，甲），（甲，甲，乙，甲），（甲，甲，甲，乙），一共14个基本领件，其中（甲，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，甲），（甲，乙，乙，甲），（乙，甲，甲，乙），（甲，乙，甲，乙），（乙，甲，乙，甲）共6个基本领件符合题意，故所求的概率为eq\f(6,14)＝eq\f(3,7)，故选C.答案：C2．解析：在区间（0，1）中随机取一个数，记为x，在区间（1，2）中随机取一个数，记为y，两数之和大于eq\f(7,4)，即x＋y>eq\f(7,4)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1,1<y<2,x＋y>\f(7,4))).在如图所示的平面直角坐标系中，点（x，y）构成的区域是边长为1的正方形区域（不含边界），事务A“两数之和大于eq\f(7,4)”即x＋y>eq\f(7,4)中，点（x，y）构成的区域为图中阴影部分（不含边界），由几何概型的概率计算公式得P（A）＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(23,32)，故选B.答案：B考点二考向一[例1]解析：（1）eq\f(1×8＋3×12＋5×25＋7×36＋9×15＋11×4,100)＝6（分钟），因为运用“长队法”顾客的平均等待时间长于运用“传统排队法”的顾客平均等待时间，所以选择“传统排队法”更适合．（2）记事务A＝“获得劝慰奖的都是等待时间在[8，10）的顾客”，用1，2，3，4，5表示等待时间在[8，10）的满足顾客，用a表示等待时间在[10，12]的满足顾客，Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，a），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a），（3，4），（3，5），（3，a），（4，5），（4，a），（5，a）}n（Ω）＝15，事务A包含的样本点为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），n（A）＝10，p（A）＝eq\f(n（A）,n（Ω）)＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).对点训练1．解析：（1）eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)（76＋79＋80＋81＋85＋88＋90＋93）＝84，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)（73＋80＋81＋82＋83＋89＋90＋94）＝84.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,8)（64＋25＋16＋9＋1＋16＋36＋81）＝31，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,8)（121＋16＋9＋4＋1＋25＋36＋100）＝39，因为两个班级学生得分的平均值相同，所以我们估计两个班级航天学问整体水平相差不大，又由于乙班级学生得分的方差比甲班大，所以我们估计甲班级学生航天学问水平更加均衡一些，乙班级学生航天学问水平差异略大．（2）甲班级得分不低于85分的有4名同学，记为A，B，C，D.乙班级得分不低于85分的有3名同学，记为a，b，c，从这7名同学中选取2人共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（D，a），（D，b），（D，c），（a，b），（a，c），（b，c）21个基本领件．其中两名学生均来自于乙班级的有（a，b），（a，c），（b，c）共3个基本领件，所以所求事务的概率P＝eq\f(3,21)＝eq\f(1,7).考向二[例2]解析：（1）由已知可得a＝eq\f(300,600)×eq\f(1,10)＝0.05，则（0.005＋0.05＋b＋c＋0.005）×10＝1，即b＋c＝0.04，又因为a，b，c成等差数列，所以2b＝0.05＋c，解得b＝0.03，c＝0.01，（2）可知0.005×10＝0.05<0.5，（0.005＋0.05）×10＝0.55>0.5，设中位数为x，则x∈[60，70），由0.005×10＋（x－60）×0.05＝0.5，解得x＝69，即中位数为69，平均数为（55×0.005＋65