2025届太原市重点中学高一下数学期末学业水平测试试题含解析

2025届太原市重点中学高一下数学期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则的值等于()A．2 B． C． D．2．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（）A．0 B．2 C．4 D．143．“”是“函数的图像关于直线对称”的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分又非必要4．已知变量x，y满足约束条件x+y-2≥0,y≤2,x-y≤0,则A．2 B．3 C．4 D．65．已知直线与直线平行，则实数m的值为（）A．3 B．1 C．-3或1 D．-1或36．已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A．内切 B．相交 C．外切 D．相离7．在数列{an}中，若a1，且对任意的n∈N*有，则数列{an}前10项的和为（）A． B． C． D．8．在区间上随机选取一个数，则的概率为（）A． B． C． D．9．已知命题，则命题的否定为（）A． B．C． D．10．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则_____.12．求的值为________．13．已知中内角的对边分别是，，，，则为_____．14．已知当时，函数（且）取得最大值，则时，的值为__________．15．等比数列中，若，，则______.16．英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿（Isaacnewton，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却，假设这杯水从开始冷却，x分钟后物体的温度满足：（其中…为自然对数的底数）.则从开始冷却，经过5分钟时间这杯水的温度是________（单位：℃）.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足，．（1）证明：是等比数列；（2）求数列的前n项和．18．己知数列的前项和，求数列的通项.19．己知，，若．（Ⅰ）求的最大值和对称轴；（Ⅱ）讨论在上的单调性．20．已知数列的前项和为，且，.（1）试写出数列的任意前后两项（即、）构成的等式；（2）用数学归纳法证明：.21．已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据分段函数的定义域以及函数解析式的关系，代值即可.【详解】故选：D【点睛】本题考查了分段函数的求值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.2、B【解析】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=1，由a＜b，则b变为4﹣1=1，由a=b=1，则输出的a=1．故选B．3、A【解析】

根据充分必要条件的判定，即可得出结果.【详解】当时，是函数的对称轴，所以“”是“函数的图像关于直线对称”的充分条件，当函数的图像关于直线对称时，,推不出，所以“”是“函数的图像关于直线对称”的不必要条件，综上选.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，余弦函数的对称轴，属于中档题.4、D【解析】

试题分析：把函数转化为表示斜率为截距为平行直线系，当截距最大时，最大，由题意知当直线过和两条直线交点时考点：线性规划的应用.【详解】请在此输入详解！5、B【解析】

两直线平行应该满足，利用系数关系及可解得m.【详解】两直线平行，可得（舍去）.选B.【点睛】两直线平行的一般式对应关系为：，若是已知斜率，则有，截距不相等.6、B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r7、A【解析】

用累乘法可得．利用错位相减法可得S，即可求解S10＝22．【详解】∵，则．∴，．Sn，．∴，∴S，则S10＝22．故选：A．【点评】本题考查了累乘法求通项，考查了错位相减法求和，意在考查计算能力，属于中档题．8、C【解析】

根据几何概型概率公式直接求解可得结果.【详解】由几何概型概率公式可知，所求概率本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题.9、C【解析】

根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.【详解】命题“”的否定是“”.故选C【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改量词和结论即可，属于基础题型.10、D【解析】

先求出的模长，然后由可求出答案.【详解】由题意，，，所以与的夹角为.故选D.【点睛】本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先利用同角三角函数的商数关系可得，再结合正弦定理及余弦定理化简可得，然后求解即可.【详解】解：因为，则，所以，即，所以，则，即，即即，故答案为：.【点睛】本题考查了同角三角函数的商数关系，重点考查了正弦定理及余弦定理的应用，属中档题.12、44.5【解析】

通过诱导公式，得出，依此类推，得出原式的值．【详解】，，同理，，故答案为44.5.【点睛】本题主要考查了三角函数中的诱导公式的运用，得出是解题的关键，属于基础题．13、【解析】

根据正弦定理即可．【详解】因为，，；所以，由正弦定理可得【点睛】本题主要考查了正弦定理：,属于基础题．14、3【解析】

先将函数的解析式利用降幂公式化为，再利用辅助角公式化为，其中，由题意可知与的关系，结合诱导公式以及求出的值．【详解】，其中，当时，函数取得最大值，则，，所以，，解得，故答案为．【点睛】本题考查三角函数最值，解题时首先应该利用降幂公式、和差角公式进行化简，再利用辅助角公式化简为的形式，本题中用到了与之间的关系，结合诱导公式进行求解，考查计算能力，属于中等题．15、【解析】

设的首项为，公比为，根据，列出方程组，求出和即可得解.【详解】设的首项为，公比为，则：，解之得，所以：.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解，解出即可，属于基础题.16、45【解析】

直接利用对数的运算性质计算即可,【详解】.故答案为：45.【点睛】本题考查对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）．【解析】

（1）由题设，化简得，即可证得数列为等比数列．（2）由（1），根据等比数列的通项公式，求得，利用等比数列的前n项和公式，即可求得数列的前n项和．【详解】（1）由题意，数列满足，所以又因为，所以，即，所以是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1），根据等比数列的通项公式，可得，即，所以，即．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式和前n项和的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18、【解析】

根据通项前项和的关系求解即可.【详解】解：当时,.当时,.当时,上式也成立.【点睛】本题主要考查了根据前项公式求解通项公式的方法.属于基础题.19、(1);，(2)在上单调递增，在上单调减.【解析】

(1)先由题意得到，再化简整理，结合三角函数的性质，即可求出结果；（2）根据三角函数的单调性，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）所以最大值为，由，，所以对称轴，（2）当时，，从而当，即时，单调递增当，即时，单调递减综上可知在上单调递增，在上单调减.【点睛】本题主要考查三角函数，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.20、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）由，可得出，两式相减，化简即可得出结果；（2）令代入求出的值，再由求出的值，可验证和时均满足，并假设当时等式成立，利用数学归纳法结合数列的递推公式推导出时等式也成立，综合可得出结论.【详解】（1）对任意的，由可得，上述两式相减得，化简得；（2）①当时，由可得，解得，满足；②当时，由于，则，满足；③假设当时，成立，则有，由于，则.这说明，当时，等式也成立.综合①②③，.【点睛】本题考查数列递推公式的求解，同时也考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21、（1），（2）【解析】

（1）根据与的关系，利用