2025优化设计一轮第2节 平面向量基本定理及向量坐标运算

第2节平面向量基本定理及向量坐标运算高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.研考点精准突破目录索引

强基础固本增分12强基础固本增分知识梳理1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,__________一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个__________.

零向量不能组成基底

有且只有

基底

2.平面向量的坐标运算

当向量用坐标表示时,其加法、减法、数乘运算的法则

运算坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2))加法a+b=(x1+x2,y1+y2)减法a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘λa=(λx1,λy1),其中λ∈R向量与坐标之间用等号连接

微点拨1.

的坐标是用点B的横、纵坐标减去点A的横、纵坐标,既有方向的信息也有大小的信息.2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b⇔x1=x2且y1=y2.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔__________.

x1y2-x2y1=0自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.平面内的任何两个非零向量都可以组成一个基底.(

)2.同一向量在不同基底下的表示是相同的.(

)3.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.(

)4.一个平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变.(

)××√√题组二

回源教材5.(人教A版必修第二册6.3.4节例6改编)已知a=(2,1),b=(-3,4),则3a+4b的坐标为__________.

(-6,19)解析

3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).6.(人教A版必修第二册6.3.3节例5改编)如图,已知▱ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),则顶点D的坐标为__________.

(2,2)题组三

连线高考

A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4)

D.(1,4)A8.(2021·全国乙,文13)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=__________.

研考点精准突破考点一平面向量基本定理的应用ABC规律方法应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后,通过向量的加法、减法、数乘运算以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一个基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.(3)强化共线向量定理的应用.BD考点二平面向量的坐标运算例2(1)(2024·安徽合肥模拟)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则实数λ1,λ2的值分别为(

)A.-2,1

B.1,-2

C.2,-1

D.-1,2D3规律方法平面向量坐标运算的技巧利用向量的坐标运算解题时,首先利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.[对点训练2](1)在△ABC中,顶点A的坐标为(3,1),边BC的中点D的坐标为(-3,1),则△ABC的重心坐标为__________.

(-1,1)(2)(2024·湖北襄阳模拟)在平行四边形ABCD中,点A(0,0),B(-4,4),D(2,6).若AC与BD的交点为M,则DM的中点E的坐标为__________.

解析

在平行四边形ABCD中,因为AC与BD的交点为M,且E为DM的中点,考点三向量共线的坐标表示(多考向探究预测)考向1利用向量共线求参数例3(2024·浙江绍兴模拟)已知平面向量a=(3,4),b=(-k,2),若(a+b)∥ka,则实数k(k≠0)的值为(

)C

考向2利用向量共线求向量或点的坐标例4已知点A(-1,1),B(1,3),C(2,2),若点M在线段AC上,且BM=2,则点M的坐标为__________.

变式探究1(变结论)本例中,若已知条件不变,则在线段AC上是否存在点M,使得BM=4?变式探究2(变结论)本例中,条件不变,若O为坐标原点,试求直线OB与直线AC的交点P的坐标.[对点训练3](1)(多选题)(2024·江苏昆山中学校考)在平面直角坐标系Oxy内,O为坐标原点,已知

.若P是线段AB的三等分点,则点P的坐标可以是(

)A.(2,1)

B.(3,0)

C.(4,-1)

D.(5,-2)AD(2)(2024·湖北襄阳模拟)已知a=(m,7),b=(2,-3),c=(-3,m),若a∥(2b+c),则实数m=__________.

-1或7解析

∵b=(2,-3),c=(-3