新人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量运算的坐标表示培优练习题

1.3.2空间向量运算的坐标表示

学习指导核心素养

1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表

1数.学运算：空间向量的坐标运算.

示.

2.逻辑推理：利用空间向量的坐标运算

2.掌握空间向量数量积的坐标表示，并

解决平行、垂直、夹角和距离问题.

利用数量积判断两向量的共线与垂直.

寸必备知识?落1实

知识点一空间向量的坐标运算

设a=(ai,Q2,G),b=(b\,bi,胃),则

a+b=（ai+bi,。2十历，。3十加）；

a—b=(ai-bi,。2—岳，。3一九);

Xa=(痴，筋2,GR)；

ab=。仍1+。2。2十。383.

。即时训练

1.已知向量。=（3,—2,1),6=(—2,4,0)，贝I4a+26=()

A.(16,0,4)B.(8,-16,4)

C.(8,16,4)D.(8,0,4)

解析：选D.依题意,知4a+26=4(3,—2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,

4)+(-4,8,0)=(8,0,4),故选D.

2.已知”=(1,1,0),力=(0,1,1),则a-(-2Z,)=,(a-by(2a

—3方）=

解析：a,(一26)——2a,b=-2(0+1+0)=—2,a—6—(1,0,—1),2a—3b

=2(1,1,0)-3(0,1,1)=(2,-1,-3).所以(a—6>(2。-36)=(1,0,-1).(2,

—1,—3)=2+3=5.

答案：一25

3.已知点A(l,2,1),B(-l,3,4),0(1,1,1),若办=2丽，则而

的坐标是

解析：设尸(x,y,z),因为A(l,2,1),B(-l,3,4),

所以AP=(x—1,y—2,z—1),PB=(—1—1，3—y,4—z).

因为AP=2PB,即(x—1,y—2,z—1)=2(—1—x,3—y,4—z),

x-]=-2—2x,

[8

y—2=6—2y,解得无=_Q,y=g,z=3,

{z—l=8—2z,

即点P坐标为(一g,J,3),

又。(1,1,1),

所以PD=(1+,1--，1-3)=住,—J,-2).

答案：住一I，一2)

知识点二空间向量的平行、垂直及模'夹角

若ar0,5W0,a=(ai,ai,ai),b=(b\,bi,hi),则

共线CL//a=4?【_,a2.=Zb2,。3_=:加(2WR)

垂直a±b=ab=0=a+a2b2+a3b3=0

向量

\a\=、/辟+段+海

长度

向量夹gb__________Qlbl+a2〃2+c73〃3________

q*+*+*q尻+虎+孱一

角公式

空间两点间的距离公式：设Pi(xi,yi,zi),P2(xi,yi,Z2)是空间中任意两点,

贝UP\P1=(X2—XI,丫2—yi,Z2-Zl).P\P2=IP1P2I=

、l(X2—XI)2+(V2—V1)2+(Z2—Z1)

EI1]已知a=(l,5,-1),6=(-2,3,5).

(1)当(〃+»〃(。一3方)时，求实数2的值；

(2)当(a-3»_L(%+))时，求实数2的值.

【解】因为。=(1,5,-1),。=(一2,3,5),

所以a—3方=(1,5,-l)-3X(-2,3,5)=(1,5,-l)-(-6,9,15)=

(7,-4,-16),

Aa+*=A(1,5,-l)+(-2,3,5)=(2,52,T)+(—2,3,5)=(A-2,5z

+3,—2+5).

(1)因为Qa+A)〃(a—3力，

A—252+3—2+5j

所以7=_4=_]6，解得％=-g.

(2)因为3—3加，(〃+加，

所以(7,—4,—16)-(A—2,54+3,—2+5)=0,

即7a—2)—4(52+3)—16(—A+5)=0,解得％=3-

[1题技巧---------------------------------

向量平行与垂直问题的两种类型及解法

(1)平行与垂直的判断

①应用向量判断两直线平行，只需要判断两直线的方向向量是否共线；

②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两

向量的数量积是否为0.

(2)利用平行与垂直求参数

①适当引入参数(比如向量明力平行，可设。=劝)，建立关于参数的方程；

②选择坐标形式，以达到简化运算的目的.

＜跟踪训练在正方体ABCD-AiBG。中，若E为4a的中点，证明：

CELBD.

证明：建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1.

则8(1,1,0),C(0,1,0),0(0,0,0),年，1)，

所以走=6，1],BD=(—1,-1,0).

因为丽•筋=1x（—1）+（一，X（-D+1XO=O,所以CE_L3D

关键能力一提升

考点一利用空间向量计算夹角

ET21如图，在棱长为1的正方体A8CD-4B1C1O1中，

E,F,G分别是。Di,BD,83的中点.求异面直线以7与

CG所成角的余弦值.

【解】以。为坐标原点，分别以汤，DC,由)i的方

向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则

加,0,I),C(0,1,0),星,0),G(l,1,

B

因为辟=@,=一乡，花=(1，0,乡，

所以丽花=91+2x0+H]X2=^序="修，5+(一/=坐,

X

0=亭，所以c°s〈曲，CG>_寿&_a_正

\CG\=\12+02+

\EF]\CG\乎X,15'

所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为曙.

[1题技巧---------------------------------

利用向量坐标求异面直线所成角的步骤

⑴根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；

(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；

(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转

化为异面直线所成的角.

<跟踪训练若△ABC的三个顶点分别为A(0,0,啦)，<一坐啦)，

c(-l,0,啦),则角A的大小为.

解析：AB=(—坐,g,0),AC=(—1,0,0),贝IcosA=cos<Aff,AC>

ABAC=半，因为0°<NA<180。，故角A的大小为30°.

答案：30°

考点二利用空间向量计算距离

画⑶如图，已知鬼垂直于正方形ABCO所在的平面,

M,N分别是AB,PC的中点，且%=4。=2.求M,N两点

之间的距离.

【解】以A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示.

由题意得M(0,1,0),N(T,1,1),

所以砺=(一1,0,1),故M,N两点之间的距离为|而V|=

yj(—1)2+02+12=啦.

[I题技巧------------------------------

利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤

(1)建立适当的空间直角坐标系；

(2)求出线段端点的坐标;

(3)利用两点间的距离公式求出线段的长.

《跟踪训练如图，正方形ABC。，ABEE的边长都是1,

而且平面ABC。，ABER互相垂直，点M在AC上移动，点N在

8户上移动，若CM=BN=a(0〈aV巾).

⑴求MN的长；

(2)当a为何值时，MN的长最小？

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(l,0,0),

Hl,1,0),C(0,0,1).

因为CM=BN=a(0<a<y]2),

且四边形ABC。，ABEF均为正方形,

所以，乎“，o,1—乎才，

从多，乎a,0).

所以说V=fo,乎a,乎a—1),

所以|说V|=同屋一啦」+i.

(2)由(1)知MN=q(a—甯(0Va<啦),

A/2\[2

所以当<7=2时，MNmm^2■

5

即M,N分别移动到AC,8尸的中点时，MN的长最小，最小值为晋.

课堂巩固0自测

1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O为坐标原点，若函=AB,则

点B的坐标应为()

A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)

C.(1,—3,3)D.(一9,—1,—1)

解析：选B.而=油=时-OA,0B=丽+OA=(9,1,1),故选

B.

2.已知a+b=(2,-\[2,2y/3),a—6=(0,/，0),则cos〈a,b)=()

1

A-

B.6

。3u-6

解析：选C.由已知得。=(1,6，小)，6=(1,0,小),所以cos<a,

a・b1+°+3逅

一|如例—#义币~3'

3.已知向量。=(1,1,0),b=(—1,0,2),且&r+)与2a一方互相垂直,

则k=()

7

A.5B.1

C.|D.|

解析：选A.因为a=(l,1,0),6=(-1,0,2),

所以=—1,k,2),2a—b=(3,2,—2),

又因为ka+b与2a—b互相垂直，所以(攵。+力),(2a—〃)=0,即3Z—3+2Z—4

7

=0,解得k=q.

4.若向量a=(l,-1,2),b=(2,1,-3),贝I」|2Q+"=.

解析：由于向量。=(1,—1,2),5=(2,1,—3),所以2a+b=(4,—1,

1).

+b\="\J42+(—1)2+l2=y[lS=3啦.

答案：3y[2

5.已知A(3,3,1),B(l,0,5),弟，1,2).

(1)求线段AB中点。的坐标；

(2)证明：CO_L43,且AC=8C

解：(1)设4B的中点。的坐标为(x,y,z),则丽=1(OA+OB)=g[(3,

3,1)+(1,0,5)]=(2,|,3J,

所以点O的坐标为(2,|,3).

3\/3

2\证明2-3)-

z1=2/-I4

AB=访-OA=(1,0,5)-(3,3,1)=(一2,-3,4),

所以⑦AB=仔，1).(-2,-3,4)

5153

=4X(-2)+]X(-3)+lX4=-2-2+4=0.

所以&LAB,即COLAB.

AC=\CA|=A/(3-1Y+(3-1)2+(1-2)2=、怪+5=

A/10+16,

BC=\CB|=A/fl-1Y+(0-1)2+(5-2)2

弋表+1+9=410+*.所以AC=BC.

课后达标R检测

[A基础达标]

1.已知a=(l,0,1),6=(-2,-1,1),c=(3,1,0),贝i」a—5+2c=()

A.(-9,-3,0)B.(0,2,-1)

C.(9,3,0)D.(9,0,0)

解析：选C.a-b+2c=(l,0,l)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)

+(6,2,0)=(9,3,0).

2.(2022•绍兴高二月考)已知点A(〃，n~\,2〃)，B(l,~n,"),则|曲|的

最小值为()

A.1B.孚

C.2D.不存在

解析：选B.由题意可得磊=(1一〃，-2n+1,一〃)，所以|施|=

yj(1—»)2+(―2z/+l)2+(―n)2--\^6»2—6zz+2=\J,当

]I?

“=万时，|曲|取最小值，最小值为净.故选B.

3.已知。=(1,2,~y),b=(x,1,2),且(a+2»〃(2a—5),则()

A.光=§,y=lB.x=2，y=-4

1

-D1

cy=-4=1y=

解析：选B.由题意知，a+2b=(2x+1,4,4—y),2a—b=(2—x,3,—2y

-2).

因为(a+2b)〃(2a—5)，

所以存在实数%,使a+25=2(2a—A),

r._4

'2x+l=/l(2-x),A~3,

所以＜4=3九解得＜1

x-2，

4-y=A(-2^-2),

ly=-4.

4.(多选)(2022•德州高二检测)已知向量a=(l,-1,m),6=(-2,m~\,

2),则下列结论中正确的是()

A.若|a|=2,则m=±\f2

B.若a_L5，则机=—1

C.不存在实数九使得。=劝

D.若a-b=-1,则“+/＞=(—1,—2,-2)

解析：选AC.由⑷=2,可得N用+(-1)2+酎2=2,解得机=/,故A

选项正确；由生可得一2—〃?+1+2加=0,解得机=1,故B选项错误；若

p=-2/l,

存在实数人使得a=肪，则＜-1=丸(m-1),显然义无解，即不存在实数九

j%=22,

使得故C选项正确；若a"=—1,则一2—m+1+2机=—1,解得m=0,

于是。+5=(-1,-2,2),故D选项错误.

5.已知空间三点A(l,1,1),B(-l,0,4),C(2,-2,3),则篇与的

的夹角的大小是.

解析：因为屈=(一2,-1,3),CA=(—1,3,-2),

(-2)X(-1)+(-1)X3+3X(-2)

cos<AB,CA>

714X^14

=一；,所以〈屈，CA＞-120°.

答案：120。

6.已知点A«+l,〃-1,3),8(2九〃，/一2〃)，C(A+3,〃一3,9)三点共

线，贝!)实数％=,〃=•

解析：因为麴=(2—1,1,A-2//-3),

2—11

AC=(2,-2,6),由A,B,。三点共线，得显//AC,即行一

2—2//—3

,解得2=0,〃=0.

答案：00

7.已知向量a=(2,-1,-2),b=(l,1,-4).

⑴计算2a—3。和3一3例；

⑵求(a,b).

解：(1)因为向量a=(2,-1,-2),6=(1,1,-4),

所以2a—3b=2(2,-1,-2)-3(l,1,-4)

=(4,-2,-4)-(3,3,-12)=(1,-5,8),

所以|2a—3勿="12+(一5)2+82=35.

小、Lab9^2

⑵cos〈％b>=丽=2-

兀

因为(a,b>G[0,7t],所以〈%b>=].

[B能力提升]

8.(2022•山东师大附中高二月考)已知向量a=(l,2,2),6=(一2,1,1),

则向量》在向量。上的投影向量为()

(244、(244、

A.1一§，一§，-9JB.&g,可

C.(一多I，D.停,一/-1)

解析：选B.因为a=(l,2,2),6=(-2,1,1),所以a力=-2Xl+2Xl

+2X1=2,|«|=-^12+22+22=3,

(—2)2+12+12=#,

”,ab22^6

所以cos<«,b>=丽=森诉=9.

所以向量〃在向量a上的投影向量为

步|cos<a,b>*=^6X坐x|X(l,2,2)=除§.故选B.

9.(多选)(2022•山东师大附中高二月考)已知空间三点A(—l,0,1),3(—1,

2,2),C(-3,0,4),则下列说法正确的是()

A.ABAC=3B.AB//AC

C.|BC|=2小D.cos(AB,AC)=而

解析：选AC.因为C一为0,1),B(-l,2,2),C(-3,0,4),

所以屈=(0,2,1),AC=(-2,0,3),BC=(一2,-2,2).

因为拔-AC=0X(-2)+2X0+lX3=3,

所以A正确.

因为不存在实数晨使得筋=沅，

所以麴，AC不共线，所以B错误.

因为|诙|=、(-2)2+(-2)2+22=2小,所以C正确.

--►ABAC33病

因为cos

\AB\\AC\V5XV>365

所以D错误.故选AC.

10.(2022•济宁高二月考)设尤，yGR,向量a=(x,1,1),b=(l,y,1),c

=(2,-2,2),且。，。，b//c,则|a+M=.

解析：因为a_Lc,所以〃,c=2x—2+2=0,解得x=0.