高中数学1.3.2空间向量运算的坐标表示教学设计新人教A版选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示一、教学内容1.本小节探讨空间向量运算的坐标表示，并用向量运算的坐标表示探讨空间平行、垂直、夹角、距离；2.空间向量的模夹角以及两点间距离公式，空间向量垂直与平行的条件及其应用等.二、教学目标1.驾驭空间向量的坐标运算；2.会依据向量的坐标，推断两个向量共线或垂直；3.驾驭向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；4.会应用这些学问解决简洁的立体几何问题.三、教学重点与难点重点利用空间向量的运算证明解决空间中直线、平面的平行与垂直问题；利用空间向量的运算求两点间的距离.难点1.利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角2.运用空间向量的坐标运算解决简洁的立体几何问题四、教学过程设计1.3.2空间向量运算的坐标表示环节一：创设情境，引入课题探究问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面对量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？学问点1空间向量及其运算的坐标表示设，，与平面对量运算的坐标表示一样，我们有：，，，，．点评:空间向量运算的坐标表示与平面对量运算的坐标表示完全一样环节二：视察分析，感知概念下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示．其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成．设为空间的一个单位正交基底，则，，所以．利用向量数量积的支配律以及，，得．点评:通过“探究”中的问题，引导学生进行自主探讨.教学中应放手让学生绽开探究活动，得出结论并给出证明.环节三：抽象概括，形成概念由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面对量运算的坐标表示是完全一样的．例如，我们有：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．类似平面对量运算的坐标表示，我们还可以得到：学问点2：空间向量共线或平行的判定当时，，，（）；；学问点3.空间向量的模；学问点4.空间向量的夹角公式．点评:空间两向量平行与平面两向量平行的坐标表达式不一样，但实质一样，即对应坐标成比例.空间两向量垂直的坐标表达式同平面两向量垂直的坐标表达式类似.环节四：辨析理解，深化概念学问点5.空间两点之间的距离公式探究问题2：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？如图1.3-7建立空间直角坐标系，设，是空间中随意两点，则．于是所以．这就是空间两点间的距离公式．将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简洁．:点评:空间向量长度公式的形式与平面对量长度公式一样，教学时可用类比的方法进行.它的几何意义是长方体对角线的长度.环节五：课堂练习，巩固运用例2如图1.3-8，在正方体中，，分别是，的中点．求证．分析：要证明，只要证明，即证．我们只要用坐标表示，，并进行数量积即可．证明垂直和利用空间向量的坐标运算求夹角的问题，并通过向量及其坐标的运算求解问题.证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系，则，，所以．又，，所以．所以．所以，即．问题3：你能从本题的解答中体会到依据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？点评:目的是使学生体会“依据问题特点建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题”的基本思路.本题中，正方体的特征很明显，以此为背景建立空间直角坐标系难度不大.教学中，还可以让学生尝试建立不同的坐标系解决问题，使学生体会“适当”的含义.例3如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．（1）求的长．（2）求与所成角的余弦值．分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点，的坐标，利用空间两点间的距离公式求出的长．（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果．依据条件建立适当的空间直角坐标系,用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题.解：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系，则点的坐标为，点的坐标为．于是．（2）由已知，得，，，，所以，，，．所以，所以．所以，与所成角的余弦值为．点评:目的是使学生进一步体会例2中求解问题的基本思路.对于问题(1),在建立空间直角坐标系后，要留意引导学生利用空间两点间的距离公式求解.对于问题(2),要留意引导学生用坐标表示向量的数量积运算中涉及的向量.教学时，还可以提示学生用综合法解决本题目，进而与教科书中的方法进行比较.环节六归纳总结，反思提升基本学问:空间向量运算的坐标表示空间向量的长度公式与空间两点间的距离公式;求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的空间直角坐标系中找到两个向量的坐标,然后用公式计算思想方法用向量计算或证明几何问题时,可以先建立空间直角坐标系,然后把向量点坐标化,借助空间向量运算的坐标表示进行计算或证明.环节七：目标检测，作业布置教材第21-22页,练习第1-5题,习题1.3第3-5题练习（第21页）1．已知，，求：（1）； （2）； （3）； （4）．1．解析：（1）；（2）；（3）；（4）．2．已知，，且．求的值．2．解析：因为，所以，解得．3．在轴上求一点，使点到点与点的距离相等．3．解析：由点在轴上，可设，又因为，，，所以，解得，所以．4．如图，正方体的棱长为，点，分别在，上，，，求的长．4．解析：因为正方体的棱长为，所以，，，，设，，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以．所以的长为．5．如图，在正方体中，是的中点，求与所成角的余弦值．5．解：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则，．为的中点，．，，，，．．与所成角的余弦值为．习题1.3（第22页）1．在空间直角坐标系中，三个非零向量，，分别平行于轴、轴、轴，它们的坐标各有什么特点？1．解析：平行于轴的向量，和面垂直，其纵坐标和竖坐标为0．平行于轴的向量，和面垂直，其横坐标和竖坐标为0．平行于轴的向量，和面垂直，其横坐标和纵坐标为0．2．是空间直角坐标系中的一点，写出满意下列条件的点的坐标：（1）与点关于轴对称的点；（2）与点关于轴对称的点；（3）与点关于轴对称的点；（4）与点关于原点对称的点．2．解析：（1）点关于轴的对称点坐标为，（2）点关于轴的对称点坐标为，（3）点关于轴的对称点坐标为，（4）点关于原点的对称点坐标为．3．如图，正方体的棱长为，，，，，，分别是棱，，，，，的中点，写出正六边形各顶点的坐标．3．解：，，，，，．4．先在空间直角坐标系中标出，两点，再求它们之间的距离：（1），；（2），．4．解：作图略．=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，．5．已知，，．求：（1）； （2）．5．解：（1），，．又，．（2）．6．求证：以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形．6．证明：，，，，．，．，．，．又，为等腰直角三角形．7．已知，，求，，线段的中点坐标及线段的长．7．解：，，，．设中点为，其坐标为，则中点的坐标