2023-2024学年河北省保定市曲阳第一高级中学高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省保定市曲阳第一高级中学高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+3i1+iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若acoA.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形3.已知向量a，b满足|a|=2，b=(3,0)A.(16,0) B.(14.宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑.其中汝窑被认为是五大名窑之首.如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3：4，则该汝窑双耳罐的体积是(

)A.1784π3 B.1884π3 C.5.从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为(

)A.0.8 B.0.675 C.0.74 D.0.826.设m、n为空间中两条不同直线，α、β为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为(

)A.若m上有两个点到平面α的距离相等，则m/​/α

B.若m⊥α，n⊂β，则“m/​/n”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件

C.若α⊥β，m⊂α，n7.在△ABC中，AC=2，D为AB的中点，CD=12A.314 B.133 C.8.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=1，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有(

)

A.该半正多面体的体积为524

B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为334

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，则(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(

)A.m=0.030 B.样本质量指标值的平均数为75

C.样本质量指标值的众数小于其平均数 D.样本质量指标值的第7510.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是A.若a>b，则sinA>sinB

B.若a2+b2<c211.如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为3，D，E，F，G分别在棱A1B1、A1C1、AB，A.DE/​/平面PFG

B.若M，N分别是平面A1ABB1和A1ACC1内的动点，则△MNP周长的最小值为94

C.若BF=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量BC=(3,1),AC=(213.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且a314.如图所示，直角三角形ABC所在平面垂直于平面α，一条直角边AC在平百α内，另一条直角边BC长为33且∠BAC=π6，若平面α上存在点P

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a,b满足a+b=(3,1)，a−2b=(0,7)．

(16.(本小题15分)

某地统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本数据的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500))．

(1)求居民月收入在[3000,3500)的频率；

(217.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E为棱AD的中点，PA⊥平面A18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a,sin2A)，n=(b,si19.(本小题17分)

如图，已知三棱台ABC−A1B1C1的体积为7312，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=2A

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：复数z=1+3i1+i2023=1+3i1−i=(2.【答案】A

【解析】解：acosC+ccosA=a，

由正弦定理得sinAcosC+sinCc3.【答案】C

【解析】解：b=(3,0)，

则|b|=3，

|a−b|=10，|a|=2，

则a4.【答案】D

【解析】解：∵上、下两圆台的高之比是3：4，∴上圆台的高为14×33+4=6厘米，

下圆台的高为14×43+4=8厘米，

故上圆台的体积为V1=65.【答案】D

【解析】解：从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题，

按照分层抽样的方法从甲队中抽取10×60100=6人，

从乙队中抽取10×40100=4人，

这10人答对题目的平均数为110(6×16.【答案】D

【解析】解：m、n为空间中两条不同直线，α、β为空间中两个不同平面，

对于A，若m、n是异面直线，

则m上有两个点到平面α的距离相等，m与α可以相交，故A错误；

对于B，若m⊥α，n⊂β，则“m/​/n”是“α⊥β”的充分不必要条件，故B错误；

对于C，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n位置关系不固定，故C错误；

对于D，若m、n是异面直线，m⊂α，m//β，n⊂β，n/​/α，

由面面平行判定可以推出α/​/β，故D正确．

故选：D7.【答案】D

【解析】解：因为D为AB的中点，则CD=12(CA+CB)，

可得CD2=14(CA2+CB2+2CA⋅CB)，即7=14(4+28+2CA⋅CB)，解得CA⋅C8.【答案】D

【解析】解：如图所示：

∵该半正多面体由正方体截去8个顶点所对应的小三棱锥而得到，又AB=1，

∴原正方体的棱长为2，

∴该半正多面体的体积为(2)3−8×13×12×(22)3=523，∴A选项错误；

根据题意可知：该半正多面体过A，B，C三点的截面是边长为1的正六边形ABCDEF，

∴该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为：9.【答案】AC【解析】解：对于A，由题意知(0.010+0.015+m+0.035+0.010)×10=1，解得m=0.030，故A正确；

对于B，样本质量指标值的平均数为55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5，故B错误；

对于C，样本质量指标值的众数是70+802=75<76.5，故C正确；

对于D10.【答案】AB【解析】解：对于A：由正弦定理可知：asinA=bsinB，因为a>b，所以sinA>sinB，所以A正确；

对于B：根据余弦定理由a2+b2<c2，得a2+b2<a2+b2−2abcosC可得cosC<0，

因为C∈(0,π)，所以有C∈11.【答案】BC【解析】解：直三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为3，

对于A，由A1D=A1E=BF=CG，得DE//B1C1//BC//FG，

显然FGDE构成一个平面，连接DF，EG，A1B和A1C，

正方形AA1B1B中，A1D=BF，设A1B∩DF=O1，显然△A1DO1≅△BFO1，

则A1O1=BO1，即O1为A1B的中点，于是DO1=FO1，即O1为DF的中点，

同理设A1C∩EG=O2，则O2为EG的中点，因此O1O2是△ABC中位线，

由A1H为△A1BC中线，得P为O1O2中点，因为O1O2⊂平面FGED，

因此P∈平面FGED，即平面PFG与平面FGED为同一个平面，

则DE在平面PFG内，A错误；

对于B，显然平面A1ABB1与平面A1ACC1所成锐二面角大小为60°，

计算可得点H到平面A1ABB1和A1ACC1的距离334，

由选项A知，P是AH的中点，

则点P到平面A1ABB1和A1A12.【答案】−16【解析】解：依题意，CD=AD−AC=(m−2,−6)，由B，C，D三点共线，得BC//13.【答案】2π【解析】解：由题意，点G是△ABC的重心，

则由向量的平行四边形法则可得GA+GC=BG，

代入a3GA+b5GB+c7GC=0，

可得(a3−b5)GA+(c14.【答案】6【解析】解：在Rt△ABC中，BC=33，∠BAC=π6，则AB=233，

又平面ABC⊥α，平面ABC∩α=AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，

所以BC⊥平面APC，

连接CP，CP⊂α，所以BC⊥CP，

得CP15.【答案】解：(1)因为a+b=(3,1)，a−2b=(0,7)，

所以3a=2(a+b)+a−2b=2(3,1)+(0,7)=(6,9)，解得a=(2,3)，

所以b=(3,1)−(2,3)=(1,−2)，可得a−b=(2,3)【解析】(1)根据题意求出a、b的坐标，从而得到a−b的坐标，然后根据数量积的坐标表示计算出a⋅(a−b)的值；

(2)求出12a16.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，居民月收入在[3000,3500)内的频率为0.0003×500=0.15；

(2)由频率分布直方图可知，

0.0002×(1500−1000)=0.1，0.0004×(2000−1500)=0.2，0.0005×(2500−2000)=0.25，

∵【解析】本题考查频率分布直方图及分层抽样的方法，求解此类题的关键是熟练掌握频率分布直方图的结构及分层抽样的规则，本题属于统计中的基本题型，是这几年高考的热点，在高考的试卷上出现的频率相当高，应对此类题做题的规律好好理解掌握．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×频率组距=频率，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求频率，属于基础题．

(1)利用频率分布直方图，小矩形的面积即为频率，从而可得答案；

17.【答案】(1)证明：连接CE，

因为AD//BC，BC=CD=12AD=1，且E是AD的中点，

所以AE/​/BC，AE=BC，

所以四边形ABCE是平行四边形，

所以AB//CE，

又AB⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，

所以AB/​/平面PCE．

(2)证明：在直角梯形ABCD中，BC=CD=12AD=1，

所以AB=2，BD=2，

所以AB2+BD2=AD2，即AB⊥BD，

因为PA⊥平面ABCD，BD【解析】(1)连接CE，先证四边形ABCE是平行四边形，可得AB//CE，再由线面平行的判定定理，即可得证；

(2)先利用勾股定理证明AB⊥BD，由PA⊥平面AB18.【答案】解：(1)因为m=(a,sin2A)，n=(b,sinB)，且m//n，

所以asinB=bsin2A=2bsinAcosA，

由正弦定理可得：s【解析】(1)由m=(a,sin2A)，n=(b,19.【答案】解：(1)三棱台ABC−A1B1C1中，AB//A1B1AB=2AA1=2A1B1=2BB1，

则四边形ABB1A1为等腰梯形，

且∠ABB1=∠BAA1=60°，设AB=2x，则BB1=x，

由余弦定理AB1=3x，则AB2=BB12+AB12，

由勾股定理的逆定理得AB1⊥BB1，

∵平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面B