福建省福清福清华侨中学2025届高一数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

福建省福清福清华侨中学2025届高一数学第二学期期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斜稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）A．57.08斜 B．171.24斛 C．61.73斛 D．185.19斛2．已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，则C．若，，，则 D．若，，则3．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样4．的内角的对边分别为，若的面积为，则（）A． B． C． D．5．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：考试次数x

1

2

3

4

所减分数y

4.5

4

3

2.5

显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（）A．y=0.7x+5.25 B．y=﹣0.6x+5.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.256．向量，，，满足条件．，则A． B． C． D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A． B． C． D．8．若正数满足，则的最小值为A． B．C． D．39．如图，为了测量山坡上灯塔的高度，某人从高为的楼的底部处和楼顶处分别测得仰角为，，若山坡高为，则灯塔高度是（）A． B． C． D．10．某几何体的三视图如下图所示（单位：cm）则该几何体的表面积（单位：）是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为______________.12．已知向量夹角为，且，则__________．13．若，则=_________________14．已知内接于抛物线，其中O为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则的外接圆方程为_____.15．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=.16．下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，四边形是边长为2的正方形，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18．已知等差数列满足，.(1)求的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列中，，，求的前项和.19．如图，边长为2的正方形中.（1）点是的中点，点是的中点，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求证：；（2）当时，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求三棱锥的体积.20．已知函数，且.（1）求常数及的最大值；（2）当时，求的单调递增区间.21．已知向量，，.（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）记的内角的对边分别为.若，，求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据圆锥的周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数．【详解】设圆锥形稻谷堆的底面半径为尺，则底面周长为尺，解得尺，又高为尺，所以圆锥的体积为（立方尺）；又（斛，所以估算堆放的稻谷约有61.73（斛．故选：．【点睛】本题考查了椎体的体积计算问题，也考查了实际应用问题，是基础题．2、C【解析】

利用线面垂直、线面平行、面面垂直的性质定理分别对选项分析选择．【详解】对于A，若，，则或者；故A错误；对于B，若，则可能在内或者平行于；故B错误；对于C，若，，，过分作平面于，作平面,则根据线面平行的性质定理得，，∴，根据线面平行的判定定理，可得，又，，根据线面平行的性质定理可得，又，∴；故C正确；对于D．若，，则与可能垂直，如墙角；故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理及应用，涉及空间线线平行的传递性，考查了空间想象能力，熟练运用定理是关键．3、C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.考点：分层抽样．4、C【解析】

由题意可得，化简后利用正弦定理将“边化为角“即可．【详解】解：的面积为，，，故选：C．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用和三角形的面积公式，属于基础题．5、D【解析】试题分析：先求样本中心点，利用线性回归方程一定过样本中心点，代入验证，可得结论．解：先求样本中心点，，由于线性回归方程一定过样本中心点，代入验证可知y=﹣0.7x+5.25，满足题意故选D．点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程一定过样本中心点，属于基础题．6、C【解析】向量，则，故解得.故答案为：C。7、C【解析】

通过三视图可以判断这一个是半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，利用圆柱和圆锥的体积公式可以求出这个组合体的体积.【详解】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故，故选C.【点睛】本题考查了利用三视图求组合体图形的体积，考查了运算能力和空间想象能力.8、A【解析】

由，利用基本不等式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、B【解析】

过点作于点，过点作于点，在中由正弦定理求得，在中求得，从而求得灯塔的高度．【详解】过点作于点，过点作于点，如图所示，在中，由正弦定理得，，即，，在中，，又山高为，则灯塔的高度是．故选．【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．10、C【解析】

通过三视图的观察可得到该几何体是由一个圆锥加一个圆柱得到的，表面积由一个圆锥的表面积和一个圆柱的侧面积组成【详解】圆柱的侧面积为，圆锥的表面积为，其中，，。选C【点睛】几何体的表面积一定要看清楚哪些面存在，哪些面不存在二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

由等差数列的性质可得a7+a9+a11＝3a9，而S17＝17a9，故本题可解．【详解】∵a1+a17＝2a9，∴S1717a9＝170，∴a9＝10，∴a7+a9+a11＝3a9＝1；故答案为：1．【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式与等差数列性质的综合应用，属于基础题．12、【解析】试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.13、【解析】分析：由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论．详解：由已知，∴．故答案为．点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式．14、【解析】

由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积等于﹣1即可求得直线MN的方程，即可求出点C的坐标，问题得以解决．【详解】∵抛物线关于x轴对称，内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，三边上的高过焦点，∴另两个顶点A，B关于x轴对称，即△ABO是等腰三角形，作AO的中垂线MN，交x轴与C点，而Ox是AB的中垂线，故C点即为△ABO的外接圆的圆心，OC是外接圆的半径，设A（x1，2），B（x1，﹣2），连接BF，则BF⊥AO，∵kBF，kAO，∴kBF•kAO＝•1，整理，得x1（x1﹣5）＝1，则x1＝5，（x1＝1不合题意，舍去），∵AO的中点为（，），且MN∥BF，∴直线MN的方程为y（x），当x1＝5代入得2x+4y﹣91，∵C是MN与x轴的交点，∴C（，1），而△ABO的外接圆的半径OC，于是得到三角形外接圆方程为（x）2+y2＝（）2，△OAB的外接圆方程为：x2﹣9x+y2＝1，故答案为x2﹣9x+y2＝1．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题15、13【解析】(解法1)由分层抽样得，解得n＝13.(解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.16、【解析】由平均数公式可得，故所求数据的方差是，应填答案。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先由线面垂直的判定定理得到平面，进而可得平面平面；（2）先取中点，连结，，证明平面平面，在平面内作于点，则平面.以点为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.分别求出两平面的法向量，求向量夹角余弦值，即可求出结果.【详解】（1）因为四边形是正方形，所以折起后，且，因为，所以是正三角形，所以.又因为正方形中，为的中点，所以，所以，所以，所以，又因为，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取中点，连结，，则，，又，则平面.又平面，所以平面平面.在平面内作于点，则平面.以点为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.在中，，，.∴，，故，，，∴，.设平面的一个法向量为，则由，得，令，得，，∴.因为平面的法向量为，则，又二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的余弦值，熟记面面垂直的判定定理、以及二面角的向量求法即可，属于常考题型.18、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求{an}的通项公式，可先由a2=2，a5=8求出公差，再由an=a5+（n-5）d，求出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列的公比为q（q＞0），利用等比数列的通项公式可求首项及公比q，代入等比数列的前n项和公式可求Tn．试题解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得∴a1＝0，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4，∵a4＝6∴解得:q＝2或q＝－3.∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2.∴{bn}的前n项和Tn＝＝=19、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）折叠过程中，，保持不变，即，，由此可得线面垂直，从而有线线垂直；（2）由（1）知面，即是三棱锥的高，求出底面积可得体积．【详解】（1）证明：由，.可得：，，，面又面（2）解：在三棱锥中，，，面，由，，可得．【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求棱锥的体积．立体几何中证明线线垂直，通常由线面垂直的性质定理给出，即先证线面垂直，而证线面垂直又必须证明线线垂直，注意线线垂直与线面垂直的转化．三棱锥中任何一个面都可以当作底面，因此一般寻找高易得的面为底面，常用换底法求体积．20、（1），（2）递增区间为.【解析】

（1）由二倍角公式降幂，再由求出，然后由两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合余弦函数单调性可得最大值；（2）由（1）结合余弦函数性质可得增区间．【详解】（1），由得，，即.∴，当时，即时，.（2）由，得，又，所以，所以递增区间为.【点睛】本题考查二倍角公式，考查两角和的余弦公式，考查余弦函数的性质．三角函数问题一般都要由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数或余弦函数性质求解．21、（1）最小正周期为，单调递减区间为；（2）或【解析】

（1）由向量的数量积的运算公式和三角恒等变换的公式化简可得，再结合三角函数的性质，即可求解．（2）由（1），根据，解得，利用正弦定理，求