新教材苏教版高中数学 选择性必修第一册 同步试题 3

3.2双曲线

一、单选题

22

1.已知椭圆土+/=1（。＞1）和双曲线'-/=］（加＞0）有相同焦点，则（）

am

A.a=m+2B.m=a+2C.a2=m2+2D.m2=a2+2

【答案】A

2_____

【解析】由题得椭圆上+v=l伍＞1）的半焦距为疝斤，

m

所以y/a-l=y/m+1,:.a-l=m+l,:.a=m+2.

故选：A

2.已知片是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点,且4尸8=60。小片卜3|尸闾,则C的离心率为（）

A.—B.—C.V7D.V13

22

【答案】A

【解析】因为|尸周=3|尸闾，由双曲线的定义可得|3|-|尸周=2朋卜加，

所以|P阊=a,|尸叶=3a；

因为=60。,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2x3a-a-cos60°,

整理可得4/=7/,所以《2=£=?,即6=".

a242

故选：A

3.设尸（xj）是双曲线：-9=1的右支上的点，则代数式一2y+1-+/-6x+9的最小值为

（）

A.VioB.2V5-VWC.V10-V5D.V5+V6-3

【答案】B

2:

［解析］y/x+/_2y+］x2+「_6X+9=Jx?+（yx-^+y＞

22

设/（0,1）,尸（3,0）,上式表示|「/|-|尸",由于双曲线/-?=1的左焦点为尸（-3,0）,尸（3,0）,

双曲线的实轴24=2右,|尸盟=\PF'\-2a=|PF]-245,

\PA\-\PF\=\PA\-\PF'\+2括=一（P/'/杵I卜2人,

\PF'\~\PA\<\AF'|=732+l2=M,当P在尸为的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以

忸/|-庐可=-（阿［-|）+2出的最小值为2加-M.

故选：B

2222

4.已知椭圆£:=+仁=1（°>6>0）,双曲线C2:三一一占「=1,4此为C2的焦点，尸为G和G的交点,

abba-2b

若△尸耳心的内切圆的圆心的横坐标为2,。和C2的离心率之积为则。的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】不妨设点尸在第一象限内，△尸片旦的内切圆与边尸耳片巴，尸鸟的切点分别为48,C,双曲线的焦

则附|一|「工|=（阳|+M团）-（附|+|。闾）=（网+防|）一（网+忸6|）=囱|一|%|=（2+°）-（°-2）=4,

因为点P在双曲线上，所以|尸耳尸周=力=4,则6=2,

又因为。和C?的离心率之积为:，而椭圆的离心率q=、1-与，双曲线的离心率为《2=J1+♦一，，

解得。=4.故选：C.

5.已知双曲线1=1（4>0力>0）的左焦点为R。为坐标原点，M,N两点分别在C的左、右两支

上，若四边形OEMV为菱形，则。的离心率为（）

A.72+1B.V3C.73+1D.272

【答案】C

【解析】由题意尸（P。），四边形为菱形，如图，贝Ijpw卜|cw|=|。川=。且皿//。下

,分别为c的左，右支上的点，设“点在第二象限，N在第一象限.由双曲线的对称性，可得仆=会

过点N作NH，尤轴交x轴于点H,则|CW|=c,\OH\^\MN\=^-\ON\=三,所以NNOH=60。,则卜耳,

2222

所以坐c],所以:一竺=1,则0为2-3,2/=4八2,即eJ8e2+4=0,解得e2=4+2/5,或

UJ4/4厅

e2-4-273，由双曲线的离心率e>l,所以取e2=4+2/5,则e=G+l

故选：C

一

6.设双曲线C:才-1与直线小+尸1相交于两个不同的点413,则双曲线。的离心率e的取

值范围是（）

A.（V2,+oo）B.，血）5血,+8）C.1孚，+00D.£[收,

7

【答案】B

/2=,

【解析】<4Q2，，=>（1-4Q2）%2+8。2、-8。2=0,

x+y=1

21

aw—

4

1-4/片0,2」

所以a<一

A=64a4+4x8a2(l-4a2)>0,2

a>0

e=^1+Te\U(逝+00)，故选：B

丫2丫22

7.已知双曲线C:♦-彳=1(〃〉0乃〉0)的焦点到渐近线的距离为1,且与椭圆土+匕=1有公共焦点.则双

ab82

曲线。的渐近线方程为()

Av.+币x

6•y—x--xB.y=±y/lxC.y=+—xD.y=+y/5x

75

【答案】C

【解析】由题意已知椭圆的焦点坐标为(土指,0),即为双曲线的焦点坐标，双曲线中,=&,

渐近线方程为y=±2x,其中一条为乐-町=0,

a

6,

于是有I、二I=华=1,6=1,a=#)

Ja2+6、A/6

渐近线方程为y=±g

故选：C.

8.方程J(x+10)2+y2—1(x-ioy+V=12的化简结果为()

AT-JiB龙—,C.--^=l(x>0)D.土—匕=l(x>0)

3664643636646436

【答案】C

【解析】解：设4-10,0),S(10,0),P(x,y),

由于动点P(x,y)的轨迹方程为J(x+10)2+y2-^-10)2+/=12,

贝加必H尸西=12,故点P到定点/(-10,0)与到定点8(10,0)的距离差为⑵

则动点尸(叼)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支,

由于2a=12,c=10,贝IJ/=c2-a2=ioo-36=64,

22

故P的轨迹的标准方程为二一匕=l(x>0).

3664

fV2

所以原方程可以化简为主—念二［。〉。）.故选：C

二、多选题

丫2

9.已知双曲线C：—-/-I,下列对双曲线C判断正确的是（）

3-

A.实轴长是虚轴长的2倍B.焦距为4

C.离心率为⑺D.渐近线方程为x土耳=0

【答案】BD

丫2

【解析】,・•双曲线C：］—丁=1・・・/=312=1.・・・，=/+/?2=4.・・。=2.・,・双曲线的实轴长是2〃=26,虚

轴长是26=1,A错误；焦距为2c=4.B正确；离心率为£=型，C错误：渐近线方程为y=±也x,D正

a33

确.

故选：BD

10.已知圆C］：x?+/_10关_10了=0和圆：尤？+y2-6x+2y—40=0贝！］（）

A.两圆相交B.公共弦长为4加

C.两圆相离D.公切线长4而

【答案】AB

【解析】圆G的标准方程为：（x-5y+（y-5）2=50,圆心为（5,5）半径为15立

圆的标准方程为：（x-3）2+（y+l『=50,圆心为（3,-1）半径为々=5近

所以两圆心的距离：d=J（5—3,+［5—（―1）『=2屈,

<4+4，.•.两圆相交，选项A正确，选项C错误；

设两圆公共弦长为、则有：=/（「3=2）

/.L=4V10,选项B正确，选项D错误.

故选：AB

11.已知点点尸是双曲线=1左支上的动点，。是圆。«+4）2+必=；上的动点，则（）

A.C的实轴长为6

B.C的渐近线为y=±乎x

C.|尸的最小值为g

D.|以|-归口的最小值为6-丽

【答案】ACD

【解析】A：由双曲线方程知：«=3,则C的实轴长为6,正确；

B：由双曲线方程知：C的渐近线为y=±日尤，错误；

C：双曲线、圆如下：。(-4,0)为左焦点，当且仅当尸为x轴交点，。为x轴右交点时，|尸。|最小为正确;

D：由尸(4,0)为右焦点，|「尸-|尸。=2。=6,则|尸4-归以=|尸/|+6Tp斤要使|尸/卜|尸必最小只需尸,4尸

共线，止匕时(pHTPDLm=6-Mk=6-aT,正确.

故选：ACD.

12.已知曲线C:二+亡=1,工,外分别为曲线。的左右焦点，则下列说法正确的是()

9m

A.若加=-3,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为(

B.若曲线C的离心率e=2,则加=-27

7T

C.若m=3,则曲线。上不存在点尸，使得N片桃=万

D.若加=3,P为C上一个动点，则△咫工面积的最大值为3也

【答案】ABD

【解析】对于A选项，当冽=-3时，曲线C：《-反=1表示焦点在％轴上的双曲线，渐近线方程为尸土且工,

933

ITSTTTT

故渐近线的倾斜角分别为9,9,所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为£,故A选项正确；

663

对于B选项，离心率e=2,则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，a=3,e=2,故c=6,所以

-m=c2-a2=36-9=27,所以切=-27,故B选项正确；

对于C选项，若机=3,则曲线C:：+[=l表示焦点在X轴上的椭圆，此时/=9,〃=3/2=6,设椭圆C的

短轴的一个顶点坐标为M（0,6）,则cos4即，+;：[分=*_卜0，故/片明为钝角，所以线C

上存在点P,使得/片尸乙=1，故C选项错误；

对于D选项，若加=3,则曲线C:：+[=l表示焦点在x轴上的椭圆，此时/=9,"=3,02=6,p为C上

一个动点，则△尸片大面积的最大值为黑,=Lx2cx6=lx2«x7i=37i,故D选项正确.

故选：ABD

三、填空题

13.双曲线=1（“>0,6>0）的焦距为4,且其渐近线与圆6：（》-2）2+必=1相切，则双曲线G的

标准方程为.

【答案】--/=1

3-

22

【解析】因为双曲线G：]=1（。>0]>0）的焦距为4,所以。=2.

由双曲线£的两条渐近线y=±：x与圆。2：（尤-2）2+y2=l相切，可得1=百左.

34i?2+Z?2=4,所以b=l,a-A/3>

所以双曲线。的标准方程为

故答案为：——y2=1

3

14.与双曲线——V=i有相同的渐近线，且过点（1,2）的双曲线的标准方程为.

【答案】《_£=1

33

【解析】依题意，设双曲线方程为：x2-y2=2（2^0）,于是得4=F-2?=-3,则有/一了2=_3,

所以双曲线的标准方程为片-二=1.

33

故答案为：片-二=1

33

15.若坐标原点O和点厂（-2,0）分别为双曲线二一/=1（°>0）的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任

a

意一点，则方•丽的最小值为.

【答案】3+273

【解析】解：由题意得：

尸(-2,0)是已知双曲线的左焦点

••〃+1=4,即/=3

二.双曲线方程为二-y=1

3

22

设点「(%%),则有气一为2=1("6),解得"2=]__1("向

FP=(%+2,%),OP=(x0,y0),

______,X24x2

0尸/尸=/d+2)+为-=/(/+2)+^—1=-y-+2x0-l

X„>V3

根据二次函数的单调性分析可知函数在［6,+可上单调递增

当X。=V3时，OP-FP取得最小值§x3+-1=3+2A/3,

故答案为：3+273

16.已知尸为双曲线C：=-。~=1(a>0,b>0)的右焦点,。为坐标原点，点A是以。尸为直径的圆

ab

与双曲线C的一个公共点.若点F关于点A的对称点也在双曲线C上，则双曲线C的渐近线的斜率为

【答案】±273

【解析】因点A是以OF为直径的圆与双曲线C的一个公共点，则。4，/尸,

设点厂关于点A的对称点为3,双曲线C的左焦点为P,则CM//F5,有BFUBF，如图,

令|/厂|=加，贝!|=加+2。，\BF\=2m,\BF'\=2m-2a,又|OF|=c,

在RMAF户中，-'『+|由呼=|厂尸『，即（2/-20丫+4/=4<?,

在R/ABP幺中，|8尸'『+|45『=|"/，『，即（2加-2a『+/=（加+20『

（2m—24了+4m2=4c2

于是得（2加-2°）2+〃/=（加+2a）2,解得6=2々°,即2=26,

c2=a2+b2a

所以双曲线C的渐近线的斜率为±2百.

故答案为：±273

四、解答题

17.解答下列两个小题：

22

⑴双曲线£：,-方=l（a>0,6>0）离心率为夜，且点（2,旬在双曲线£上，求E的方程；

22

（2）双曲线C实轴长为2,且双曲线C与椭圆工+乙=1的焦点相同，求双曲线C的标准方程.

84

【解析】⑴由6=及，得£=近，即°="?，

a

又/=,2./=（扬）2_/=/,即q=b,

双曲线£的方程即为，-，=1,点（2,后）坐标代入得:-。=1,解得/=2.

所以，双曲线E的方程为巨-片=1.

22

22

（2）椭圆条+亍=1的焦点为（±2,0）,

22

设双曲线。的方程为刍-1=1（°>0,6>0）,

所以2。=2,且/+从=4,

所以a=l,b2=3

所以，双曲线C的方程为/-尤=1,

3

18.根据下列已知条件求曲线方程.

⑴求与双曲线口三=1共渐近线且过次26,-3）点的双曲线方程；

169

22

（2）求与椭圆］+/=1有相同离心率且经过点（2,-73）的椭圆方程.

【解析】（1）设与双曲线,-：=1共渐近线的双曲线方程为：（-：="4片0）

■丁点省26,-3）在双曲线上,

1291

..x=-----=—

1694

22

221Ui

，所求双曲线方程为：土y-匕v=-L即/—W.

16947

4

22

⑵若焦点在X轴上，设所求椭圆方程为'+々=（＞0）,将点（2,-6）代入，得7=2,

故所求方程为Y+E=l.

OO

若焦点在y轴上，设方程为］+：="％＞0）代入点（2,-右），得2=||，

W

2525.

T了

2

19.已知点与、网,为双曲线C:X2-%=1（6＞0）的左、右焦点，过鸟作垂直于x轴的直线，在x轴的上方

交双曲线C于点M,且/孙8=30。.

（1）求双曲线C的方程;

（2）若直线/过点（0,1）且与双曲线C交于A、8两点，若A、B中点的横坐标为1,求直线/的方程;

（3）过双曲线C上任意一点尸作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为4、P2,求证：而「而2为定值.

【解析】（1）由双曲线的方程可得4=1,

在直角三角形孙外中，ZMFtF2=30°,MFJFE，

可得|町|=2|峥S.\MFl\-\MF2\=2a=2,

解得|加用=2,乂|峥|=?=尸，

所以/=2,

则双曲线的方程为》2-片=1：

2

（2）由题意可得直线/的斜率存在，设为左，直线/的方程为＞=履+1,

y=kx+l

联立可得（2_/卜2_2而_3=0,

2x2-y2=2

△=4/+i2（2-/）＞0,解得一右〈人

设A,3的横坐标分别为A，4，则占+X2==y

2-k

由A、3中点的横坐标为1,可得「忍=1,

2-k

解得左=1或-2(舍去),

所以直线/的方程为y=x+i；

(3)证明：设尸(〃?,〃)，贝!!2/一/=2,

'm+6n41m+In

解得4

解得△［邛3★祖,

I3JJ

所以西•两二

4m*2—2n2+n2-2m2

9

_2m2-n2_2

------------——，

99

—►—►2

即心•阴

22py

20.已知双曲线U=-2=l(a>0,10)的离心率为2,右顶点。到一条渐近线的距离为组.

ab2

⑴求双曲线C的方程；

(2)若直线/与双曲线C交于42两点，且火•砺=0,0为坐标原点，点。到直线/的距离是否为定值？若是,

求出这个定值；若不是，请说明理由.

【解析】⑴

由题意，得双曲线C的渐近线方程为/=±2》,

a

右顶点为。g,o).又/+62=,2,

所以£故6=技

又。2+3=4。2,解得。2=1，

所以双曲线C的方程为/-且=1.

3

⑵

设，（再,））3（*2，%）

当直线/和轴线平行时，国=闻，同=必，解得㈤=闻=叼=回=手，

所以点。到直线/的距离为1

2

当直线/和轴线不平行时，

设直线I的方程为x^my+t,

「2

2_匕=]

由彳3一，得（3〃/-1）/+6/。+3产一3=0,

x=my+t

A=（6加>-4（3加2-1）（3/2-3）=12（3疗+〃一1）>o,

3d—3

所以必+%=q6｝，%%=

3m-13m2-1

又再=myl+t,x2=my2+’,

所以04・08=石毛+K外=（my\+。（加%+和+乂％<洸-4）乂%+哦K+耳+彳=0,

（m2+l）（3t2-3）-6m2t2+t2（3m2-1

得=0,

3m2-1

解得2〃=3/+3.

又点0到直线I的距离为d=~^=

7m+1

产3故心手

贝！—

m+12

所以点O到直线/的距离为定值逅.

2

2222

21.已知椭圆£:=+4=1,双曲线尸:土-匕=1,设椭圆E与双曲线尸有相同的焦点，点

a2b262

（36I、

B一己一，5分别为椭圆E与双曲线下在第一、二象限的交点.

I乙）

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线48与y轴相交于点M,过点M作直线交椭圆E于P，。两点（不同于A,B）,求证：直线/P

与直线8。的交点N在一定直线上运动，并求出该直线的方程.

【解析】(1)因为椭圆E与双曲线下有相同的焦点，所以=6+2=8,

将点/乎』代入椭圆方程得总+)=1,

联立两式解得，1=9,b2=\,所以椭圆E的标准方程为：y+y2=l.

(2)依题意，直线尤=；,则点M坐标为(0,；),直线尸。与直线不重合，于是得直线尸。的斜率

不为0,

19/72

设直线尸0的方程为X=加(y—j),由'M(m2+9)/-m2)；+—-9=0,

2x=m(y-^)4

设爪-Of)'N(”°),则…「仁，5=下新

3733>/3yL3/3_3百

由A,P,N共线得：上孑二上孑」即:尤。一〒373

-----=m----------

1112y,-1y-12乂-1

y°~2%一2%—2为2

尤

同理，由3,Q,N共线得：-~邓4=加+*-

_12%-1

州v2

1

两式相减并整理得，f22(…)+「从而得解得为=2,

2m2+9m2+9

综上所述，直线/尸与直线8。的交点N在定直线歹=2上运动.

22

22.已知双曲线。：「-2=1(。＞0,10)的右焦点为厂(2,0),渐近线方程为＞=±底.

ab

(1)求C的方程；

(2)过尸的直线与。的两条渐近线分别交于/,8两点，点尸(士,乂),。(尤2，%)在。上，且七＞%＞0,%＞0.过

产且斜率为-G的直线与过。且斜率为囱的直线交于点M从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一

个成立：

①“在上；©PQ//AB.③“

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】(1)右焦点为尸(2,0),...c=2,；渐近线方程为y=±瓜，；.2=6,.•"=6°,二

a

C2=/+/）2=船2=4,a=l,.•.b=VL，c的方程为：/-匕=1；

3

（2）由已知得直线尸。的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由

②成立可知直线43的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段的中点，假若直线的斜率不

存在，则由双曲线的对称性可知”在x轴上，即为焦点尸，此时由对称性可知尸、。关于x轴对称，与从而

占