第一章平面的法向量（学案）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册

平面的法向量

【学习目标】1.熟练掌握求平面法向量的方法2会利用直线的方向向量及平面的法向量证明

直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直.

一、利用空间向量证明线面平行

例1如图，在四棱锥尸一ABC。中，B4,平面ABC。，尸2与底面所成的角为45。，底面ABC。

为直角梯形，ZABC=ZBAD=90°,必=BC=14Z)=1,问在棱上是否存在一点E,使

CE〃平面E4B?若存在，求出£点的位置；若不存在，请说明理由.

解由题意知，AB=PA,以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴建

立空间直角坐标系Axyz,

；.P(0,0,1),C(l,1,0),0(0,2,0),

设£(0,y,z),

则屋=(0,y,z-1),PD=(Q,2,-1),

,JPE//PD,

；.(—l)Xy—2(z—1)=0,①

'：AD=(0,2,0)是平面的法向量,

又无=(-1,y-1,z),CE〃平面丛8,

：.CE±AD,

/•(-I,y-1,z)-(0,2,0)=0.

，y=l,代入①得z=；,

：.E是尸。的中点，

存在E点，当点E为PO的中点时，CE〃平面B48.

反思感悟应用向量法证明线面平行问题的方法

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.

(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示，即用平面向量基本定理证明

线面平行.

跟踪训练1如图，在长方体ABC。一AiBCQi中，AD=AB=4,A4i=2,点E,F,G分别

是。。1,BD,A4i的中点，求证：PG〃平面EPC.

证明方法一如图，以。为原点，DA,DC,丽所在的方向分别为尤，y,z轴正方向建立

空间直角坐标系.

G'

则C(0,4,0),01(0,0,2),G(4,0,1),E(0,0,1),F(2,2,0),

.♦.5^=(4,0,-1),施=(一2,-2,1),FC=(-2,2,0),

设平面EFC的法向量为"=(x,y,z),

n.LFE,J—2x—2y+z=0,

一2x~\~2y=0.

±FC,

令x=l,解得y=l,z=4,

.*.n=(l,1,4).

又"-5^=4><1+0Xl+(-l)X4=0,

C.nLD^G.

又DiGC平面EFC,

.♦.DiG〃平面EFC.

方法二取基底{亦，DC,丽}={a,b,c},

由题意得病=访+方2=

GDI=GAI+ATDI=-

设GP=ZEC+o£K

即-4+5=/1(|-5+力+{-5+)+前,

T=5,

所以＜2=1,

O=A+1u,解得-

v=~2

111

廿一y_乎，

即存在4=1,。=-2,使济1=病一2寿,

即历1,EC,以7共面.

又GZM平面EFC,所以GA〃平面EFC.

二、利用空间向量证明线面垂直

例2如图所示，正三棱柱ABC—481C1的所有棱长都为2,。为CG的中点.

求证：48i_L平面ABD

证明如图所示，取8c的中点0,连接A0.

因为△ABC为正三角形，所以A0L8C.

因为在正三棱柱ABC—A由1G中，平面ABC_L平面BCCB,

所以A0_L平面BCCiBi.

取31G的中点。1,以。为原点，以无，001,应分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空

间直角坐标系，

则2(1,0,0),D(-l,1,0),4(0,2,小)，A(0,0,4)，5,(1.2,0).

所以翁1=(1,2,一小)，成i=(—1,2,3)，应)=(—2,1,0).

方法一因为泰「或I=1X(-1)+2X2+(—S)xS=0,疝i•9)=1X(—2)+2Xl+(一

小)X0=0,

所以翁1，或1,ABi±BD,

gpAB1XBA1,ABiLBD.

又因为24080=3,BAi,8£>u平面A/。，

所以AS_L平面AiBD.

方法二设平面42。的法向量为"=(x,y,z),

则有“，就i,n±BD,

n-BAi=0,(—尤+2y+，§z=0,

jt.屈)=01-2x+y=0,

令x=l,则y=2,z——\[3,

故”=(1,2,一小)为平面A山。的一个法向量，

又篇1=(1,2,一小),所以疝i=”,

所以Qi〃”，故ASJ_平面A/D

反思感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤

方法一：(1)建立空间直角坐标系.

(2)将直线的方向向量用坐标表示.

(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.

(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.

方法二：(1)建立空间直角坐标系.

(2)将直线的方向向量用坐标表示.

(3)求出平面的法向量.

(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.

跟踪训练2如图，四棱锥尸一A8CD中，B4_L底面ABC。，AB±AD,ACLCD,ZABC=

60°,PA=AB=BC=2,E是PC的中点，求证：

—

(1)CD±A£；

(2)PO_L平面ABE.

证明(1)以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空

4必

间直角坐标系，贝UA(0,0,0),BQ,0,0),C(l,小,0),DO,,0,尸(0,0,2),

3;

所以丽=1—1,坐o）,AE=（j,坐，1），

所以左>靠=-1x3+坐X坐+0X1=0,

所以CDLAE.

⑵由⑴，得访=（0,芈，一2）,赢=（2,0,0）,AE=（j,坐，1）,

设向量〃=（x,y,z）是平面ABE的法向量，则

L.AB=O,产=0，

由L病=0,侍［5+&+z=。,

取y=2,则”=（0,2,一小），

所以P£>=±",所以尸。〃"，

所以PO_L平面A8E.

三、利用空间向量证明面面平行

例3如图，在正方体ABC。-46GP中，。是底面A3CD的中心，尸是的中点.设

。是CG上的点，当点。在什么位置时，平面。/。〃平面B4。？

%；——7|G

AB

解以。为原点，nA,DC,鬲的方向分别为无轴，y轴,Z轴正方向，建立如图所示的空

间直角坐标系。移z,设正方体的棱长为2,

。上______C.

A.AV

，为1'、\\町/2

4\\/c

XAB

则0(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),8(2,2,0).

设。(0,2,c),：.OA=(1,-1,0),OP=(-1,-1,1)的=（-2,0,c）.

设平面B4O的法向量为〃i=(x,y,z),

ni-OA=0,|x—y=0,

则H._n

kop=0〔一x—y+z=O,

令x=l,则y=l,z=2,

平面必。的一个法向量为"i=(l,1,2).

若平面£>iBQ〃平面PAO,

则“1也是平面DiBQ的一个法向量.

.'.m-BQ—O,即-2+2c=0,c—1,

故当。为CCi的中点时，平面。山。〃平面B40.

反思感悟证明面面平行的方法

设平面a的法向量为"1=(41,bl,Cl),平面£的法向量为〃2=(。2,岳，C2),贝U0£〃〃=>"1〃"2

台(ai,bi,ci)—k(ci2,bz,。2)(左GR).

跟踪训练3已知正方体ABC。一A1BC1O1的棱长为2,E,尸分别是34，的中点.

求证：平面AZJE〃平面BiGF.

证明以。为原点，DA,DC,丽的方向分别为1轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系。孙z,则有0(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),Ci(0,2,2),EQ,2,

1),F(0,0,1),BQ2,2),

：.DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).

设=y,zi)是平面AQE的法向量,

贝而，mlAE,

〃r£)A=2%i=0,\x\=0,

即V得_c

j“•靠=2yi+zi=0,⑵一一2yi,

令zi=2,则为=—1,

所以"i=(0,—1,2).

因为3ii=(2,0,0),病1=(0,2,1),

设敢=(X2,丁2,Z2)是平面81GF1的法向量.

由改_L_FG,/i2-LCiBi,

〃2•尸G=2y2+z2=0,X2=0,

得j一得

Z2

nyCiBi=2x2=0,

令Z2=2,得了2=—1,所以“2=(0,—1,2),

因为〃1=〃2,所以平面AOE〃平面3clE

四、利用空间向量证明面面垂直

例4三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为AI1G,ZBAC=

90°,4A_L平面ABC,AiA=®AB=AC=2AiG=2,。为BC的中点.证明：平面4A£)_L

平面BCCiBi.

证明方法一如图，以点A为坐标原点，AB,AC,A4i所在直线分别为入轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系Aiyz,

则4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),Ai(0,0,木),Ci(0,1,回

•.•。为BC的中点，点坐标为(1,1,0),

.,.AZ)=(1,1,0),AAi=(0,0,/)，BC=(-2,2,0),

.*.AZ)-BC=lX(-2)+lX2+0X0=0,

A4I-BC=0X(-2)+0X2+V3X0=0,

：.AD±BC,AAi±BC,

：.BC±AD,BC±AAi.

XAiAAA£)=A,AiA,A£»u平面4A。，

.•.BC_L平面4AD

又BCU平面BCGBi,

平面AiAD_L平面BCCiBi.

方法二同方法一建系后，得AX=(O,o,事),

AZ)=(1,1,0),病=(一2,2,0),CCi=(0,-1,小).

设平面AiAD的法向量为“1=(X1,yi,zi),

平面3CC131的法向量为〃2=(X2,>2,Z2).

由卜病=0,得产产。，

[ni.Ab=o,，卜】十州=0,

令yi=-1,则加=1,zi=0,

=—1,0).

n^BC—O,1―2愈+2丁2=0,

由得1r

Ucci=o,〔一y2+43z2=o,

令丁2=1,则X2=l,Z2=坐，

；."2=(1,1,坐).

•；"r"2=l—1+0—0,«iX/i2»

平面4A£)_L平面BCCB.

反思感悟利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定

定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，

证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.

跟踪训练4如图，在正三棱柱ABC—AiBCi中，AB=^AAi=a,E,尸分别是8囱，CG上

的点，且BE=a,CF=2a,求证：平面AEE_L平面ACE

证明以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A孙z,

y

不妨设a=2,则A(0,0,0),E他，1,2),F(0,2,4),

；.赢=他,1,2),1>=(0,2,4).

轴，平面ACF,...可取平面ACF的一个法向量为%=(1,0,0).

设平面AEF的法向量为〃=(x,y,z),

则n-AE=y[3x+y+2z=Q,

n-AF=2y+4z=0,

取z=1,得2=(0,—2,1).

\9mn=0,/.m,Ln,

J平面AEF_L平面ACK

1.知识清单：

(1)利用空间向量证明线面平行.

(2)利用空间向量证明线面垂直.

(3)利用空间向量证明面面平行.

(4)利用空间向量证明面面垂直.

2.方法归纳：数形结合、转化与化归.

3.常见误区：直线的方向向量与平面的法向量垂直时，线面关系有两种，即线与面平行或线

在面内，线在面内这种情况容易忽视.

1.直线/的一个方向向量为(2,4,5),平面a的一个法向量为(1,2,0，若/J_a,则实数才

等于()

A.|B.1C.-2D.-|

答案A

解析因为LLa,所以直线/的方向向量与平面的法向量平行，

可得A2尹4萍5翎，解得片5]

2.若两个不同平面a,/的法向量分别为〃=(1,2,-1),。=(—3,-6,3),则()

A.a〃/B.a.邛C.a,/相交但不垂直D.以上均不正确

答案A

解析3",工。〃”.故a〃及

3.己知平面a和平面夕的法向量分别为a=(l,1,2),b=(x,-2,3),且a_L^,则x等于

()

A.-4B.-8C.4D.8

答案A

解析因为“3=%-2+6=0,所以x=-4.

4.如图所示，在正方体ABCO-AiBiCbDi中，棱长为a,M,N分别为48和AC上的点，

4M=AN=华，则MN与平面BBiGC的位置关系是

答案平行

解析以Ci为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

.丁72a

由于AiM=AN=^~9

M1(2ad\(2a2a、

贝Igm百，jI,以于，a加=(号,0,T)

又平面BBiCC

所以3方i=(0,a,0)为平面881cle的一个法向量.

因为雨・33i=0,

所以疝，3万，

又MN。平面BBiCiC,

所以MN〃平面BBiCC

1.直线I的方向向量s=(—l,1,1),平面a的一个法向量为n=(2,x1+x,—x),若直线I//a,

则x的值为()

A.-2B.—y[2C.y[2D.i\/2

答案D

解析由题意知，-1X2+1X(f+x)+lX(—x)=0,

解得x=±\「.

2.已知点A(0,1,0),B(-l,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若%_L平面ABC,则点

P的坐标为()

A.(1,0,-2)B.(1,0,2)

C.(-1,0,2)D.(2,0,-1)

答案C

解析由题意知赢=(一1,-1,-1),公=(2,0,1),成=(无，-1,z),

又E4_l_平面ABC,所以AB,AP=(—1,—1,—1)-(%,—1,z)=0,

得一x+l—z=0.①

AC-AP=(2,0,l).(x,-1,z)=0,

得2x+z=0,②

联立①②得x=-1,z=2,

故点P的坐标为(一1,0,2).

3.已知平面a的法向量是(2,3,-1),平面£的法向量是(4,九-2),若a〃夕，则九的值

是()

A.—yB.6C.—6D.与

答案B

解析：a〃£,；.a的法向量与力的法向量也互相平行.

23—1

••・a=厂三(丸#。)，・・・4=6.

4.若平面a,4的法向量分别为〃=(2,—3,5),。=(一3,1,-4),贝)

A.a///3B.a工B

C.a,4相交但不垂直D.以上均不正确

答案C

5.(多选)若〃1，〃2分别是平面a,4的法向量，且a_L/，=2,x),〃2=(x,x+1,x),

则x的值为()

A.1B.2C.-1D.-2

答案CD

Z1

解析由题意可知，〃i・"2=(l,2,x)-(x,x+l9X)=X+2X+2+X=X+3X+2=09解得X=

-1或x=~2.

6.(多选)已知o为直线/的方向向量，n\,敢分别为平面a,4的法向量(a,4不重合)，那么

下列说法中正确的有()

A.20a〃/B.

C.v//n\^l//aD.D_l_m<4/_La

答案AB

解析,・,平面a,£不重合，，平面%£的法向量平行等价于平面a,£平行，二.A正确；

易知B正确；当容〃"1时，l.La,故C错误；当u_L〃i时，/〃。或/U*故D错误.

7.若平面a的一个法向量为。1=(—3,»2),平面夕的一个法向量为6=(6,—2,z),且

a//P，贝Uy+z=.

答案一3

解析因为a〃人所以5〃。2,

2

所以71

所以y=l,z=—4,

所以y+z=-3.

8.在正方体4BCD-4BC1O1中，E,尸分别是85，C£＞的中点.则平面AE£＞与4F》的

位置关系是.

答案垂直

解析如图，以点。为坐标原点，分别以D4,DC,ODi所在直线为x轴，y轴，z轴建立如

图所示的空间直角坐标系Dxyz.

设正方体的棱长为2,则£)(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A,(2,0,2),

r>i(o,o,2),

.,.DA=OI=(2,0,0),D£=(2,2,1),D?F=(0,1,-2).

设平面AE£)的法向量为“1=(X1,yi,zi).

ni-DA=0,

由,

n\'DE=0,

f2xi—0,

得.

[2xi+2yi+zi=0.

令yi=l,得"1=(0,1>—2).

同理，平面AFA的法向量为〃2=(0,2,1).

・・・小町=(0,1,-2)-(0,2,1)=0,

J-〃2,

・•・平面平面4五A.

9.如图所示，/XABC是一个正三角形，ECmABC,BD//CE,且CE=C4=25。，M是

EA的中点.

E

D

求证：平面OE4_L平面ECA.

证明以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,不妨设CA=2,

则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A他,1,0),E(0,0,2),0(0,2,1).

所以函=(小，1,-2),CE=(0,0,2),应)=(0,2,-1).

分别设平面CE4与平面。E4的法向量为"i=(xi,yi,zi),改=(%2,",Z2),

ni-EA—0,—2zi=0,pi=­\3xi,

则即一解得Li=0.

nvCE=0,3=0,

敢£4=0,卜乃血十”―2Z2=0,112=书》2,

解得

12y2—Z2=0,122=2”

ji2ED=0,

不妨取"1=（1,一小，0）,"2=（小，1,2）,

因为〃1刃2=0,所以两个法向量相互垂直，

所以平面OEA_L平面ECA.

10.如图所示，平面巩D_L平面A3C。，四边形A8CD为正方形，△B4。是直角三角形，且

PA^AD=2,E,F,G分别是线段B4,PD,CD的中点.求证：

（1）尸8〃平面EFG；

（2）平面EFG〃平面PBC.

证明（1）因为平面B4D_L平面A3CD,且四边形A5CQ为正方形,

所以A3,AP,两两垂直.

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Apz,

则A(0,0,0),BQ,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),£(0,0,F(0,1,

1),G(l,2,0).

方法一寿=(0,1,0),寿=(1,2,-1),

设平面EfG的法向量为〃=(x,y,z),

n-EF=0,y=0,

则<即

x+2y-z=0

ji-EG=0,9

令z=l,则〃=(1,0,1)为平面EFG的一个法向量,

*：PB=(290,-2),

：.PBn=0,：.n±PB,

•••PBQ平面EFG,."3〃平面EFG.

方法二PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),FG=(1,1,-1).

设/=s施+辰，

即(2,0,—2)=s(0,—1,0)+r(l,1,—1),

£=2,

.•.<Ls=0,解得s=t=2.

、一£=­2,

：.FB=2FE+2FG,

又羟与由不共线，：.而,匠与证;共面.

:PB*平面EFG,

.•.尸8〃平面EFG.

(2)由⑴知,EF=(0,1,0),BC=(0,2,0),

：.BC^1EF,J.BC//EF.

又E网平面PBC,BCU平面PBC,

；.跖〃平面PBC,

同理可证GF//PC,从而得出GE〃平面PBC.

又EFCGF=F,EFU平面EFG,G/u平面EFG,

平面EFG〃平面PBC.

11.在三棱锥s—ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,AC=2,BC=y[13,SB=^29,则

直线SC与BC所成的角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案D

解析如图，以A为坐标原点，AC,AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz,

则由AC=2,BC=V13,SB=扬，

得8(一痔2,0),S(0,0,2小)，C(0,2,0),

SC=(0,2,-2^3),CB=(-V13，0,0).

'：SCCB=0,：.SC±BC.

；.SC与8c所成的角为90。.

12.已知平面a内两向量a=(l,1,1),b=(0,2,—1)且c=:m+»+(4,—4,1).若c

为平面a的法向量，则根，w的值分别为()

A.11,2B.1,l2C.1,2D.—1,—2

答案A

解析c=m〃+汕+(4,—4,l)=(m,m,m)+(0,2n,—〃)+(4,—4,l)=(m+4,m+2n

—4,m—n+1),

得]c・a=0,m=-1,

由c为平面a的法向量,

cb=0,n=2.

13.已知平面a内的三点A(0,0,1),8(0,1,0),C(l,0,0),平面£的一个法向量为"

=(—1,—1,—1),且6与a不重合，则()

A.a//PB.

C.a与A相交但不垂直D.以上都不对

答案A

解析瀛=(0,1,-1),公=(1,0,-1),易知A,B,C三点不共线,

.AB=-lX0+(-l)Xl+(-l)X(-l)=0,

-Ac=-ixi-ixo+(-i)x(-i)=o,

.\n.LAB,n.LAC,

••n也为a的一个法向量.

又Q与夕不重合，.*.a//p.

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