圆锥曲线的方程（七）讲义 高三数学一轮复习

高中数学高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时七知识点一根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,求椭圆的切线方程,椭圆中三角形（四边形）的面积典例1、已知椭圆，其离心率为，若，分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足，．（1）求C的方程及点P的坐标；（2）过点P的直线l交C于另一点Q（点Q在第三象限），点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程．随堂练习：已知椭圆的内接正方形的面积为，且长轴长为4．（1）求C的方程．（2）直线l经过点，且斜率大于零．过C的左焦点作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形，使得梯形的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．典例2、已知椭圆()的离心率为，其右焦点为F，点，且．（1）求C的方程；（2）过点P且斜率为()的直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为M、N，直线AN与直线交于点E，证明：B、M、E三点共线．随堂练习：已知椭圆C：过点，离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右两个顶点分别为A，B．过点的直线与椭圆C交于M、N（不与A、B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，证明：B、N、Q三点共线．

典例3、已知椭圆，左右焦点分别为，直线y=-x+1与椭圆相交于两点．（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）求的面积．随堂练习：已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）求四边形面积的最大值；知识点二根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点问题典例4、已知椭圆：（）的左右焦点为，，上、下端点为，.若从，，，中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）如图，过点作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于，，，四点，若线段，的中点分别为，，试问直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.

随堂练习：已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．典例5、已知椭圆E经过点和点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆，直线l与圆C相切于，与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.

随堂练习：已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点P.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.典例6、已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若为椭圆上的点，，分别是椭圆的左右焦点，若，求的周长与面积.

随堂练习：已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，圆是的内切圆．当直线的倾斜角为时，直线与椭圆交于点．（1）求椭圆的方程；（2）求圆周长的最大值．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时七答案典例1、答案：（1）；（2）解：（1）因为，所以，且．又，所以，即，即，所以，又离心率，所以，，所以，所以椭圆方程为．（2）∵，又∵，∴，∴P点的坐标为．依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由消去y整理，解得或，所以Q点坐标为，从而M点坐标为，所以直线PM的方程为，则N点的坐标为，因为的面积是的面积的2倍，点Q在第三象限，所以，即，解得（舍负），所以满足条件的直线l的方程为，即：．随堂练习：答案：（1）（2）存在；解：（1）设C的内接正方形的一个端点坐标为，则，解得，则C的内接正方形的面积为，即．又，所以，代入，解得，故C的方程为．（2）存在梯形，其面积的最大值为．理由如下：设直线，．因为直线l经过点，所以，所以点到直线l的距离为，点到直线l的距离为，所以梯形的面积（为直线l的倾斜角），所以，当且仅当时，等号成立，此时，直线，直线，联立这两条直线的方程，解得，因为，所以点在C的内部.同理可证：也在C的内部.故在C内存在梯形，其面积的最大值为．典例2、答案：（1）；（2）证明见解析﹒解：（1）设()，由题意知，∴．∵点，且，解得，∴，，因此C的方程为．（2）由题意可知，直线l的方程为．由得，设，，则，．∵轴，∴，∴直线，令，得．∵轴，∴．∴，∴B，M，E三点共线．随堂练习：答案：（1）；（2）证明见解析.解：（1）由题意知，，，所以，则，所以椭圆C的方程为．（2）由题知：l斜率不为零，设l为，，，由得，，则，，所以，∴，直线AM的方程为，则，∴，，∴，即，∴N、B、Q三点共线．典例3、答案：（1）焦点坐标为；离心率为（2）解：（1）椭圆知，该椭圆的焦点在轴上，设焦距为，由，所以，所以焦点坐标为离心率为：（2）由直线y=-x+1与椭圆相交于两点，设则消去得，，所以又到y=-x+1的距离为所以的面积为：随堂练习：答案：（1）；（2）解：（1）由题意，得，解得，所以椭圆方程为，，，，则离心率为.（2）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，代入椭圆的方程，得，，又因为，，所以四边形的面积,当直线的斜率存在时，设的方程为，设，联立方程，消去，得，由题意，可知恒成立，则，，四边形的面积令，则四边形的面积，，所以，综上所述，四边形面积的最大值.典例4、答案：（1）（2）直线过定点，且定点为解：（1）解法一：从，，，中任选三点可构成四个三角形，其中，.为此仅需考虑，为面积等于2的直角三角形即可.其中，.因为为等腰三角形，故可得，即有：；同时因为为等腰三角形，故可得，即有：；综上可得：，，即可得椭圆的方程为.解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从，，，中任选三点所构成的三角形，均为等腰直角三角形，故四边形是面积为4的正方形，又正方形的边长为，故，即又正方形的对角线相等，所以，即又因为，所以从而椭圆的方程为.（2）解法一：依题意，设直线的方程为：①设直线的方程为：，联立方程①与椭圆的方程可得由韦达定理得，根据中点公式可得：则，即同理可得：从而直线的斜率为：故直线的方程为：因为，将代入上式可得：故直线必过定点.解法二：依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：①，设直线的方程为：②，设直线的方程为：，联立方程②与椭圆的方程可得由韦达定理得根据中点公式可得：同时点是直线和直线的交点，联立方程①②得即可得，整理得④同理可得⑤根据④⑤可以理解为，为关于的一元二次方程的两个根.由韦达定理可得：，即可得：，∴直线的方程为：，故直线必过定点.随堂练习：答案：（1）（2）直线恒过定点，证明见解析解：（1）由椭圆定义知：，解得：，又离心率，，，椭圆的标准方程为：.（2）由（1）知：；当直线斜率存在时，设，，，由得：，则，解得：，，，，，即，，即，整理可得：，或；当时，直线恒过点，不合题意；当时，直线，恒过定点；当直线斜率不存在且恒过时，即，由得：，，满足题意；综上所述：直线恒过定点.典例5、答案：（1）（2）或解：（1）设椭圆E方程为，（t，且）将点代入椭圆方程得到,解得，所以椭圆的标准方程为.（2）不妨设直线l的方程为,因为该直线与圆相切，所以，所以，将直线方程代入椭圆方程并消去x得：，则,，所以，联立，解得，即或，则直线l的方程为或.随堂练习：答案：（1），（2）.解:（1）由条件可得所以动点P的轨迹E是以为焦点的椭圆，设其方程为所以，所以所以方程为（2）设联立可得所以由得因为所以可解得典例6、答案：（1）；（2），解:（1）选择条件①：由已知可得点代入椭圆方程得：故椭圆方程为：选择条件②：由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且，∴，又，即，∴，则，∵，∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，∴的轨迹方程为.（2）设，则在中，根据余弦定理可得：即根据定义：代