2024年高考数学试卷（北京）（空白卷）

绝密★本科目考试启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项．

1.已知集合M={x|-4<x£1}，N={x|-1<x<3}，则MÈN=（）

A.x-4<x<3B.x-1<x£1

C.0,1,2D.x-1<x<4

z

2.已知=i-1，则z=（）．

i

A.1-iB.-iC.-1-iD.1

3.求圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离（）

A.23B.2C.32D.6

4

4.x-x的二项展开式中x3的系数为（）

A.15B.6C.-4D.-13

rrrrrrrr

5.已知向量a，b，则“ar+b·ar-b=0”是“a=b或a=-b”的（）条件．

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

π

6.已知fx=sinwxw>0，fx=-1，fx=1，|x1-x2|min=，则w=（）

122

A.1B.2C.3D.4

S-1

7.记水的质量为d=，并且d越大，水质量越好．若S不变，且d=2.1，d=2.2，则n与n的关

lnn1212

系为（）

A.n1<n2

第1页/共4页

Bn>n

.12

C.若S<1，则n1<n2；若S>1，则n1>n2；

D.若S<1，则n1>n2；若S>1，则n1<n2；

8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，22，22，则该四棱锥的高为（）

23

A.B.C.23D.3

22

x

9.已知x1,y1，x2,y2是函数y=2图象上不同的两点，则下列正确的是（）

y+yx+xy+yx+x

A.log12>12B.log12<12

222222

y+yy+y

C.log12>x+xD.log12<x+x

22122212

10.若集合x,y|y=x+t(x2-x),0£t£1,1£x£2表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，

则（）

A.d=3，S<1B.d=3，S>1

C.d=10，S<1D.d=10，S>1

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知抛物线y2=16x，则焦点坐标为________．

éππù

12.已知aÎ,，且α与β的终边关于原点对称，则cosb的最大值为________．

ëê63ûú

x2

13.已知双曲线-y2=1，则过3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．

4

14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为

325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为________．

15.已知M=k|ak=bk，an，bn不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.

①an，bn均为等差数列，则M中最多一个元素；

②an，bn均为等比数列，则M中最多三个元素；

③an为等差数列，bn为等比数列，则M中最多三个元素；

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④an单调递增，bn单调递减，则M中最多一个元素.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

3

16.在△ABC中，a=7，A为钝角，sin2B=bcosB．

7

（1）求ÐA；

（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．

135

①b=7；②cosB=；③csinA=3．

142

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．

17.已知四棱锥P-ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一点，

PE^AD．

（1）若F是PE中点，证明：BF//平面PCD．

（2）若AB^平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．

18.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元

赔偿次数01234

单数800100603010

在总体中抽样100单，以频率估计概率：

（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；

（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X，估计X的数学期望；

（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润

的数学期望．

x2y2

19.已知椭圆方程C：+=1a>b>0，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,tt>2

a2b2

的直线l与椭圆交于A，B，C0,1，连接AC交椭圆于D．

（1）求椭圆方程和离心率；

（2）若直线BD的斜率为0，求t．

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20.已知fx=x+kln1+x在t,ftt>0处切线为l．

（1）若切线l的斜率k=-1，求fx单调区间；

（2）证明：切线l不经过0,0；

（3）已知k=1，At,ft，C0,ft，O0,0，其中t>0，切线l与y轴交于点B时．当

2S△ACO=15S△ABO，符合条件的A的个数为？

（参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95）

21.设集合M=i,j,s,tiÎ1,2,jÎ3,4,sÎ5,6,tÎ7,8,2i+j+s+t．对于给定有穷数列

A:an1£n£8，及序列W:w1,w2,...,ws，wk=ik,jk,sk,tkÎM，定义变换T：将数列A的第

i1,j1,s1,t1项加1，得到数列T1A；将数列T1A的第i2,j2,s2,t2列加1，得到数列T2T1A…；重复上述

操作，得到数列Ts...T2T1A，记为WA．

（1）给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列W:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7，写出WA；

（2）是否存在序列W，使得WA为a1+2,a2+6,a3+