数学广角《鸽巢原理》教学案例

数学广角《鸽巢原理》教学案例

一、教学依据

《义务教育课程标准实验教科书》六年级数学下册第五单元第一课时，教学第70

—71页的例1、例2和做一做，练习十二的第2、4题。

二、设计思路

（一）、指导思想

本课通过直观和实际操作，使学生进一步经历“鸽巢原理”的探究过程，并对一些

简单的实际问题“模型化”，从而在用“鸽巢原理”加以解决的过程中，促动逻辑推理

水平的发展，培养分析、推理、解决问题的水平以及探索数学问题的兴趣，同时也使学

生感受到数学思想方法的奇妙与作用，在数学思维的训练中，逐步形成有序地、严密地

思考问题的意识。

（二）、设计理念

激趣是新课导入的抓手，喜欢和好奇心比什么都重要，让学生置身游戏中开始学习，

为理解鸽巢原理埋下伏笔。通过小组合作，动手操作的探究性学习把鸽巢原理较为抽象

难懂的内容变为学生感兴趣又易于理解的内容。特别是对教材中的结论“总有、至少”

等字词作了充分的阐释，协助学生实行较好的“建模”，使复杂问题简单化，简单问题

模型化，充分体现了新课标的要求。

（三）、教材分析

《鸽巢原理》是义务教育课程标准实验教科书数学六年级下册第五单元数学广角的

教学内容。是组合数学中的一个重要原理。这部分教材通过几个直观例子，借助实际操

作，向学生介绍“鸽巢原理”，使学生在理解“鸽巢原理”这个数学方法的基础上，对

一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢原理”加以解决。

（四）、学情分析

学生在生活中常常能遇到“鸽巢原理”的实例，但并不能有意识地从数学的角度来

理解和使用“鸽巢原理”。教学中应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。

六年级的学生都有一定的逻辑思维水平、小组合作水平和动手操作水平，加上已有的生

活经验，很容易感受到用“鸽巢原理”解决问题带来的乐趣。教学时能够借助实物操作

或画草图的方式来指导学生学习。所以我认为例2的目的是使学生进一步理解“尽量平

均分”，能用有余数的除法算式表示思维的过程。

因为要面向农村，所以学生的基础很薄弱，但教材要求要“知其然，更要知其所以

然”，所以在设计上要精致一些，巧妙一些，要循序渐进。

三、教学目标

知识与技能：经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”，会用“鸽巢

原理”解决简单的实际问题。

过程与方法：经历“鸽巢原理”的探究过程，通过操作、观察和探究等过程，掌握

用枚举法、假设法解决要探究的问题，发展学生的数学思维水平。

情感、态度与价值观：通过“鸽巢原理”的探究，激发学生探究数学知识的兴趣，

感受数学的魅力。

四、教学重点：经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。

五、教学难点：理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

六、教具准备：一副扑克牌（取出大王、小王）。

七、学具准备：每组准备5支铅笔和3个文具盒。

八、教学过程：

【一】导入

教师：先来做个小游戏，请5名同学到台前来。向学生介绍：这是一副扑克牌，取

出大王、小王，还剩多少张？知道这副牌有几种花色吗？请5名学生分别抽取一张牌。

教师：每个人抽到的是几，我不知道。但我能够肯定的说：这5张牌中，至少有两

张牌的花色是一样的。让学生理解“至少”，并验证老师猜的对不对。再让学生抽取一

次，教师猜，验证。

教师：如果让这些同学反复抽牌，不管怎样，总是至少有2张牌是同一花色的，你

们相信吗？

引导：老师为什么能做出准确的判断呢？因为啊，这个有趣的游戏中蕴含着一个有

趣的数学原理，这节课，我们就一起研究这个原理。

【二】动手操作，获取新知

（一）动手实践

1、教师引导：这个原理是什么？你们想不想自己通过动手实践来发现它？每个

小组都有4枝铅笔，把它们放进3个铅笔盒中，怎么放？会有几种方法？由此，你

有什么发现吗？自己动手在小组内分一分，画一画，说一说，一会儿全班交流。（学

生动手操作、交流、师巡视、指导）

2、全班交流，学生说自己的分法，师板书在黑板中。并让学生说说自己的发现

（明确：无论怎么分，总有一个铅笔盒至少有2枝铅笔），教师追问：总有是什么

意思？至少有两支呢？

3、师：你们都有这样的发现吗？再找学生说。全班明确：把4枝铅笔放进3个

铅笔盒中，不管怎么放，总有一个铅笔盒中至少有2枝铅笔，这是我们通过实际动

手操作，列举出所有分法之后得出的结论。我们把这种方法称为“枚举法”（板书）

这是数学中常见的一种方法。

4、接着引导：在刚才的分铅笔活动中，你有没有发现，只摆一种或者不摆，也

能得出刚才的结论呢？明确：假设每个铅笔盒中都先放一支，最多放3枝，剩下的

一支不管放进哪一个铅笔盒中，总有一个铅笔盒中至少有2枝铅笔。

5、教师质疑：这种分法，实际就是先怎么分？（平均分）

6、师：这种方法，我们称为“假设法”（板书）先假设每个铅笔盒中都放一支,

余下的一支无论放到哪个铅笔盒中，都会出现“总有一个铅笔盒中至少有2枝铅笔”

的结论。

7、师：既然是平均分，能用算式表示吗？生说，师板书。质疑：这两个1表示

的一样吗？

8、师：接着想：如果把6枝铅笔放进5个铅笔盒中，会出现什么结果呢？（学

生回答，师板书：64-5=1……1学生说想法）

9、师：那如果是把5枝铅笔放进3个铅笔盒呢？（学生想，回答，师板书：5

+3=1……2）7枝铅笔放进4个铅笔盒中呢？（学生回答，师跟着板书）

10、师：观察这组算式，它们有什么共同点？（明确：这些算式中，都是铅笔

的数量比铅笔盒的数量多，商都是1,并且都有余数）

（二）深入研究

1、师：如果商不是1,还会有这种结论吗？请大家想一想，如果把5枝铅笔放进2

个铅笔盒中，会出现什么结果？你可以自己摆一摆，也可以想一想，说一说（学生动手

操作、汇报，明确:5+2=2……1让学生说说怎么想的）

2、师：如果7枝铅笔放进2个铅笔盒中呢？（学生回答，师板书）19枝铅笔放进

4个铅笔盒呢？

3、师：观察这些算式，再观察商，你有什么发现吗？先把你的发现说给小组同学

听听，一会说给全班同学听。（学生小组讨论，汇报明确:

4、师：如果4枝铅笔放进2个铅笔盒中呢？（学生回答，师板书）6枝铅笔放进2

个铅笔盒呢？我们发现了什么？

5、总结规律：当物体的数量比抽屉的数量多时（物体数不是抽屉数的倍数），总

有一个铅笔盒中至少有商+1支铅笔；当物体的数量比抽屉的数量多时（物体数是抽屉数

的倍数），总有一个铅笔盒中至少有商支铅笔。

6、师：我们发现的这一规律，其实就是一个非常著名的数学原理，也是我们今天

研究的“鸽巢原理”。（板书课题）

7、师：鸽巢原理虽然简单，却能解决许多有趣的问题。运用它时，关键是要找出

谁是“抽屉”，谁是“物体”。像刚才的问题中，“铅笔盒”就相当于“抽屉”，“铅

笔”就相当于“物体”。现在，你能利用这一原理解释课一开始时的扑克牌问题了吗？

（学生回答）那你还能利用鸽巢原理解决下面的问题吗？

【三】、利用原理，解决问题

1、8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？

2、有13名小朋友，至少有2名小朋友的生日是同一月份。为什么？

3、有25个苹果，放进7个盘中，至少有4个苹果要放进一个盘中。为什么？

【四】、全课总结

1、学生谈谈自己的收获。

2、师总结。

【五】、作业设计：练习12的第2、4题。

【六】、拓展应用，推荐游戏

“鸽巢原理”在现实生活中引用也是非常广泛的，下面，老师给大家推荐一个扑克

牌游戏：一副扑克牌，取出大王和小王，剩下52张，任意抽出14张扑克牌，至少有几

张扑克牌的数字相同？为什么？

板书设计：

鸽巢原理

一、当物体数〉抽屉数（物体数不是抽屉数的倍数）

物体抽屉（物体数不是抽屉数的倍数）

铅笔铅笔盒总有一个铅笔盒中至少有“商+1”枝铅笔

假设法：44-3=1……

12

64-5=1

12

54-3=1

22

74-4=1

32

54-2=2

13

7+2=3

14