2024年高考数学试卷（上海）（秋考）（回忆版）（解析卷）

2024年上海市高考数学试卷（网络回忆版）

2024.06

一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

U=1,2,3,4,5A=2,4

1.设全集，集合，则A=______．

【答案】1,3,5

【解析】

【分析】根据补集的定义可求A.

【详解】由题设有A=1,3,5，

故答案为：1,3,5

ïìx,x>0

2.已知fx=í,则f3=______．

îï1,x£0

【答案】3

【解析】

【分析】利用分段函数的形式可求f3.

ïìx,x>0

【详解】因为fx=í,故f3=3，

îï1,x£0

故答案为：3.

3.已知xÎR,则不等式x2-2x-3<0的解集为______．

【答案】x|-1<x<3

【解析】

【分析】求出方程x2-2x-3=0的解后可求不等式的解集.

【详解】方程x2-2x-3=0的解为x=-1或x=3，

故不等式x2-2x-3<0的解集为x|-1<x<3，

故答案为：x|-1<x<3.

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4.已知fx=x3+a，xÎR，且fx是奇函数，则a=______．

【答案】0

【解析】

【分析】根据奇函数的性质可求参数a.

【详解】因为fx是奇函数，故f-x+f(x)=0即x3+a+-x3+a=0，

故a=0，

故答案为：0.

rr

5.已知kÎR,ar=2,5,b=6,k，且ar//b，则k的值为______．

【答案】15

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】rr，，解得．

Qa//b\2k=5´6k=15

故答案为：15．

6.在(x+1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为______．

【答案】10

【解析】

【分析】令x=1，解出n=5，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.

【详解】令x=1，\(1+1)n=32，即2n=32，解得n=5，

5r5-r

所以(x+1)的展开式通项公式为Tr+1=C5×x，令5-r=2，则r=3，

322

\T4=C5x=10x．

故答案为：10．

7.已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为______．

【答案】42

【解析】

【分析】根据抛物线的定义知xP=8，将其再代入抛物线方程即可.

2

【详解】由y=4x知抛物线的准线方程为x=-1，设点Px0,y0，由题意得x0+1=9，解得x0=8，

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22

代入抛物线方程y=4x，得y0=32，解得y0=±42，

则点P到x轴的距离为42．

故答案为：42．

8.某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有

3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是

0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．

【答案】0.85

【解析】

【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.

【详解】由题意知，A,B,C题库的比例为：5:4:3，

543

各占比分别为,,，

121212

543

则根据全概率公式知所求正确率p=´0.92+´0.86+´0.72=0.85．

121212

故答案为：0.85．

2

9.已知虚数z，其实部为1，且z+=mmÎR，则实数m为______．

z

【答案】2

【解析】

【分析】设z=1+bi，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.

【详解】设z=1+bi，bÎR且b¹0.

22æb2+3öæb3-bö

则z+=1+bi+=ç2÷+ç2÷i=m，

z1+biè1+bøè1+bø

ìb2+3

ï2=m

ï1+b

mÎR，\í，解得m=2，

Qb3-b

ï=0

îï1+b2

故答案为：2.

10.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数

的最大值______．

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【答案】329

【解析】

【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.

【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．

首先讨论三位数中的偶数，

2

①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有P9=72个；

111

②当个位不为0时，则个位有C4个数字可选，百位有C8=256个数字可选，十位有C8个数字可选，

111

根据分步乘法这样的偶数共有C4C8C8=256，

最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为72+256+1=329个．

故答案为：329．

11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD,存在点A满足

ÐBAC=16.5°,ÐDAC=37°，则ÐBCA=______(精确到0.1度)

【答案】7.8°

【解析】

CACD

【分析】设ÐBCA=q，在△DCA和VBCA中分别利用正弦定理得到=，

sinDsinÐCAD

CACB

=，两式相除即可得到答案.

sinq+16.5osin16.5o

【详解】设ÐBCA=q,ÐACD=90o-q，

CACD

在△DCA中，由正弦定理得=，

sinDsinÐCAD

CACD

即=’

éoooùsin37.0o

sinë180-90-q+37.0û

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CACD

即=①

sin90o-q+37.0osin37.0o

CACB

在VBCA中，由正弦定理得=，

sinBsinÐCAB

CACBCACB

即=，即=，②

éooùsin16.5oosin16.5o

sinë180-q+16.5ûsinq+16.5

②sin90o-q+37.0osin37.0o

因为CD=CB，得=，

①sinq+16.5osin16.5o

利用计算器即可得q»7.8o，

故答案为：7.8o.

12.无穷等比数列an满足首项a1>0,q>1，记In=x-yx,yÎa1,a2Èan,an+1，若对任意正整数n

集合In是闭区间，则q的取值范围是______．

【答案】q³2

【解析】

x³y

【分析】当n³2时，不妨设，则x-yÎ0,a2-a1Uan-a2,an+1-a1U0,an+1-an，结合In为

1

闭区间可得q-2³-对任意的n³2恒成立，故可求q的取值范围.

qn-2

【详解】由题设有n-1，因为a>0,q>1，故a>a，故a,a=éaqn-1,aqnù，

an=a1q1n+1nnn+1ë11û

当n=1时，x,yÎa1,a2，故x-yÎa1-a2,a2-a1，此时I1为闭区间，

当n³2时，不妨设x³y，若x,yÎa1,a2，则x-yÎ0,a2-a1，

若yÎa1,a2,xÎan,an+1，则x-yÎan-a2,an+1-a1，

若x,yÎan,an+1，则x-yÎ0,an+1-an，

综上，x-yÎ0,a2-a1Uan-a2,an+1-a1U0,an+1-an，

又In为闭区间等价于0,a2-a1Èan-a2,an+1-a1È0,an+1-an为闭区间，

而an+1-a1>an+1-an>a2-a1，故an+1-an³an-a2对任意n³2恒成立，

n-1n-2

故an+1-2an+a2³0即a1qq-2+a2³0，故qq-2+1³0，

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1

故q-2³-对任意的n³2恒成立，因q>1，

qn-2

1

故当n®+¥时，-®0，故q-2³0即q³2.

qn-2

故答案为：q³2.

【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有

关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题

满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格

涂黑，选对得满分，否则一律得零分.

13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）

A.气候温度高，海水表层温度就高

B.气候温度高，海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

【答案】C

【解析】

【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.

【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.

对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，

故C正确，D错误.

故选：C.

14.下列函数fx的最小正周期是2π的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x

【答案】A

【解析】

【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.

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æπö

【详解】对A，sinx+cosx=2sinçx+÷，周期T=2π，故A正确；

è4ø

12π

对B，sinxcosx=sin2x，周期T==π，故B错误；

22

对于选项C，sin2x+cos2x=1，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；

2π

对于选项D，sin2x-cos2x=-cos2x，周期T==π，故D错误，

2

故选：A．

15.定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P1,P2,P3ÎΩ，存在不全为0的实数l1,l2,l3，

uuuruuuruuurr

使得l1OP1+l2OP2+l3OP3=0．已知(1,0,0)ÎΩ，则(0,0,1)ÏΩ的充分条件是（）

A.0,0,0ÎWB.-1,0,0ÎW

C.0,1,0ÎWD.0,0,-1ÎW

【答案】C

【解析】

【分析】首先分析出三个向量共面，显然当1,0,0,0,0,1,0,1,0ÎΩ时，三个向量构成空间的一个基底，

则即可分析出正确答案.

uuuruuuruuur

【详解】由题意知这三个向量OP1,OP2,OP3共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，

对A，由空间直角坐标系易知0,0,0,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当-1,0,0,(1,0,0)ÎW无法推出

(0,0,1)ÏΩ，故A错误；

对B，由空间直角坐标系易知-1,0,0,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当0,0,0,(1,0,0)ÎW无法推出

(0,0,1)ÏΩ，故A错误；

对C，由空间直角坐标系易知1,0,0,0,0,1,0,1,0三个向量不共面，可构成空间的一个基底，

则由1,0,0,0,1,0ÎΩ能推出0,0,1ÏΩ，

对D，由空间直角坐标系易知1,0,0,0,0,1,0,0,-1三个向量共面，

则当0,0,-1(1,0,0)ÎW无法推出(0,0,1)ÏΩ，故D错误.

故选：C．

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f(x)

16.已知函数的定义域为R，定义集合M=x0x0ÎR,xÎ-¥,x0,fx<fx0，在使得

M=-1,1的所有fx中，下列成立的是（）

A.存在fx是偶函数B.存在fx在x=2处取最大值

C.存在fx是严格增函数D.存在fx在x=-1处取到极小值

【答案】B

【解析】

【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数

ì-2,x<-1

ï

fx=íx,-1£x£1即可判断.

ï

î1,x>1

【详解】对于A，若存在y=f(x)是偶函数,取x0=1Î[-1,1],

则对于任意xÎ(-¥,1),f(x)<f(1),而f(-1)=f(1),矛盾,故A错误；

ì-2,x<-1,

ï

对于B，可构造函数fx=íx,-1£x£1,满足集合M=-1,1，

ï

î1,x>1,

当x<-1时，则fx=-2，当-1£x£1时，fxÎ-1,1，当x>1时，fx=1，

则该函数fx的最大值是f2，则B正确；

对C，假设存在fx，使得fx严格递增，则M=R，与已知M=-1,1矛盾，则C错误；

对D，假设存在fx，使得fx在x=-1处取极小值，则在-1的左侧附近存在n，使得

fn>f-1，这与已知集合M的定义矛盾，故D错误；

故选：B.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内

写出必要的步骤

17.如图为正四棱锥P-ABCD,O为底面ABCD的中心．

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（1）若AP=5,AD=32，求VPOA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

（2）若AP=AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．

【答案】（1）12π

π

（2）

4

【解析】

【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形VPOA的边长，然后求圆锥的体积；

（2）连接EA,EO,EC，可先证BE^平面ACE，根据线面角的定义得出所求角为ÐBOE，然后结合题

目数量关系求解.

【小问1详解】

正四棱锥满足且PO^平面ABCD，由AOÌ平面ABCD，则PO^AO，

又正四棱锥底面ABCD是正方形，由AD=32可得，AO=3，

故PO=PA2-AO2=4，

根据圆锥的定义，VPOA绕PO旋转一周形成的几何体是以PO为轴，AO为底面半径的圆锥，

即圆锥的高为PO=4，底面半径为AO=3，

1

根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是´π´32´4=12π

3

【小问2详解】

连接EA,EO,EC，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，

由E是PB中点，则AE^PB,CE^PB，又AEICE=E,AE,CEÌ平面ACE，

故PB^平面ACE，即BE^平面ACE，又BDI平面ACE=O，

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于是直线BD与平面AEC所成角的大小即为ÐBOE，

32

不妨设AP=AD=6，则BO=32,BE=3，sinÐBOE==，

322

éπù

又线面角的范围是0,，

ëê2ûú

π

故ÐBOE=.即为所求.

4

18.若fx=logax(a>0,a¹1)．

（1）y=fx过4,2，求f2x-2<fx的解集；

（2）存在x使得fx+1、fax、fx+2成等差数列，求a的取值范围．

【答案】（1）x|1<x<2

（2）a>1

【解析】

【分析】（1）求出底数a，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；

2

2æ13ö1

（2）存在x使得fx+1、fax、fx+2成等差数列等价于a=2ç+÷-在0,+¥上有解，

èx4ø8

利用换元法结合二次函数的性质可求a的取值范围．

【小问1详解】

2

因为y=fx的图象过4,2，故loga4=2，故a=4即a=2（负的舍去），

而fx=log2x在0,+¥上为增函数，故f2x-2<fx，

故0<2x-2<x即1<x<2，

故f2x-2<fx的解集为x|1<x<2.

【小问2详解】

因为存在x使得fx+1、fax、fx+2成等差数列，

故2fax=fx+1+fx+2有解，故2logaax=logax+1+logax+2，

因为a>0,a¹1，故x>0，故a2x2=x+1x+2在0,+¥上有解，

x2+3x+2321321

由2æö在0,+¥上有解，

a=2=1++2=2ç+÷-

xxxèx4ø8

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2

1æ3ö1

令t=Î0,+¥，而y=2çt+÷-在0,+¥上的值域为1,+¥，

xè4ø8

故a2>1即a>1.

19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均

体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围

0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.5

学业成绩

优秀5444231

不优秀1341471374027

（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）

（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

n(ad-bc)2

（附：c2=,其中n=a+b+c+d，Pc2³3.841»0.05．）

a+bc+da+cb+d

【答案】（1）12500

（2）0.9h

（3）有

【解析】

【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；

（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；

（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.

【小问1详解】

179+43+2825

由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比=，

58058

25

则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为29000´=12500．

58

【小问2详解】

估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为

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1é0.50.5+11+1.51.5+22+2.5ù

´139+´191+´179+´43+´28»0.9．

580ëê22222ûú

则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.

【小问3详解】

由题列联表如下：

1,2其他合计

优秀455095

不优秀177308485

合计222358580

提出零假设H0：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．

其中a=0.05．

580´(45´308-177´50)2

c2=»3.976>3.841．

95´485´222´358

则零假设不成立，

即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．

2

2y

20.已知双曲线Γ:x-=1,(b>0),左右顶点分别为A1,A2，过点M-2,0的直线l交双曲线Γ于P,Q

b2

两点.

（1）若离心率e=2时，求b的值．

26

（2）若b=,△MAP为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标．

32

OQuuuruuuur的

（3）连接并延长，交双曲线Γ于点R，若A1R×A2P=1，求b取值范围．

【答案】（1）b=3

（2）P2,22

æ30ù

（3）0,3Uç3,ú

è3û

【解析】

【分析】（1）根据离心率公式计算即可；

第12页/共17页

（2）分三角形三边分别为底讨论即可；

（3）设直线l:x=my-2，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.

【小问1详解】

cc

由题意得e===2，则c=2，b=22-1=3．

a1

【小问2详解】

y2

26Γ:x2-=1

当b=时，双曲线8，其中M-2,0，A21,0，

3

3

因为△MA2P为等腰三角形，则

1

①当以MA为底时，显然点P在直线x=-上，这与点P在第一象限矛盾，故舍去；

22

②当以A2P为底时，MP=MA2=3，

ì23ì23

ì3y2x=-x=-

ïx2-=1ï11ï11ìx=1

设Px,y，则í8,联立解得í或í或í，

ï22ï817ï817îy=0

î(x+2)+y=9y=-y=

îï11îï11

因为点P在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；

（或者由双曲线性质知MP>MA2，矛盾，舍去）；

③当以MP为底时，A2P=MA2=3，设Px0,y0，其中x0>0,y0>0，

ìx-12+y2=9

ï00

2ìx=2

ïyï0

则有í20，解得í，即P2,22．

x0-=1

ï8îïy0=22

îï3

综上所述：P2,22.

【小问3详解】

由题知A1-1,0,A21,0，

uuuruuuur

当直线l的斜率为0时，此时A1R×A2P=0，不合题意，则kl¹0，

则设直线l:x=my-2，

设点Px1,y1,Qx2,y2，根据OQ延长线交双曲线Γ于点R，

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根据双曲线对称性知R-x2,-y2，

ìx=my-2

ï

联立有2Þb2m2-1y2-4b2my+3b2=0，

í2y

ïx-2=1

îb

显然二次项系数b2m2-1¹0，

2

其中Δ=-4mb2-4b2m2-13b2=4b4m2+12b2>0，

4b2m3b2

y+y=①，yy=②，

12b2m2-112b2m2-1

uuuruuuur

A1R=-x2+1,-y2,A2P=x1-1,y1，

uuuruuuur

则A1R×A2P=-x2+1x1-1-y1y2=1，因为Px1,y1,Qx2,y2在直线l上，

则x=my-2，x=my-2，

1122

2

即-my2-3my1-3-y1y2=1，即y1y2m+1-y1+y23m+10=0，

3b24b2m

将①②代入有2，

m+1×22-3m×22+10=0

bm-1bm-1

即3b2m2+1-3m×4b2m+10b2m2-1=0

化简得b2m2+3b2-10=0，

210

所以m=-3,代入到b2m2-1¹0,得b2=10-3b2¹1,所以b2¹3,

b2

101010

且m2=-3³0，解得b2£，又因为b>0，则0<b2£，

b233

2æ10ùæ30ù

综上知，bÎ0,3Uç3,ú，\bÎ0,3Uç3,ú．

è3ûè3û

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l:x=my-2，将其与双曲线

方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.

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22

21.对于一个函数fx和一个点Ma,b，令sx=(x-a)+(fx-b)，若Px0,fx0是sx

取到最小值的点，则称P是M在fx的“最近点”．

1

（1）对于f(x)=(x>0)，求证：对于点M0,0，存在点P，使得点P是M在fx的“最近点”；

x

x

（2）对于fx=e,M1,0，请判断是否存在一个点P，它是M在fx的“最近点”，且直线MP与

y=f(x)在点P处的切线垂直；

（3）已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f¢(x)，且函数g(x)在定义域R上恒正，设点

M1t-1,ft-gt，M2t+1,ft+gt．若对任意的tÎR，存在点P同时是M1,M2在fx

的“最近点”，试判断fx的单调性．

【答案】（1）证明见解析

（2）存在，P0,1

（3）严格单调递减

【解析】

【分析】（1）代入M(0,0)，利用基本不等式即可；

22x

（2）由题得sx=(x-1)+e，利用导函数得到其最小值，则得到P，再证明直线MP与切线垂直即可；

1

（3）根据题意得到s¢x=s¢x=0，对两等式化简得f¢x0=-，再利用“最近点”的定义得

1020g(t)

到不等式组，即可证明x0=t，最后得到函数单调性.

【小问1详解】

1211

当M(0,0)时，2æö22，

sx=(x-0)+ç-0÷=x+2³2x×2=2

èxøxx

1

当且仅当x2=即x=1时取等号，

x2

故对于点M0,0，存在点P1,1，使得该点是M0,0在fx的“最近点”．

【小问2详解】

2

由题设可得sx=(x-1)2+ex-0=(x-1)2+e2x，

则s¢x=2x-1+2e2x，因为y=2x-1,y=2e2x均为R上单调递增函数，

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则s¢x=2x-1+2e2x在R上为严格增函数，

而s¢0=0，故当x<0时，s¢x<0，当x>0时，s¢x>0，

故sx=s0=2，此时P0,1，

min

x

而f¢x=e,k=f¢0=1，故fx在点P处的切线方程为y=x+1.

0-1

而k=