高中数学第一章三角函数1-3三角函数的图象和性质1-3-2三角函数的图象与性质教案苏教版必修4-

1.3.2三角函数的图象与性质eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))教学分析研究函数的性质常常以直观图象为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．正弦函数、余弦函数的教学也是如此．先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质．显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求．由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位．这是对数学思考方向的一种引导．由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．三维目标1．通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成对正弦、余弦以及正切函数的初步认识，了解这三种曲线的准确作法．经历正弦、余弦、正切函数的性质的探索过程，熟练掌握这三种函数的性质．在探索学习的过程中，使学生养成善于发现、善于探究的良好习惯．学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力．2．通过学习本节，理解正弦、余弦、正切函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系，加深学生对数形结合这一数学思想的认识．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．3．组织学生通过观察这三种函数的图象归纳出三种函数的性质，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣．通过学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦，树立科学的辩证唯物主义观．重点难点教学重点：1.会画正弦、余弦、正切函数的图象．2．掌握正弦、余弦、正切函数的性质及应用．教学难点：1.利用正弦线、正切线画正弦、正切函数的图象；由诱导公式和正弦曲线画余弦函数的图象．2．正弦、余弦、正切函数性质的应用．课时安排3课时eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))第1课时导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然的想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们的图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？进而引导学生通过取值，画出当x∈[0,2π]时y＝sinx的图象．思路2.(情境导入)指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．有了上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象？画函数的图象，最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法，但不够精确．下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))教师先让学生阅读教材、思考讨论．为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x轴上标横坐标？为什么将单位圆分成12份？学生思考探索仍不得要领时，教师可进行适时的点拨．只要解决了y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，就很容易得到y＝sinx，x∈R时的图象了．第一步，可以想象把单位圆圆周剪开并12等份，再把x轴上从0到2π这一段分成12等分．由于单位圆周长是2π，这样就解决了横坐标问题．过⊙O1上的各分点作x轴的垂线，就可以得到对应于0、eq\f(π,6)、eq\f(π,3)、eq\f(π,2)、…、2π等角的正弦线，这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”)．第二步，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，这就得到了函数对(x，y)(相当于“描点”)．第三步，再把这些正弦线的终点用平滑曲线连结起来，我们就得到函数y＝sinx在[0,2π]上的一段光滑曲线(相当于“连线”)．如图1所示(这一过程用课件演示，让学生仔细观察平移和连线过程．然后让学生动手作图，形成对正弦函数图象的感知)．这是本节的难点，教师要和学生共同探讨．图1因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx在x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0上的图象与函数y＝sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致，只是位置不同．于是我们只要将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．(这一过程用课件处理，让同学们仔细观察整个图的形成过程，感知周期性)．图2教师引导学生观察诱导公式，思考探究正弦函数、余弦函数之间的关系，通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象？让学生从函数解析式之间的关系思考，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法．让学生动手做一做，体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同，感知两个函数的整体形状，为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础．把正弦函数y＝sinx，x∈R的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可得到余弦函数图象，如图3.图3正弦函数y＝sinx，x∈R的图象和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象，发现在[0,2π]上有五个点起关键作用，只要描出这五个点后，函数y＝sinx在[0,2π]上的图象的形状就基本上确定了．这五点如下：(0,0)，(eq\f(π,2)，1)，(π，0)，(eq\f(3π,2)，－1)，(2π，0)．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就可快速得到函数的简图．这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的，要求熟练掌握．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))例1课本本节例1.变式训练1．画出下列函数的简图：(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．解：(1)按五个关键点列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101＋sinx12101描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图4).图4(2)按五个关键点列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－101－cosx－1010－1描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图5)．图5点评：“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化．本例的目的是让学生熟悉“五点法”．如果是多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会令人满意，切不可教师画图学生看．2.在给定的直角坐标系如图6中，作出函数f(x)＝eq\r(2)cos(2x＋eq\f(π,4))在区间[0，π]上的图象．解：列表取点如下：x0eq\f(π,8)eq\f(3π,8)eq\f(5π,8)eq\f(7π,8)π2x＋eq\f(π,4)eq\f(π,4)eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πeq\f(9π,4)f(x)10－eq\r(2)0eq\r(2)1描点连线作出函数f(x)＝eq\r(2)cos(2x＋eq\f(π,4))在区间[0，π]上的图象如图7.图6图7例2画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．活动：教师引导学生观察探究y＝sinx的图象并思考|sinx|的意义，发现只要将其x轴下方的图象翻上去即可．进一步探究发现，只要画出y＝|sinx|，x∈[0，π]的图象，然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y＝|sinx|，x∈R的图象．让学生尝试寻找在[0，π]上哪些点起关键作用，易看出起关键作用的点有三个：(0,0)，(eq\f(π,2)，1)，(π，0)．然后列表、描点、连线，让学生自己独立操作完成，对其失误的地方再予以纠正．解：按三个关键点列表：x0eq\f(π,2)πsinx010y＝|sinx|010描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图8)．图8点评：通过本例，让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义，并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系.变式训练1．方程sinx＝eq\f(x,10)的根的个数为()A．7B．8C．9D．10解：这是一个超越方程，无法直接求解，可引导学生，考虑数形结合的思想方法，将其转化为函数y＝eq\f(x,10)的图象与y＝sinx的图象的交点个数问题，借助图形直观求解．解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象．如图9，从图中可看出，两个图象有7个交点.图9答案：A2．用“五点法”作函数y＝2sin2x的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是()A．0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2πB．0，eq\f(π,4)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，eq\f(π,6)，eq\f(π,3)，eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)答案：Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))课本本节练习2、3.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善．1．怎样利用“周而复始”的特点，把区间[0,2π]上的图象扩展到整个定义域的？2．如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线？这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移交换法得到．“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))课本习题1.32.eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))1．本节课操作性强，学生活动量较大．新课从实验演示入手，形成图象的感知后，升级问题，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识．问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念．如用多媒体课件，则可生动地表现出函数图象的变化过程，更好地突破难点．2．本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．eq\o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))备用习题1．用“五点法”画出下列函数的图象：(1)y＝2－sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝eq\f(1,2)＋sinx，x∈[0,2π]．2．方程2x＝cosx的解的个数为()A．0B．1C．2D．无穷多个3．图10中的曲线对应的函数解析式是()图10A．y＝|sinx|B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|4．根据y＝cosx的图象解不等式：－eq\f(\r(3),2)≤cosx≤eq\f(1,2).参考答案：1.解：按五个关键点列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝2－sinx21232y＝eq\f(1,2)＋sinxeq\f(1,2)eq\f(3,2)eq\f(1,2)－eq\f(1,2)eq\f(1,2)在直角坐标系中描出这五个点，作出相应的函数图象，如下图所示．(1)如图11.图11(2)如图12.图122．D3.C4．解：如图13.图13解集为{x|2kπ＋eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z}或{x|2kπ＋eq\f(7π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,3)，k∈Z}．二、潮汐与港口水深我国东汉时期的学者王充说过：“涛之兴也，随月盛衰”．唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中，更有“春江潮水连海平，海上明月共潮生”这样的优美诗句．古人把海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”．实际上，潮汐与月球、地球都有关系．在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落．由于潮汐与港口的水深有密切关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用．例如，某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下：t03691215182124d57.552.557.552.55(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示)，观察它们的位置关系，不难发现，我们可以选用正弦型函数d＝5＋2.5sineq\f(π,6)t，t∈[0,24)来近似地描述这个港口这一天的水深d与时间t的关系，并画出简图(如图14)．图14由此图或利用科学计算器，可以得到t取其他整数时d的近似值，从而把上表细化．(2)利用这个函数及其简图，例如这一年农历八月初二或九月初一，假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(即船底与水底的距离)，那么根据5.5≤d≤7.5，就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久．如果此船从凌晨2时开始卸货，吃水深度由于船减少了载重而按0.3m/h的速度递减，还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域．不同的日子，潮汐的时刻和大小是不同的．农历初一和十五涨的是大潮，尤以八月十五中秋为甚．以上的估算必须结合其他数据一起考虑，才能加以科学利用．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sinx，y＝cosx是函数，我们当然也要探讨它的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))由正弦函数、余弦函数图象归纳它们的性质，并利用正、余弦函数的性质解决一些简单的问题．在研究正弦、余弦函数图象与性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕；很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明：∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sinx|≤1，|cosx|≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y＝sinx，x∈R：(1)当且仅当x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.(2)当且仅当x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.对于余弦函数y＝cosx，x∈R：(1)当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.(2)当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.关于正、余弦函数的变化趋势教师可引导、点拨学生先截取一段图象来看，选哪一段呢？如图1，通过学生充分讨论后确定：选图象上的[－eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．这个变化情况也可从下表中显示出来：x－eq\f(π,2)…0…eq\f(π,2)…π…eq\f(3π,2)sinx－1↗0↗1↘0↘－1就是说，函数y＝sinx，x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]．当x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；当x∈[eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.类似地，同样可得y＝cosx，x∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图3，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图3并引导学生列出下表：x－π…－eq\f(π,2)…0…eq\f(π,2)…πcosx－1↗0↗1↘0↘－1结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.关于对称性，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．在R上，y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，∴y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x＝eq\f(π,2)对称，余弦曲线还关于点(eq\f(π,2)，0)对称，等等，这是由它的周期性而来的；教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习打下伏笔．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y轴的位置改变，使增、减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．由此可看出，图象的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响？最后教师与学生一起归纳总结并填写如下表格(或打出幻灯)：eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1课本本节例2.变式训练下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y＝cosx＋1，x∈R；(2)y＝－3sin2x，x∈R.解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最小值的x的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}.函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0.(2)令z＝2x，使函数y＝－3sinz，z∈R取得最大值的z的集合是{z|z＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z}；由2x＝z＝－eq\f(π,2)＋2kπ，得x＝－eq\f(π,4)＋kπ.因此使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是{x|x＝－eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z}．同理，使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是{x|x＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z}．函数y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x的值却不惟一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B的函数，一般通过变量代换(如设z＝ωx＋φ化归为y＝Asinz＋B的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用.例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－eq\f(π,18))与sin(－eq\f(π,10))；(2)cos(－eq\f(23π,5))与cos(－eq\f(17π,4))．活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为在同一个单调区间，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－eq\f(π,2)<－eq\f(π,10)<－eq\f(π,18)<0，正弦函数y＝sinx在区间[－eq\f(π,2)，0]上是增函数，所以sin(－eq\f(π,18))>sin(－eq\f(π,10))．(2)cos(－eq\f(23π,5))＝coseq\f(23π,5)＝coseq\f(3π,5)，cos(－eq\f(17π,4))＝coseq\f(17π,4)＝coseq\f(π,4).因为0<eq\f(π,4)<eq\f(3π,5)<π，且函数y＝cosx，x∈[0，π]是减函数，所以coseq\f(π,4)>coseq\f(3π,5)，即cos(－eq\f(23π,5))<cos(－eq\f(17π,4))．点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，coseq\f(π,4)>0，coseq\f(3π,5)<0，显然大小可判．例3见课本本节例3.变式训练求函数y＝sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3))，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)看作z，这样问题就转化为求y＝sinz的单调区间问题，而这就简单多了．解：令z＝eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3).函数y＝sinz的单调递增区间是[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ]．由－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(5π,3)＋4kπ≤x≤eq\f(π,3)＋4kπ，k∈Z.由x∈[－2π，2π]，可知－2π≤－eq\f(5π,3)＋4kπ且eq\f(π,3)＋4kπ≤2π，于是－eq\f(1,12)≤k≤eq\f(5,12)，由于k∈Z，所以k＝0，即取k＝0，得－eq\f(5π,3)≤x≤eq\f(π,3).而[－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)][－2π，2π]，因此，函数y＝sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,3))，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)]．点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化.思路2例1求下列函数的定义域：(1)y＝eq\f(1,1＋sinx)；(2)y＝eq\r(cosx).活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当地指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1，即x≠eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)．∴原函数的定义域为{x|x≠eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z}．(2)由cosx≥0，得－eq\f(π,2)＋2kπ≤x≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．∴原函数的定义域为[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)．点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y＝sin(x＋eq\f(π,4))的单调增区间是()A．[eq\f(π,2)，π]B．[0，eq\f(π,4)]C．[－π，0]D．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]活动：函数y＝sin(x＋eq\f(π,4))是一个复合函数，即y＝sin[φ(x)]，φ(x)＝x＋eq\f(π,4)，欲求y＝sin(x＋eq\f(π,4))的单调增区间，因φ(x)＝x＋eq\f(π,4)在实数集上恒递增，故应求使y随φ(x)递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x＋eq\f(π,4)看成一个整体，其道理是一样的．解：∵φ(x)＝x＋eq\f(π,4)在实数集上恒递增，又y＝sinx在[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)上是递增的，故令2kπ－eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2).∴2kπ－eq\f(3π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(π,4).∴y＝sin(x＋eq\f(π,4))的递增区间是[2kπ－eq\f(3π,4)，2kπ＋eq\f(π,4)]．取k＝－1、0、1分别得[－eq\f(11π,4)，－eq\f(7π,4)]、[－eq\f(3π,4)，eq\f(π,4)]、[eq\f(5π,4)，eq\f(9π,4)]，对照选择肢，可知应选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y＝Asin(ωx＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：(1)求定义域；(2)确定复合过程，y＝f(t)，t＝φ(x)；(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性；(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x的式子，并求出x的范围；(5)得到x的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．结论：对于复合函数的单调性，可以直接根据构成函数的单调性来判断.变式训练1．函数y＝sin(2x＋eq\f(5π,2))的图象的一条对称轴方程是()A．x＝－eq\f(π,2)B．x＝－eq\f(π,4)C．x＝eq\f(π,8)D．x＝eq\f(5π,4)解析：方法一：y＝sin(2x＋eq\f(5π,2))的所有对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)－π(k∈Z)，令k＝1，得x＝－eq\f(π,2)，对于B、C、D都无整数k对应．方法二：y＝sin(2x＋eq\f(5π,2))＝cos2x，它的对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，令k＝－1，得x＝－eq\f(π,2)，对于B、C、D都无整数k对应．答案：A2．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么()A．T＝2，θ＝eq\f(π,2)B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝πD．T＝1，θ＝eq\f(π,2)解析：T＝eq\f(2π,π)＝2，又当x＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sinθ，要使上式取得最大值，可取θ＝eq\f(π,2).答案：A3．求函数y＝eq\f(1,2)sin(eq\f(π,4)－eq\f(2x,3))的单调递减区间及单调递增区间．解：y＝eq\f(1,2)sin(eq\f(π,4)－eq\f(2x,3))＝－eq\f(1,2)sin(eq\f(2x,3)－eq\f(π,4))，由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(2x,3)－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，可得3kπ－eq\f(3π,8)≤x≤3kπ＋eq\f(9π,8)(k∈Z)为单调减区间；由2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(2x,3)－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，可得3kπ＋eq\f(9π,8)≤x≤3kπ＋eq\f(21π,8)(k∈Z)为单调增区间．所以原函数的单调减区间为[3kπ－eq\f(3π,8)，3kπ＋eq\f(9π,8)](k∈Z)；原函数的单调增区间为[3kπ＋eq\f(9π,8)，3kπ＋eq\f(21π,8)](k∈Z).eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))课本练习1、4、5、6、7.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比的思想方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝eq\f(－1＋sinx＋cos2x,1－sinx).解答：(1)函数的定义域为R，它关于原点对称．∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，∴函数为偶函数．(2)函数应满足1－sinx≠0，∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．∵函数的定义域关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．3．学习三角函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sinα这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．二、备用习题1．函数y＝sin(eq\f(π,3)－2x)的单调减区间是()A．[2kπ－eq\f(π,12)，2kπ＋eq\f(5π,12)](k∈Z)B．[4kπ－eq\f(5π,3)，4kπ＋eq\f(11π,3)](k∈Z)C．[kπ－eq\f(5π,12)，kπ＋eq\f(11π,12)](k∈Z)D．[kπ－eq\f(π,12)，kπ＋eq\f(5π,12)](k∈Z)2．满足sin(x－eq\f(π,4))≥eq\f(1,2)的x的集合是()A．{x|2kπ＋eq\f(5π,12)≤x≤2kπ＋eq\f(13π,12)，k∈Z}B．{x|2kπ－eq\f(π,12)≤x≤2kπ＋eq\f(7π,12)，k∈Z}C．{x|2kπ＋eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z}D．{x|2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z}∪{x|2kπ＋eq\f(5π,6)≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}3．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝lgsinx；(2)y＝2eq\r(cos3x).4．已知函数y＝f(x)的定义域是[0，eq\f(1,4)]，求下列函数的定义域：(1)f(cos2x)；(2)f(sin2x－eq\f(1,2))．5．已知函数f(x)＝|sinx－cosx|.(1)求出它的定义域和值域；(2)指出它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)求出它的周期．6．求函数y＝sin2x＋psinx＋q(p、q∈R)的最值．7．若cos2θ＋2msinθ－2m－2<0恒成立，试求实数m的取值范围．8．求函数y＝lgsin(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))的单调增区间，以下甲、乙、丙有三种解法，请给予评判．同学甲：令t＝sin(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))，则y＝lgt.∵y＝lgt是增函数，∴原函数的单调增区间就是t＝sin(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))的增区间．又sinμ的增区间为[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)，∴－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(π,4)－eq\f(x,2)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得4kπ－eq\f(π,2)≤x≤4kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．∴原函数的增区间为[4kπ－eq\f(π,2)，4kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)．同学乙：令t＝sin(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))，则y＝lgt.∵y＝lgt是增函数，∴原函数的单调增区间就是t的增区间．∵t＝sin(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))＝cos(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))，∴只需求出cos(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))的增区间，由于cosμ的增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，∴2kπ－π≤eq\f(π,4)＋eq\f(x,2)≤2kπ4kπ－eq\f(5π,2)≤x≤4kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)．∴原函数的增区间为[4kπ－eq\f(5π,2)，4kπ－eq\f(π,2)](k∈Z)．同学丙：令t＝sin(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))，则y＝lgt.∵y＝lgt是增函数，∴原函数的单调增区间是使t>0且t为增函数的x的范围．∵t＝sin(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))＝cos(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))，∴只需求出使t＝cos(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))>0且t为增函数的x的区间，于是有2kπ－eq\f(π,2)<eq\f(π,4)＋eq\f(x,2)≤2kπ4kπ－eq\f(3π,2)<x≤4kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，∴原函数的增区间为(4kπ－eq\f(3π,2)，4kπ－eq\f(π,2)](k∈Z)．参考答案：1.D2.A3．解：(1)由题意得sinx>0，∴2kπ<x<(2k＋1)π，k∈Z.又∵0<sinx≤1，∴lgsinx≤0.故函数的定义域为[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z，值域为(－∞，0]．(2)由题意得cos3x≥0，∴2kπ－eq\f(π,2)≤3x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∴eq\f(2kπ,3)－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,6)，k∈Z.又∵0≤cos3x≤1，∴0≤2eq\r(cos3x)≤2.故函数的定义域为[eq\f(2kπ,3)－eq\f(π,6)，eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,6)]，k∈Z，值域为[0,2]．4．解：(1)由题意得0≤cos2x≤eq\f(1,4)，∴－eq\f(1,2)≤cosx≤eq\f(1,2).利用单位圆中的三角函数线或余弦函数图象，可得x∈[kπ＋eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(2π,3)]，k∈Z.(2)由题意得0≤sin2x－eq\f(1,2)≤eq\f(1,4)，∴－eq\f(\r(3),2)≤sinx≤－eq\f(\r(2),2)或eq\f(\r(2),2)≤sinx≤eq\f(\r(3),2).∴x∈[kπ＋eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(π,3)]∪[kπ＋eq\f(2π,3)，kπ＋eq\f(3π,4)]，k∈Z.5．解：f(x)＝|sinx－cosx|＝|eq\r(2)sin(x－eq\f(π,4))|.(1)它的定义域应满足eq\r(2)sin(x－eq\f(π,4))≠0，x－eq\f(π,4)≠kπ，x≠kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，故定义域为{x|x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z}．∵|sinx－cosx|＝|eq\r(2)sin(x－eq\f(π,4))|，∴0≤|sinx－cosx|≤eq\r(2).根据y＝t，t∈(0，＋∞)是减函数，可知|sinx－cosx|≥eq\r(2)＝－eq\f(1,2)，故值域为[－eq\f(1,2)，＋∞)．(2)函数的单调增区间是[kπ－eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(π,4))(k∈Z)，单调减区间是(kπ＋eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(3π,4)](k∈Z)．(3)由于其定义域关于原点不对称，∴此函数非奇非偶．(4)由于y＝|sinx|的周期为π，故原函数的周期为π.6．解：y＝sin2x＋psinx＋q＝(sinx＋eq\f(p,2))2＋eq\f(4q－p2,4)，令t＝sinx.若－eq\f(p,2)>1，即p<－2，则当t＝sinx＝1时，ymin＝1＋p＋q，当t＝sinx＝－1时，ymax＝1－p＋q；若－1≤－eq\f(p,2)≤1，即－2≤p≤2，则当t＝sinx＝－eq\f(p,2)时，ymin＝eq\f(4q－p2,4)，并且若－1≤－eq\f(p,2)≤0，即0≤p≤2，则当t＝sinx＝1时，ymax＝1＋p＋q；若0<－eq\f(p,2)≤1，即－2≤p<0，则当t＝sinx＝－1时，ymax＝1－p＋q；若－eq\f(p,2)<－1，即p>2，则当t＝sinx＝－1时，ymin＝1－p＋q；当t＝sinx＝1时，ymax＝1＋p＋q.7．解：令sinθ＝t，则－1≤t≤1.要使cos2θ＋2msinθ－2m－2<0恒成立，即sin2θ－2msinθ＋2m＋1>0恒成立．设f(t)＝t2－2mt＋2m＋1，则只要f(t)>0在[－1,1]上恒成立即可．由于f(t)＝(t－m)2＋2m＋1－m2(－1≤t≤1)，∴只要f(t)的最小值大于零即可．若m<－1，则当t＝－1时，f(t)min＝2＋4m，令2＋4m>0，得m>－eq\f(1,2)，这与m<－1矛盾，故舍去；若－1≤m≤1，则当t＝m时，f(t)min＝－m2＋2m＋1，令－m2＋2m＋1>0，解得1－eq\r(2)<m<1＋eq\r(2).∴1－eq\r(2)<m≤1；若m>1，则当t＝1时，f(t)min＝2>0，∴m>1.综上所述，m>1－eq\r(2).8．解：由于函数的单调区间是其定义域的子区间，该函数的定义域是使sin(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))>0的x的取值范围，甲、乙两名同学都没有考虑到定义域，因此其解法是错误的；同时，甲同学还有一处错误，即sinμ的增区间不是t的增区间(因为μ＝eq\f(π,4)－eq\f(x,2)中μ是自变量x的减函数)．丙生既考虑了函数的定义域，也考虑到将x的系数变为正数，其解法是正确的．第3课时导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．思路2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象．这也是一种不错的选择，这是传统的导入法．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))正切函数的图象及其应用．我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质．正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数．我们可以运用类比的方法先探究出正切函数的性质．由诱导公式tan(x＋π)＝tanx，x∈R，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z可知，正切函数是周期函数，周期是π.这里可通过多媒体课件演示，让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性，直观理解正切函数的周期性，后面的正切函数图象作出以后，还可从图象上观察正切函数的这一周期性．引导学生作出正切线，并观察它的变化规律．如图1.图1画正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？引导学生在课堂上展开充分讨论，体现“教师为主导，学生为主体”的新课改理念．有的学生可能选取了[0，π]作为正切函数的周期，这正是学生作图的真实性的体现．此时，教师应调整计划，把课件中先作出[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]内的图象，改为先作出[0，π]内的图象，再进行图象的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考．最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))的图象为好．这时条件成熟，引导学生来作正切函数的图象．如图2.根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数y＝tanx，x∈R，且x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)的图象，我们称正切曲线，如图3.引导学生进一步观察正切曲线，点拨学生讨论思考只需确定哪些点或线就能画出函数y＝tanx，x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上的简图？学生可看出有三个点很关键：(－eq\f(π,4)，－1)，(0,0)，(eq\f(π,4)，1)，还有两条竖线．因此画正切函数简图的方法就是：先描三点(－eq\f(π,4)，－1)，(0,0)，(eq\f(π,4)，1)，再画两条平行线x＝－eq\f(π,2)，x＝eq\f(π,2)，然后连线．教师要让学生动手画一画，这对今后解题很有帮助．从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．引导学生进一步思考，这点反映了它的哪一性质？(定义域)；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线？(渐近线)；从y轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质？(值域为R)；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质？(周期π)；在每个区间上，图象都呈上升趋势，得到它的哪一性质？(单调性)，单调增区间是(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)，k∈Z，没有减区间；它的图象是关于原点对称的，得到哪一性质？(奇函数)．通过图象我们还能发现它是中心对称的，对称中心是(eq\f(kπ,2)，0)，k∈Z.由正切函数的图象可以得到正切函数的主要性质如下：(1)定义域：{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}．(2)值域：实数集R.(3)周期性：正切函数是周期为π的周期函数．(4)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称．(5)单调性：每个开区间(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)都是函数y＝tanx的单调增区间．注意：正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间(0，π)上就没有单调性．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))例1不求值，比较下列各组函数值的大小．(1)tan138°与tan143°；(2)tan(－eq\f(13π,4))与tan(－eq\f(17π,5))．活动：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用．解：(1)∵y＝tanx在90°<x<180°上为增函数，∴由138°<143°，得tan138°<tan143°.(2)∵tan(－eq\f(13π,4))＝－taneq\f(13π,4)＝－tan(3π＋eq\f(π,4))＝－taneq\f(π,4)，tan(－eq\f(17π,5))＝－taneq\f(17π,5)＝－tan(3π＋eq\f(2π,5))＝－taneq\f(2π,5).又0<eq\f(π,4)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，而y＝tanx在(0，eq\f(π,2))上是增函数，∴taneq\f(π,4)<taneq\f(2π,5).∴－taneq\f(π,4)>－taneq\f(2π,5)，即tan(－eq\f(13π,4))>tan(－eq\f(17π,5))．点评：不要求学生强记正切函数的性质，只要记住正切函数的图象或正切线即可．例2见课本本节例4.变式训练用图象求函数y＝eq\r(tanx－\r(3))的定义域．解：由tanx－eq\r(3)≥0，得tanx≥eq\r(3)，利用图4知，所求定义域为[kπ＋eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)．点评：先在一个周期内得出x的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，但在今后解题时，学生哪种熟练就用哪种.变式训练根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合．(1)1＋tanx≥0；(2)tanx＋eq\r(3)＜0.解：(1)tanx≥－1，∴x∈[kπ－eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(π,2))，k∈Z；(2)x∈(kπ－eq\f(π,2)，kπ－eq\f(π,3))，k∈Z.变式训练求函数y＝tan(eq\f(π,2)x＋eq\f(π,3))的定义域、周期和单调区间．活动：类比正弦、余弦函数，本题应用的是换元法，由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法，所以这里也就不用再介绍换元法了，可以直接将eq\f(π,2)x＋eq\f(π,3)作为一个整体．教师可让学生自己类比地探究，只是提醒学生注意定义域．解：函数的自变量x应满足eq\f(π,2)x＋eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即x≠2k＋eq\f(1,3)，k∈Z.所以函数的定义域是{x|x≠2k＋eq\f(1,3)，k∈Z}．由于f(x)＝tan(eq\f(π,2)x＋eq\f(π,3))＝tan(eq\f(π,2)x＋eq\f(π,3)＋π)＝tan[eq\f(π,2)(x＋2)＋eq\f(π,3)]＝f(x＋2)，因此函数的周期为2.由－eq\f(π,2)＋kπ<eq\f(π,2)x＋eq\f(π,3)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得－eq\f(5,3)＋2k<x<eq\f(1,3)＋2k，k∈Z.因此，函数的单调递增区间是(－eq\f(5,3)＋2k，eq\f(1,3)＋2k)，k∈Z.点评：同y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的周期性的研究一样，这里可引导学生探究y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期T＝eq\f(π,ω).变式训练求函数y＝tan(x＋eq\f(π,4))的定义域，值域，单调区间，周期性．解：由x＋eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，可知定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z}，值域：R.由x＋eq\f(π,4)∈(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))，k∈Z可得，在x∈(kπ－eq\f(3π,4)，kπ＋eq\f(π,4))上是增函数．周期是π，也可看作由y＝tanx的图象向左平移eq\f(π,4)个单位得到，其周期仍然是π.思路2例1把tan1，tan2，tan3，tan4按照由小到大的顺序排列，并说明理由．活动：引导学生利用函数y＝tanx的单调性探究解题方法，也可利用单位圆中的正切线探究解题方法．但要提醒学生注意本节中活动的结论：正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．学生可能的错解有：错解1：∵函数y＝tanx是增函数，又1<2<3<4，∴tan1<tan2<tan3<tan4.错解2：∵2和3的终边在第二象限，∴tan2，tan3都是负数．∵1和4的终边分别在第一和第三象限，∴tan1，tan4都是正数．又∵函数y＝tanx是增函数，且2<3,1<4，∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法．发现错解后不要直接纠正，立即给出正确解法，可再让学生讨论分析找出错的原因．解法1：∵函数y＝tanx在区间(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))上是单调递增函数，且tan1＝tan(π＋1)，又eq\f(π,2)<2<3<4<π＋1<eq\f(3π,2)，∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法2：(如图6)1,2,3,4的正切函数线分别是AT1，AT2，AT3，AT4，图6∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评：本例重在让学生澄清正切函数单调性问题，这是学生的易错点．把正切函数y＝tanx的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))课本练习1～3.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发收获．本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？本节分析类比正弦、余弦函数的图象与性质得出了正切函数的图象与性质．2．教师点拨，本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．请同学们课后思考总结：这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？eq