精讲精炼（选择性必修第一册）1 .4 空间向量的应用(精讲)

1.4空间向量的应用(精讲)

思维导图

(1)设出平面的法向量〃=(X,J,Z)

(2)找出平面内两步共线的已知向量£、丽坐标

tfa—0

(3)建立关于x、v、z的方程组一_

n»b=0

------------(4)解方程组

法向量o-------------------------------------------------------------------

位置关系向国表示

线线位宜h//h彳〃/!：="]=左〃2（女WR）

亘线人":的方向向导分别为彳，后

关系—<•,■'<■<

hili/J_叫8.・耳=0

线面位置直线/的方向向量为G，平面”的法向l//a“工IW=".",=0

关系

国为“1/_Lan〃（氏wR）

面面位宜a//fln〃=*m（*GR）

空平曲，雨;炯虽分淞%,m

关系aA.fi""产=0

间

空间位置<=>

向

量

应a・b

战线角：设异面直线a、6所成的角为8,则《»。=户向<9e(0y]

用ab

H-

a»n

线面角：/为平面的斜线，为/与所成的角，则加L|COKMI)产篦围[0,4]

空a0as

间

角

二面角：平面a/平面£的〈元，7>=。，则COS。=❷叫,范围[0.n]

-1〃/凡1

考点五求参数

考点一求平面的法向量

【例1】(2021•全国高二课时练习)已知平面a经过三点4(1,2,3),8(2,0,—1),C(3,—2,0),求平面

a的一个法向量.

【答案】(2,1,0)(答案不唯一).

【解析】因为4(1,2,3),8(2,0,-1),C(3,-2,0),所以45=(1，一:2，—4)，AC=(2，-4--

n-AB=0x-2j-4z=C),

3).设平面a的法向量为〃=(x,%z),则有《，即＜°:.

-n-AC=0[2x-4y-3z^0

得z=0,x=2y,令y=l,则x=2,所以平面a的一个法向量为[=(2,1,0).

故答案为：(2,1,0)(答案不唯一).

【一隅三反】

1.(2021.福建)四边形ABCD是直角梯形，ABC=90，S4,平面ABC。，SA—AB—BC—2,AD=1.

在如图所示的坐标系A-孙z中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量

三

ADx

【答案】答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该面的法向量).

【解析】£>(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),/.DC=(1,2,0),D5=(-1,0,2),

设平面SCD的法向量〃=(x,y,z),

n-DC=x+2y=0人cl〃=[1,一2,；

则〈，令工=1,解得：y=-2,z=—,

n-DS=-x+2z=02

即平面SCD的一个法向量为n=l1,-2,1

■.平面SABLx轴，.•.〃z=(l,0,0)即为平面SW的一个法向量.

2.(2021.山东)正方体ABCD-AIBIGG中，E、尸分别为棱4口、的中点，在如图所示的空间直角坐

标系中，求：

⑴平面BDDiBi的一个法向量;

(2)平面BDEF的一个法向量.

【答案】(1)。,一1,0)；(2)(2,2,-1).

【解析】设正方体A8CQ-45Gd的棱长为2,则。(0,0,0),5(2,2,0),A(0,0,2),£(1,0,2),

(I)设平面BDD制的一个法向量为〃=(%,y,zj,

DB=(2,2,0),DR=(0,0,2),

DBn=02x+2y.=0

则〈，即《cc，令玉=1,则y=-l,z=0,

[24=0

，平面向的个法向量为〃=(1,—1,0)；

(2)DB=(2,2,0),DE=(1,0,2),

设平面BDEF的一个法向量为m=（x2,y2,z2）.

jDB.m=02X9+2必=0-

r；-令&=2,得％=_2,Z2=_1,

DE-7?7=0尤）I-U

*，*平面BDEF的一个法向量为m=（2,2,—1）.

考点二利用空间向量证空间位置

【例2-1】（2021•浙江湖州市•高二期末）在空间直角坐标系中，若直线/的方向向量为。=（1,-2,1）,平面a的

法向量为〃=（2,3,4）,则（）

A.IllaB.IVaC./ua或/〃aD./与。斜交

【答案】C

【解析】直线/的方向向量为。=（1,一2,1）,平面a的法向量为〃=（2,3,4）,

因为叱〃=（2,3,4＞（1,-2,1）=2-6+4=0,所以所以/ua或〃/a,故选：C.

【例2-2】（2021・四川省内江市第六中学高二月考（理）汝口图，在底面是矩形的四棱锥P-ABC。中，24,底

面ABC。，E、产分别是PC、PO的中点，PA=AB=1，BC=2.求证：

（DE产〃平面P45；

（2）平面PAD，平面PDC.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】以A为原点，A5所在直线为x轴，A£＞所在直线为了轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系A-初z,

则A（0,0,0）、B（1,O,O）、C（1,2,0）,£>（0,2,0）、P（0,0,l）,所以

EF=1-；,0,0）,PB=（l,0,-l）,PD=（O,2,-l）,AP=（0,0,1）,AD=（0,2,0）,DC=（1,0,0）,

AB=(1,0,0).

(1)因为£/=—L48,所以EF〃AB，即砂〃43.

2

又ABi平面B48，EFU平面Q4B，所以E尸〃平面E48;

(2)因为AP-DC=(0,0,l)。(l,0,0)=0,所以4P_L℃,同理可得_L℃，

即AP_LZ)C,ADVDC

又APcAD=A，所以。CJ_平面/为£).

。。匚平面尸。。，所以平面ELD_L平面P£>C.

【一隅三反】

1.(2021•全国高二课时练习)下列命题中，正确命题的个数为()

①若〃I，%分别是平面a,0的法向量，贝IJ鸟〃〃”；

②若力,〃2分别是平面a,夕的法向量，则aL?Q〃1=0；

③若〃是平面a的法向量，。是直线/的方向向量，若/与平面a平行，则〃々=0;

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①中平面a，6可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确故选：C

2.(2021•福建)如图,在正方体A5CD-AB1C1D1中,E,2分别是B山,2c的中点,求证:AE_L平面AQiF.

【答案】证明见解析

【解析】如图所示，以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,

则A(1,O,O),E(l,l,|),A(1,0,1),D,(0,0,1),F(0,p0),

所以AE=(0,l,g),AQ=(-1,0,0),D,F=(0,1,-l),

由=0,AEDyF=Q.可得A。，A£_L。尸，

即AEJ_AA,AE±,

又由ARRF=R,A〃，£>/u平面4AE

所以AEJ_平面4。尸.

3.(2021•广东肇庆)如图，已知A8L平面ACD,平面ACD,AACD为等边三角形,AO=OE=2AA求证:

平面BCEJ_平面CDE.

【答案】证明见解析

【解析】设A£)=£>E=2AB=2a,

以A为原点，分别以AC,A8所在直线为x轴，z轴，以过点A在平面ACO内垂直于AC的直线为y轴,

建立如图所示的空间直角坐标系A-.qz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),8(0,0,a),D{a,y/ja,0),

E(a,^3a,2a).

所以BE=(a，百4，4)，BC=(2a,0,—a),CD={-a,6a,0),££)=(0,0,—2a).

设平面BCE的法向量为4=(M,yi,zi),由々•班=0,々•■BWm。可得

ax.+\J3ay,+az,=0.x,+>J3y+z.=0,,一°ur-

〈।凹1即「)1令.=2,可得〃=(1,—有，2).

2ax{-az[=0,[2xl-zl=0.

LU-.一一.

设平面CDE的法向量为々=。2,丁2,Z2),ill^2-CD=0,%•£1£)=()可得

-ax2+也ay2-0,-X-)+>/3%=0

-2az2=0,Z)=0.

uuU111

令”=1,可得〃2=(6，1，0)-因为勺=lxg+lx(一6)+2x0=。.所以“_|_々，

所以平面BCEL平面CDE.

4.(2021.云南)如图，正方形ADE尸与梯形ABC。所在的平面互相垂直，AD1CD,AB//CD,AB=AD=2,

CD=4,M为CE的中点.

(1)求证：〃平面ADEF；

(2)求证：BC_L平面BOE；

(3)证明：平面BCEL平面BOE.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】证明••・平面AOEF，平面ABC。，平面AQEFC平面48CQ=A。，ADLED,EOu平面AOEF,

...E£)_L平面ABCD.

以。为坐标原点，DAZ)C,r>E分别为X轴，y轴，Z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

则0(0,0,0),A(2,0,0),8(.2,2,0),C(0,4,0),£(0,0,2),尸(2,0,2).

(1)；M为EC的中点,2,1),

则BM=(—2,0,l),=(-2,0,0),AF=(0,0,2),

:.BM=AD+^AF,故共面.

又BMC平面ADEF,：.BM〃平面ADEF.

(2)BC=(-2,2,0).03=(2,2,0),DE=(0,0,2),

BCDB=-4+4=0，

又BCDE=0，JBCLDE.

又DECDB=D,DB,OEu平面8£>E,BDE.

(3)证明山(2)知8cl.平面BOE,又BCu平面BCE,平面BCE_L平面BCE.

考点三利用空间向量求空间角

【例3】(2021•浙江)如图，在四棱锥B-ACOE中，平面ABC,ACIIDE,ZBAC=120°,

AB=AE=DE^-AC^2,F，G,”分别为线段BE,CD,AC的中点.

2

(I)求异面直线破与G”所成角的余弦值；

(II)求直线DF与平面BCO所成角的正弦值.

【答案】(gn)嚼

【解析】以A为原点，AC,AE分别为y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则B(永，-1,0),E(0,0,2),0(0,2,2),C(0,4,0),

F(^,-1,l),G(0,3,l),"(0,2,0)

(I)靛=(-"1,2)，肩=(0,-1,-1)，

—>f

—>—>BEGH-33

/.cos<BE,GH>=

V8-V2

\BE\\GH\4

3

异面直线BE与G"所成角的余弦值为--

4

(H)设平面BCD的法向量为n=(X,y,z)，直线与平面3。所成角为氏

BC=(-6,5,0),CD=(0,-2,2)，DF=

BCn=0―y/3x4-5y—0/t5A/3

则《即―1。’令…，可得〃=(一,»

CDn=0

sin6=

\n\\DF\

即直线DF与平面BCD所成角的正弦值」匝

124

【一隅三反】

1.(2021•浙江)如图，在三棱锥P—A8C中，已知R4=PB=，AC=J5,AB=8C=2,平面RIB_L平

2

面ABC,则异面直线PC与AB所成角的余弦值为()

D.国

3

【答案】A

【解析】

取AB的中点为£>，连接PO

因为PA=PB，所以尸£>_LA5，

因为平面R4B_L平面ABC，平面PABc平面ABC=AB，P£>u平面

所以PDL平面ABC

因为PA=PB=，AC=及，AB=BC=2

2

所以AB,3c

如图建立空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,0),尸(0,1,1),C(2,0,0)

所以AB=(O,—2,0),PC=(2,-l,_l)

\ABPC\2_V6

所以异面直线PC与所成角的余弦值为~

网俨q2.V6-6

故选：A

2.（2021•天津高三二模）如图，在三棱柱ABC—中，CGL平面ABC,CA=CB=2,NACB=90°,

侧棱44,=1,M是44的中点.

（1）求证：A51C\M：

（2）求直线A乃与B。所成角的余弦值；

（3）求二面角A-A,B-C的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）也；（3）题.

510

【解析】（1）证明：依题意，以点c为坐标原点，分别以C4，CB，CC；的方向为X轴、y轴、Z轴的正方

向建立空间直角坐标系C-孙Z

则3(0,2,0),C(0,0,0),A(2,0,1)，/(1,1,1)，c,(0,0,1),4(0,2/).

所以48=(—2,2,—1),C,M=(1,1,0),

所以AB-GM=—2+2+0=0，

所以,即AB_LGM.

(2)解：由(1),得kq=3,fi,C=(O,-2,-l).

所以43出0=—3，|BC|=6,

-3

所以COS(AB，4C)=

A用4c|_3x6_5'

即所求直线AB与B,C所成角的余弦值为好.

（3）解：依题意及（1）,得=（2,0,1）.

设平面A}BC的法向量为n=（x,y,z）,

〃•A8=0,一2x+2y-z=0,

则〈

n-CAj=0,2冗+z=0,

令x=l,得z=—2,y=o,所以〃=(1,0,—2)

由（1）及题意知，GM_L平面

所以平面A4/的法向量是GM=（l],0）

所以同=石，|泵|=0,n-C~M=\.

n•CM_1_而

所以COS(〃，GM

同,陷「石x近—10

设二面角A-AB-C的平面角为/，由于0＜夕＜乃，

所以sin（p=卜COS2（〃，GM）=卜（噜）=孽。­

故所求二面角A-4B-C的正弦值为噜.

3.（2021•新安县第一高级中学）已知正三角形ABC的边长为6,点E、。分别是边A3、AC上的点，且

APCD1

满足一=—=—（如图1）,将ADE沿DE折起到4。后的位置（如图2）,且使AE与底面BCDE成60

EBDA2

角，连接Am，4c.

A

4

⑴求证：平面ABE，平面BCDE；

（2）求二面角4-CO-E的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）竺3.

13

19

【解析】（1）折叠前，在图1中，AE=-AB=2,AD=-AC=4,Zft4E=60°.

33

由余弦定理可得DE2^AD2+AE2-2AD-AEcosZDAE=12，

所以，AE2+DE2=AD2>则DE_LAB，

折叠后，在图2中，对应地有。DE上BE，

=「.OEl,平面ABE,

DEu平面3CQE,因此，平面4BE_L平面5CDE；

（2）过点4在平面ABE内作A"_!BE,垂足为点M，

・平面A£E_L平面8CDE,平面A】BEC平面BCDE=BE,A"u平面AQE,

二.AML平面BCDE,：.\E与平面BCDE所成的角为EM=60,

因为OE_L平面ABE,以点£为坐标原点，EB、ED所在的直线分别为％、V、z轴建立如下图所示的

空间直角坐标系后一刀尸，

D

则A(1,0,6)、E(0,0,0),£>(0,273,0),C(l,373,0),

设平面4。的法向量为m=(x,y,z),DC=(1,75,0),D4,=(1,—2"G),

m-DC=x+6y=0

取x=则加=（6,-1,一3）,

由<

m・DA=x-2\/3y+y/3z=0

易知平面COE的一个法向量为〃=（0,0』），

m-n33A/13

cos<m,n>=,；­；~~；~~r=--^=------

WWV1313，

由图可知，二面角A-C。-E为锐角，它的余弦值为"3.

13

考点四利用空间向量求空间距离

【例4】（2021・全国高二课时练习）长方体468-44。|。|中，4?=4,AD=6,想=4,M是4G

的中点，P在线段BC上，且|C"=2,。是。2的中点，求：

（l）M到直线PQ的距离；

⑵M到平面AB7的距离.

【答案】（1）亚叵；（2）述.

63

【解析】如图，建立空间直角坐标系6-孙z,

则A（4,0,0）,"（2,3,4）,P（0,4,0）,。（4,6,2）,B,（0,0,4）.

（1）QM=（-2-3,2）,QP=（T,—2,-2）,

\QM-QP\|8+6-4|^576

:.QM在上的射影的模为

QP|Qp|Jl6+4+46

到宜线PQ的距离为

⑵设平面AB7的法向量〃=（%,y,z）,则〃nJLAP>

A4=（T,0,4）,AP=（T,4,0）,

n-AB=-4x+4z=0

},令x=l,解得:y=l,z-l>.,.“=（1,1,1）,

n-AP=一4尤+4y=0

又M4=（2,-3T）,

AM-??|2-3-4|5J3

M到平面ABf的距离d==L___L=_2_.

【一隅三反】

1.（2021.河北）如图，在棱长为2的正方体ABC。—AgG。中，E为8。的中点，点P在线段3£上.点

P到直线CG的距离的最小值为

【答案】巫

5

【解析】点P到直线cq的距离的最小值就是异面直线。E与cq的距离.

以点D为原点，分别以的方向为X轴、y轴、Z轴正方向建立空间宜角坐标系,

则R(0,0,2),E(l,2,0),C(0,2,0)，G(0,2,2),「.RE=(1,2,-2),。6=(°，°，2).

设〃J_£)]£*,〃_LCCj,n=(x,y,z)，

n-D,E=x+2y-2z=0

则〈,取y=-l,则x=2,z=(),即〃=(2,-1,0),

n-CC]=2z=0

又CE=(1,0,0),则异面直线与CC,的距离d=|H-C£|=—.

I«l5

故答案为：亚.

5

2.(2020•邵东市第一中学高三月考)在棱长为。的正方体ABC。—AgCQ中，点M是线段QG上的动点，

则M点到直线AD｝距离的最小值为

【答案】叵

3

以4为坐标原点，AD,AB,AA,所在的直线为xj,z轴建立空间直角坐标系，如图:

A（0,0,0）,D（a,O,O）,DX（a,0,6Z）,

DC、=（O,a,q）,AD】=（a,O,a）,

点M点到直线ADi距离的最小值为两异面直线AD,和0c间的距离,

设他们的公垂线所在的向量为几=（x,y,z）,

n-DC,=ay+az=0

山＜,令x=1,则y=1,z=—1,

n•AD}=ax+az=0

所以〃=(1,1广1),AD=(«,0,0),

,\n-AD\ag

则两异面直线A。和DC］间的距离为：—i-q———j==——a

\n\V33

故答案为：叵

3

3.（2021•周至县第二中学高二期末（理））如图，正方体488—43'。。'，棱长为2,E为C'。'的中点;

⑴求证：A'CIB'D'；

⑵求证：A'C_L平面AB'。'；

（3）求点A到平面BEC的距离；

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析：（3）逑.

5

【解析】（1）以。为坐标原点，分别以QA、DC、为》轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则A'(2,0,2),C(0,2,0),8'(2,2,2),D'(0,0,2),

则A'C=(-2,2,-2),5'。'=(一2,-2,0),

因为A'CB'£)'=0，所以A'C_L8'。'，

所以A'C"L3'。'.

(2)4(2,0,0),A3'=((),2,2),

因为A'CA6'=0，

所以A'CJ.AB'，

又因为4C"L3'。'，且

所以A'C_L平面AB'。'；

(3)8(2,2,0),£(0,1,2),BC=(-2,0,0),CE=(0,-l,2),

设平面BEC的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-BC=Q

则《，即《

n-CE=Q—y+2z-0

设z=l，则y=2,尤=0,则〃=(0,2,1)，

设点A到平面BEC的距离为d，

\BA-n\4_475

贝存二可；

\n\

4.(2021•上海高三二模)如图，在直三棱柱A8C-4BiG中，BAA.BC,BA=BC=BB1=2.

(1)求异面直线A8与AiCi所成角的大小；

(2)若”是棱BC的中点.求点M到平面AiBiC的距离.

【答案】(D—;(2)—.

32

【解析】⑴由于4C//4C,所以NC4B(或其补角)即为异面直线A51与4G所成角,

连接C5,在aABC中，由于做=4C=AC=2&,所以AABC是等边三角形，

(2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C(0,0,2)、以(0,2,0)、4(2,2,0)、

M(0,0,1).

设平面ABC的法向量为〃=(〃,％vv),则〃_LC4，〃_LA4.

VCB,=(0,2,-2),\B[=(-2,0,0),

且nCB]=0,〃•A4=0,

2v-2w=0(w=v

，〈一八=〈八，取u=1,

—2u=0[〃=0

得平面AiB.C的一个法向量为n=(0,1,1),且口=血，

又•：MB、=(0,2,-1),

,\n-MB\10x0+1x2-11]8

于是点M到平面A\B\C的品H离d=—|­।—=-----j=------=

所以，点M到平面4BC的距离等于变.

2

'MN1CB]

解法二：过点M作仞VJ_CS交CB于N,由平面481c.

CB}cAq=B、

冗5

在RtCMN中,由NMCN=—,CM=\,得MN

42

所以，点M到平面4SC的距离等于变.

2

考点五求参数

【例5】(2021•全国高二单元测试)在直三棱柱ABC-48cl中，4c=3,BC=4,AB=5,A4i=4.

⑴求证：AC_LBG；

(2)在AB上是否存在点。，使得AGLC。？

⑶在AB上是否存在点D,使得AG//平面CDBi?

【答案】(1)证明见解析；(2)存在；(3)存在.

【解析】直三棱柱48C-45G,AC=3,BC=4,AB=5,则AC,BC,CG两两垂直，以C为坐标原点,

直线C4,CB,CG分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0),A(3,0,0),Ci(0,0,4),

2(04,0),8(04,4).

Xy

(1)证明：•••AC=(-3,0,0),BC}=(0,-4,4),

:.AC-SC,=0,

AAC±BC11：.ACLBCy.

UUIUuuu

(2)假设在AB上存在点。，使得则AO=/lAB=(-32,4Z,0),其中国Wl,则以3—32,4A

0),于是CO=(3—3九42,0),

由于AG=(-3,0,4),且4GJ_CD,

所以AC/CO=-9+9i=0,得7=1,

所以在A8上存在点。，使得AG，C£>,且这时点。与点8重合.

UUIUUIU

(3)假设在48上存在点£>,使得AG〃平面CD®,则AO=245=(-32,虱,0),其中闫W1,则£>(3—3九

4A,0),ByD—(3—3A,4A—4,—4).

-uuu

又4c=(0,-4,-4),ACj=(-3,0,4),AG//平面COB,所以存在实数机，〃,使Ag=m4。+〃4c

成立.

.•."7(3—32)=—3,w(4A—4)—4M=0,—4m—4n=4.

所以％=工,所以在AB上存在点。使得AG〃平面COB,且。是A8的中点.

2

【一隅三反】

I.(2021•全国高二课时练习)在多面体ABC0E/7中，正方形ABC。和矩形BOE尸互相垂直，G、”分别

是£>石和BC的中点，AB=BF=2.

⑴求证：£»，平面ABCD.

(2)在边所在的直线上存在一点P,使得FP〃平面AG”，求EP的长:

【答案】（1）证明见解析；（2）26.

【解析】（I）因为四边形8DE户为矩形，则£D_L3。，

因为平面8年产_L平面ABCD，平面BDEFc平面ABC£＞=B£＞，EDu平面BDEF，

所以，即，平面A5CO；

（2）因为EOL平面ABCD，四边形ABC。为正方形，

以点。为坐标原点，D4、DC、OE所在宜线分别为x、＞、z轴建立空间直角坐标系。一肛z,

则A(2,0,0)、G(O,O,1)、”(1,2,0)、F(2,2,2),设点P(a,2,0),

FP=(a-2,0-2),AG=(-2,0,1),=(-1,2,0),

设平面AGH的法向量为n=(x,y,z),

n-AG=-2x+z=0

由《令x=2,可得“=(2,1,4),

n-AH=-x+2y=0

要使得FP〃平面AG”，则b所以，FPn=2（a-2）-8=0,解得a=6,

则FP=(4,0,-2),此时，|FP|=^42+02+(-2)2=2V5.

2.（2021・山西）如图所示，平面CCEF1平面ABCD且四边形A8CO为平行四边形，/D4B=45。，四边形

CDEF为直角梯形,EF//DC,ED±CD,AB=3EF=3,ED=a,AD=&.

M

(1)求证：AD工BF；

CM

(2)若线段CF上存在一点M,满足AE〃平面求的值;

~CF

【答案】（1）证明见解析；（2）——=-.

CF5

【解析】（1）：面COEF1面ABC。，ED±CD,ED