人教B版高中数学选择性必修第一册1-2-4二面角练习含答案

1.2.4二面角基础过关练题组一二面角及其度量1.(2024辽宁省实验中学期中)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则()A.β<γ,α<γB.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<β2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若点P在正方体的内部,且满足AP=A.133.如图,平面SAC⊥平面ACB,△SAC是边长为4的等边三角形,△ACB为直角三角形,且∠ACB=90°,BC=42,则二面角S-AB-C的余弦值为.

题组二用空间向量求二面角4.已知两平面的法向量分别为m=(0,2,0),n=(2,A.60°B.120°C.60°或120°D.90°5.(2024江苏盐城期中)在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PAC=∠ABC=90°,PA=BC=1,E是AB的中点,PB=AC=2,则二面角B-PC-E的余弦值为()A.156.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC与BD交于点O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=22,E,F分别是AB,AP的中点,则二面角F-OE-A的余弦值为()A.-37.(2024上海杨浦高级中学开学考试)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,BC⊥CD,平面SCD⊥平面ABCD,△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形,BC=2AD=2CD=4,E为BS上一点,且BE=2ES.(1)证明:直线SD∥平面ACE;(2)求二面角S-AE-C的余弦值.能力提升练题组利用空间向量求二面角1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,D为BC的中点,E为线段A1C上的点,且满足A1E=mEC(m∈R),当二面角E-AD-C的余弦值为1010A.1B.2C.122.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,E为棱AB的中点,点P在侧面CC'D'D上运动,当平面B'EP与平面ABCD、平面CC'D'D所成的角相等时,D'P的最小长度为()A.23.如图,在四面体A-BCD中,△BCD为等边三角形,∠ADB=π2A.04.(2024天津耀华中学月考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,线段B1D1上有两个动点E,F(E在F的左边),且EF=2,则下列说法正确的是()A.当E,F运动时,存在点E,F,使得AE⊥CFB.当E,F运动时,存在点E,F,使得AE∥BFC.当E运动时,二面角E-AB-C的平面角的最小值为45°D.当E,F运动时,二面角A-EF-B的余弦值为定值15.(2024安徽合肥长丰第一中学月考)如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为正方形,AB=2,DS=1,平面ASD⊥平面ABCD,SD⊥AD,点E为棱DC上的动点,平面BSE与平面ASD所成的锐二面角为θ,则当θ取得最小值时,三棱锥E-ASD的体积为.

6.(2024湖北武汉华中师大一附中月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,CC1=2,D,E分别是线段AC,CC1的中点,C1在平面ABC内的射影为D.若点F为线段B1C1上的动点(不包括端点),则锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围为.

7.(2024福建宁德五校联合体期中)如图所示,在正方形ABCD中,AB=2,连接BD,将△CBD沿BD翻折到△C'BD的位置,使平面C'BD⊥平面ABD.(1)求异面直线C'D与AB所成角的大小;(2)求二面角D-AC'-B的正弦值.8.(2024江苏丹阳期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,△PAB为正三角形,平面PAB⊥平面ABCD,M是线段PD(不含端点)上的一个动点.(1)记平面BCM交PA于点N,求证:MN∥平面PBC;(2)是否存在点M,使得二面角P-BC-M的正弦值为10109.如图甲所示,BO是梯形ABCD的高,∠BAD=45°,OB=BC=1,OD=3OA,将三角形AOB沿OB折起至三角形POB的位置,使得PC=3,得到如图乙所示的四棱锥P-OBCD.(1)在棱PD上是否存在一点F,使得CF∥平面POB?若存在,求出PF的长度;若不存在,请说明理由;(2)若E是线段PB上的一个动点,当直线CE与DP所成的角最小时,求二面角B-CE-D的余弦值.

答案与分层梯度式解析1.2.4二面角基础过关练1.B2.B4.C5.C6.B1.B解法一:如图,取AC的中点G,连接VG,设点V在底面ABC上的射影为O,则点P在底面ABC上的射影D在线段AO上,过点D作DE⊥AC于点E,连接PE,BD,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC,交VG于点F,连接BF,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,易知α,β,γ均为锐角,则cosα=PFPB=EGPB=解法二:由最小角定理知β<α,记二面角V-AB-C的平面角为γ',显然γ'=γ,由最大角定理知β<γ'=γ,故选B.解法三(特殊位置法):令三棱锥V-ABC为正四面体,P为VA的中点,易得cosα=36,则sinα=336,sinβ=23,sinγ=22.B如图,过点P分别作PN⊥AB于点N,PM⊥平面ABCD,垂足为M,连接MN,由三垂线定理可知AB⊥MN,所以∠PNM为所求二面角的平面角,易知PM=12,MN=13,故PN=3.答案22解析如图,过点S作SD⊥AC于点D,过点D作DM⊥AB于点M,连接SM.∵平面SAC⊥平面ACB,平面SAC∩平面ACB=AC,∴SD⊥平面ACB,易得SM⊥AB,∴∠DMS为二面角S-AB-C的平面角.在△SAC中,SD=4×32在△ACB中,过点C作CH⊥AB于点H,∵AC=4,BC=42,∴AB=4∴CH=AC·易知DM∥CH,且AD=DC,∴DM=12在Rt△SDM中,SM=SD∴cos∠DMS=DMSM故二面角S-AB-C的余弦值为22114.C因为cos<m,n>=m·所以<m,n>=60°.因为二面角的平面角与二面角的两个半平面的法向量的夹角相等或互补,所以两平面所成的二面角的大小为60°或120°.5.C∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC,PA⊂平面PAC,∴PA⊥平面ABC.以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为AC=2,BC=1,∠ABC=90°,所以AB=3,所以B(0,0,0),P(0,31）,C(1,0,0),E0,PE=设平面BPC的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则m令y1=1,则m=(0,1,-3).设平面EPC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),则n令y2=2,则n=(3,2,−设二面角B-PC-E的平面角为θ,θ∈0,则cosθ=|m故选C.6.B以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由题意得OA=OB=2,则O(0,0,0),A(0,-2,0),B(2,0,0),P(0,0,2).∵E,F分别是AB,AP的中点,∴E(1,-1,0),F(0,-1,1),∴OE=(1,−1,0),设平面OEF的一个法向量为m=(x,y,z),则m·∴m=(1,1,1).易知平面OAE的一个法向量为n=(0,0,1),则cos<m,n>=m·由图知,二面角F-OE-A为锐二面角,∴二面角F-OE-A的余弦值为33.故选B7.解析(1)证明:连接BD,交AC于点F,连接EF.因为AD∥BC,所以△AFD∽△CFB,所以BFFD因为BE=2ES,所以BEES=2,所以BF所以EF∥SD.因为SD⊄平面ACE,EF⊂平面ACE,所以直线SD∥平面ACE.(2)因为平面SCD⊥平面ABCD,平面SCD∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,BC⊥CD,所以BC⊥平面SCD.以C为坐标原点,过点C且垂直于平面BCD的直线为x轴,CD,CB所在直线分别为y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,则C(0,0,0),S(1,1,0),A(0,2,2),E23所以CA=(0,2,2),AS=(1,−1,−2),AE=23设平面SAE的一个法向量为m=(x,y,z),则m令x=3,得m=(3,1,1).设平面EAC的一个法向量为n=(a,b,c),则n令c=1,得n=(-1,-1,1).设二面角S-AE-C的平面角为θ,由图可知θ为锐角,则cosθ=|m所以二面角S-AE-C的余弦值为3311能力提升练1.A2.B3.C4.C1.A由题意知m>0,如图所示,过点A在平面ABC内作Ax⊥AC,以A为坐标原点,AC,AA1所在直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),D32,3设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z),则n·AD=所以n=3,-易知平面ADC的一个法向量为m=(0,0,1).由题意得|cos<n,m>|=2m33+1+4m2.B建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则B'(0,0,4),E(2,0,0),所以B'设P(x,4,z)(0≤x≤4,0≤z≤4),则EP=(x-2,4,z).易知平面ABCD、平面CC'D'D的一个法向量分别为n1=(0,0,1),n2=(0,1,0).设平面B'EP的一个法向量为n3=(a,b,c),则n取c=1,则a=2,b=4-2x-z4因为平面B'EP与平面ABCD、平面CC'D'D所成的角相等,所以|cos<n1,n3>|=|cos<n2,n3>|⇒|n1·n3|=|n2·n3|⇒|2x+z-4|=4⇒2x+z-8=0或2x+z=0.在平面CC'D'D上,直线2x+z-8=0过点D(4,4,0)和C'D'的中点(2,4,4).在平面CC'D'D上,直线2x+z=0只过点(0,4,0),即点C.取C'D'的中点G,连接GD,则点P在DG上运动或点P在点C处,所以D'P的最小长度为点D'到直线DG的距离,由等面积法可得D'P的最小长度为2×423.C以B为坐标原点,BD所在直线为y轴,过点B且垂直于平面BCD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为△BCD为等边三角形,所以不妨设BC=CD=BD=1.因为∠ADB=π2因为当n=0时,A,B,C,D四点共面,不能构成空间四面体,所以n≠0.易知B(0,0,0),C32,1设平面BAD的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则m令x1=1,则z1=-mn,所以m=1设平面ADC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),则n令x2=1,则y2=3,z2=−mn由图可知α为锐角,所以cosα=|m·n因为m2n2≥0,所以12≤1-4.C以C为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(2,2,0),B(0,2,0),C(0,0,0),B1(0,2,2),D1(2,0,2).设E(t,2-t,2),1≤t≤2,则F(t-1,3-t,2),所以AE=(t−2,−t,2),所以AE·若AE∥BF,则A,B,B1,D1四点共面,与AB,B1D1是异面直线矛盾,故B错误.设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z),易得AB=(−2,0,0),则AB令y=2,得m=(0,2,t).易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),故cos<m,n>=m·易知函数y=1+4所以2≤1+4设二面角E-AB-C的平面角为θ,0°≤θ≤90°,则(cosθ)max=22,所以二面角E-AB-C的平面角的最小值为45°,故C连接BD,AD1,AB1,则平面EFB即为平面BDD1B1,平面AEF即为平面AB1D1.易知平面BDD1B1的一个法向量为CA=(2,2,0).设平面AB1D1的一个法向量为u=(a,b,c),易得AB则AB1·故cos<CA,u>=CA·由图知,二面角A-EF-B为锐二面角,所以二面角A-EF-B的余弦值为定值63故选C.5.答案2解析依题意可知DA,DS,DC两两相互垂直,以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,0,2),S(0,1,0),所以BS=(-2,1,-2).设E(0,0,t),0≤t≤2,则BE=(-2,0,t-2).易知平面ASD的一个法向量为m=(0,0,1).设平面BSE的一个法向量为n=(x,y,z),则n令z=2,则x=t-2,y=2t,所以n=(t-2,2t,2),所以cosθ=|m因为0≤t≤2,所以当t=--42×5=25时,cosθ取得最大值,θ取得最小值,此时DE=26.答案1解析连接C1D,因为C1在平面ABC内的射影为D,所以C1D⊥平面ABC.因为△ABC是等边三角形,D是AC的中点,所以DB⊥AD.以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(3,0,0),C1(0,0,设F(x,y,z),C1F=λC1B1设平面BDE的一个法向量为m=(a,b,c),则m·DE=-1设平面BDF的一个法向量为n=(d,e,f),则n·DF=3λd+λe+3f=0所以|cos<m,n>|=|m令3-λ=t,则t∈(2,3),|cos<m,n>|=12令s=1t,则s∈13,12,|cos<m易知函数y=12s2-6s+1=12s-142+14的图象开口向上,对称轴为直线s=14,所以当s∈13,12时,函数y=12s2-6s+1单调递增,所以当s∈13,17.解析取BD的中点O,连接C'O,AO,则AO⊥BD,C'O⊥BD.因为平面C'DB⊥平面ABD,平面C'DB∩平面ABD=BD,C'O⊂平面C'DB,所以C'O⊥平面ABD.如图,以O为坐标原点,OA,易得BD=22,OA=OC'=2,则A((1)易得C'所以|cos<C'所以异面直线C'D与AB所成角的大小为π3（2）易得C−2设平面C'AB的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1·C'A=2所以n1=(1,1,1).设平面C'AD的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2·C'A=2x2--1,1).所以cos<n1,n2>=n1所以二面角D-AC'-B的正弦值为228.解析(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以BC∥AD,又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.因为BC⊂平面BCM,平面BCM∩平面PAD=MN,所以MN∥BC,又MN⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以MN∥平面PBC.(2)取AB的中点E,连接PE,CE,AC.因为△PAB为等边三角形,所以PE⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PE⊂平面PAB,所以PE⊥平面ABCD.因为四边形ABCD是菱形,所以AB=BC,又∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形,所以CE⊥AB.以点E为坐标原点,EB,EC,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,3,0),D(−2,33,0),设PM=λPD=(−2λ−1,3设平面PBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则m·BC=-x1+3y设平面BCM的一个法向量为n=(x2,y2,z2),则n取x2=3−3λ,得n=(由题意得|cos<m,n>|=|m·n||故当点M为线段PD(不含端点)上靠近点P的三等分点时,二面角P-BC-M的正弦值为10109.解析(1)存在点F,使得CF∥平面POB.连接OC,依题意知PC=3,OC=所以OC2+OP2=PC2,所以OP⊥