何绪东高中数学教学案

人教A版高一年级数学必修四教学案

课题：《2.3.1平面向量基本定理》

第一课时_____年一月―0星期—单位微山县第三中学备课人何绪东

教学目标：

1、知识与技能：

1.1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

1.2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.

1.3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.

1.4.了解平面向量的基本定理及其意义.

2、过程与方法：通过探究学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察，类比联想等

发现规律的一般方法，培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.

3、情感态度与价值观：使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣

和钻研精神.

重点：重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用

难点：难点是平面向量的基本定理及其意义.

教法：教师启发引导，学生探究学习.

关键：定理的形成

教具：多媒体

学具：三角尺、直尺

课型：新授课

课时：一课时

学案教师活动（含学学生活动设计意图

法指导）

一、复习旧知一、课前预习：一学生自一、建构主义

请同学们阅读课本P103-----P104,教师提前发放学主学习，学习理论认

回答下列问型：4案，以备学生课前合作学为：学习是学

给出向量1b,作出2a,3b,a+b,a-b,自学习。完成生主动的建构

即向量的加法、减法，数乘运算，学案的课活动，新课标

二、提出问题前预习部倡导自主学

分。习、合作学习

给定平面的任意两个不共线向量[,的学习方式。

先学为后教作

e铺垫。由实际

i,作出2e]+3e2

问题引入，激

问题情境1、

发学生的学习

物理学的正交分解，课本P92例2

积极性

问题情境2、

1,拼图游戏

已知拼图板上有一个与水平方向成约二、课堂探究新知1、学生在1学习应与一

53度的长为10的一条线段，另有若干条水1.创设问题情景、小组合作定的情境相联

平方向、垂直门------------------------引出问题，教师运学习的基系，创设教学

方向上长度为1/-用多媒体出示问础上作图情境，激发学

1的小线段，现1/三

题，组织学生讨论，分析习兴趣。

在不改变它们/三

।并进行提问。

的方向，只能।/~

平移，你能用0___________________二1

这些线段拼成

一个平行四边形吗？

（提示：从向量的角度理解，一个向量可以

分解成两个向_________________________,

量-）

（。二6d+8。2）

2,拼图变形2

1：向量a

变成与水2.组织合作探究，2、学生展2、学习新知前

平方向成J促进概念建构示研究成的简单复习，

教师运用多媒体出果。学生不仅能唤起学

45度，长度为4J5时又如何解决？

示问题，引导学生在合作学生的记忆，而

（。=4的+4阳进行总结。引导学习的基础且为学习新课

3,拼图变形2：向量a变成与水平方向成生讨论、交流教师占分工展作好了知识上

45度，要及时给予评价并不0的准备.让学生

长度|1进一步完善。经历概念的形

为8成过程，

时，你

还能

解决

E3______

吗？

三、引入新课

问题1：是否任何一个向量都可以用这两个

基本向量来表示？3.老师点拨指导，3.让学生3.由特殊到

请自己动手随意设计一个向量，并说明它可由学生观察、归纳、讨论能否一般，培养学

以怎样分解？概括出平面向量基通过概括生的观察、归

问题2：给出任意两个不共线基本向量的，本定理总结形成纳、概括的能

02可以表示平面内的任意一个向量吗？结论。力.

（不共线的两个向量）入16+入24.

四、进行新课__

平面向量基本定理：如果［是同一平

面内的两个不共线向量，那么对手这一平面

内的任一向量有且只有一对实数入1,

入2.使2=A1G+A202•

(1)我们把不共线向量ez叫做表示这

一平面内所有向量的一组基底；4.通过剖析定

理，培养学生

(2)基底可以多组，但必须不共线；4.提供一个比较发4.学生在

散的问题，给学生讨论中获的观察、归纳、

(3)任一向量a在给出基底ei、e2的条件

下进行分解；提供广阔的思维空得符号化概括的能力.让

间，培养学生理性的数学语学生经历概念

(4)基底给定时，分解形式唯一，1,入2

思维能力和数学的言来准确的发散性过

是被行，［唯一确定的数量；

分析问题、解决问地表述函程，深刻理解

题的能力数的概概念。

(5)一个平面向量用一组基底ei、e2表示成a

念。

=A,iei+入202的形式，我们称它为向量

.教师为学生搭建学生根

的分解，当幻、e2互相垂直时，就称为向55.5.通过剖析定

量的正交分解。以下“脚手架”：通据教师提理，教师要善

过6个注释进一步不完成6于从多个角度

(6)若a=。，则入尸0,A2=0。加深理解平面向量个注释。帮助学生可以

基本定理.

练习：体会数学定理

内涵与外延。

1、判断以下说法对错：

(1)一个平面内只有一对不共线向量可作

为表示该平面所有向量的基底。()

、通过课堂练习进通过练习基本

(2)一个平面内有无数多对不共线向量可66、学生独

作为表示该平面所有向量的基底。()一步深化平面向量立完成并掌握平面向量

基本定理口答。基本定理的内

(3)零向量不可作为基底中的向量。

()容及简单应

2.已知a、b不共线，且c=入ia+入2b(AI,用。

入2GR),若c与b共线，贝ij入户.

3.已知人|>0,入2>0,ei、e2是一组基底，

且a=X,ei+X2C2,则a与ei_____,a与

e2________(填共线或不共线).

4如.图，设0为平行四边形ABCD两对角

线的交点，有下列向量组：

(1)AB

OA与AB

BC(3)3与皮(4)5B与西

其中可以作为这个平行四边形所在平面表

示它的所有向量的基底的是______________

(五)数学应用

已知向量勺，32，求作向量

AB=3q—2e,BC=4q+e,

227.学生应7.通过应用平

7.教师对学生得出用定理，面向量基本定

的结论进行评价，让各小组理，培养学生

一/并及时修正学生的抢答、质掌握知识的准

eie2方向。疑。确性、全面性，

同时培养学生

的作图的能力

例2.设是平面内的一组基底，如果

AB=3,—2e,BC=4e+e,

2t28.归纳总结、达标8.个别展8.进一步理解

评价、老师补充、示、.学生平面向量基本

CD=8G-9e),求证：A、B、D三点

完善学生的回答，运用概念定理，培养学

共线。并帮助学生进行规自我尝生归纳、概括

(六)课堂练习律提升。试。能力，进一步

1.已知向量均、/不共线，实数厂y满足落实知识目标

(3x-4y)ei+(2x-3y)e2=6ci+3e2,则x-y的值等与能力目标.

于()

A.3B.-3C.09.指导学生练习、9.独自做9.根据本节课

D.2点拨题、思考，知识与能力目

口答。标的要求，选

2.已知。、〃不共线，且c=4■+42b(41,

取不同层次且

^2eR),若c与力共线，贝！141=__.

具有代表性的

3.如图，平行四边形ABCD中，E,F分别是题目，通过例

BC,DC的中点，G为DE、BF交点。若题训练，巩固

本节课所学知

AB-a,AD=b,试以a,B为基底

识，检测本节

表示瓦、而、CG.课教学目标落

实性况。

D_______E_______C

/F10、教师多媒体显10同学们10检验课堂学

示.当堂纠正错误互相交习效果，检测

AZ------------------流、展不知识点的落实

答案，对情况，并对下

照评价一节课提供调

整依据.

五、课堂小结

本节课我们重点学习了平面向量基本

定理的有关内容，并运用它来解决了一些问

题，研究中学习和体会了由特殊到一般的数

学思想方法，锻炼了思维的辨证性。

(简单回顾)

1、平面向量基本定理内容：5=X多媒体展示学生合作通过小结使学

交流总结生加强对知识

1£?]+A,e.

22的记忆，加深

2、对平面向量基本定理的理解对数学思想方

平面向量基本定理的应用：求作向量、解向法的理解，养

量问题、解平面几何问题成总结的好习

六、学习感悟：______________________惯.

巩固新知

提升能力

板书设计：

教学后记：在课堂教学的过程中，作为学生的组织者、引导者，始终采）用启发式，让学

生参与定理本质特征的概括活动，经历定理的形成过程。定理的形成过程一充满矛盾冲突，

这是激发学生学习兴趣与热性的内在条件。定理的形成过程需要生活情.境，最好由学生

自已举例，举例后，还要让学生讲理由，让其它学生来补充，相互启发生动活泼的局

面自然形成。任何一个定理的形成，学生往往都要费很大周折，教师要一努力从学生的认

知水平出发，保证学生参与定理本质特征的概括活动，确保学生有自已I想明白的机会和

时间，这是非常重要的。

教学设计说明：这节课的教学设计体现了如下特点：(1)基于“为学习设计教学”理念

的教学设计则着眼于学生的学，以建构主义学习理论为设计依据，注重让学生经历知识

的发生、发展过程，并在体验中建构知识，形成能力；(2)充分挖掘教材，利用学生已

有的知识经验作为铺垫，在课堂教学中采用问题驱动课堂，通过问题让学生在自主探究、

合作交流中获取知识，培养能力；(3)在传授知识的同时，注重发挥评价的激励作用，

通过多元、多主体的评价，充分调动学生的智力因素与非智力因素，使学生主动获取知

识；

课后练习精编

1、已知UABCD的两条对角线AC与BD交于E,0是任意一点,

求证：OA+OB+OC+OD=4OE

2(1)如图，0A,无不共线，TP=IAB(teR)用方，丽表示丽.

(2)设丽、而不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且

OP=(1—f)Q4+rOB(feR).求证：A,B,P三点共线.

3、已知a=2ei-3e2,b=2ei+3e2,其中ei,e2不共线，向量c=2ei-9e2,问是否存在这

样的实数X、//,使d=+与c共线.？

四、反思

对于教学设计的反思

起初，笔者在教学方法上原来的设计是以教师为主导，平面向量基本定理的出现是由教师直

接给出，在定理给出之后让学生观看例题板演然后练习巩固，可是这样就完全体现不出来新

课程的数学教学理念，因为在新课程的理念中重点强调了，教师在进行数学教学时要充分考

虑到数学学科的特点，针对不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段