吉林省吉林市第一中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题（教师版）

2021-2022学年吉林省吉林一中高二（下）期末数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合，然后利用并集的定义运算即得.【详解】因为，所以．故选：A.2.在中，，则“”是“是钝角三角形”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】在中，由得：或，而，则，因此得，于是得，是钝角三角形，当是钝角三角形时，取钝角，，即是钝角三角形不能推出，所以“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件.故选：A3.计算：（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】，故选：C4.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生层云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建条隧道，测量员测得些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A.km B.km C.km D.km【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC和∠ACB的正余弦，利用余弦和差公式求出∠ACD的余弦值，进一步根据余弦定理求出AD，从而得到答案.【详解】连接AC，设，在△ACB中，AB=4，BC=5,，所以AC=所以,所以cos=所以多以.故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解决实际问题的知识点，考查计算能力，属于比较常见的题型.5.已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，定义在上的函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，所以又由当时，结合初等函数的性质，可得函数为单调递增函数，又由对数的运算性质可得，所以，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的转化思想，以及熟练应用函数的单调性及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6.函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（）A.B.是函数图象的一条对称轴C.时，函数单调递增D.的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是【答案】C【解析】【分析】由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由最低点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论．【详解】解：函数，的图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，，，，，，解得，，因为，令，可得，所以函数，故A错误；，故函数关于对称，故B错误；当时，，函数单调递增，故C正确；把的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则，，即，，令，可得的最小值是，故D错误，故选：C7.若存在直线与函数，的图像都相切，则实数a的取值范围是（）A.[-e，+∞） B.[-2，+∞）C.[-1，+∞） D.[-，+∞）【答案】C【解析】【分析】注意到函数图像下凸，图像上凸，根据题意只要函数图像在函数图像之上即可，所以定义域恒成立即可得解.【详解】注意到函数图像下凸，图像上凸，故“存在直线与函数的图像都相切”即在定义域恒成立，记在（a，+∞）上单调增，且在（a，+∞）有唯一零点，即，且，于是，故选：C.8.双曲余弦函数是高等数学中重要的函数之一.定义在R上的函数的图象关于点对称，且当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先推出的图象关于点对称，则，再将不等式化为，然后根据导数判断函数的单调性，利用单调性可解得结果.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，所以，所以，所以，所以不等式等价于，因为当时，，，所以在上单调递增，当时，，，所以在上单调递增，又因为的图象连续不断，所以在上单调递增，所以等价于，得，所以不等式的解集为.故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列函数中是偶函数，且值域为的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】先由奇偶性排除B，再由值域排除C，进而可得正确答案.【详解】由题意可得是奇函数，故排除选项B；是偶函数，但值域为，故排除选项C；和都是偶函数，且值域均为.故选：AD.10.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（）A.当时，B.函数有两个零点C.若方程有三个解，则实数的取值范围是D.【答案】AC【解析】【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在R上的大致图象，从而可逐项判断B、C、D．【详解】对A，设，则，所以，又函数是定义在R上的奇函数，所以，所以，即故A正确．对B，当时，，所以，令，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极小值，当时，，又，故函数在仅有一个零点．当时，，所以函数在没有零点，所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，故函数在上仅有一个零点，又，故函数在上有3个零点．故B错误．对C，作出函数的大致图象，由图可知若关于的方程有解，由B中的单调性可得，实数的取值范围是.故C正确．由图可知，对，故D错误．故选：AC．11.已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（

）A.在区间上有且仅有个不同的零点B.的最小正周期可能是C.的取值范围是D.在区间上单调递增【答案】BC【解析】【分析】根据三角函数对称轴情况可得的取值范围，进而判断各选项.【详解】解：由函数（），令，，则，，函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，由，得，即，则，，，，即，，C正确；对于A，，，，当时，在区间上有且仅有个不同的零点；当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A错误；对于B，周期，由，则，，又，所以的最小正周期可能是，故B正确；对于D，，，又，又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误；故选：BC．12.已知正数x，y，z满足，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】设，，求出，根据对数的运算性质及换底公式计算即可判断A；利用作商法即可判断B；利用作差法即可判断D；再根据AD即可判断C.【详解】解：设，，则，，，所以，A正确；因为，则，因为，则，所以，B正确；因为，则，D正确.因为，则，所以，C错误.故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在处的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义求解，对函数求导，然后求出就是切线的斜率，再求出，再利用点斜式可求出切线方程【详解】由，得，所以切线的斜率为，因为，所以曲线在处的切线方程为，即，故答案为：14.若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，，使关于的不等式成立，则，即，，再结合对勾函数找到最大值即可求出实数的取值范围．【详解】解：，使关于的不等式成立，则，即，，令，，则对勾函数在上单调递增，所以，故故答案为：15.的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.【答案】【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16.已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先利用导函数求的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．【详解】解：因为，则，当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，，故的大致图像如图所示：关于的方程等价于，即或，由图可得，方程有且仅有一解，则有两解，所以，解得，故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共72.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求角A的值；（2）在①MC=2MB，②S△ABM=，③sin∠MBC=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．若M为AC边上一点，且MA=MB，_______，求△ABC的面积S△ABC．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理，转化得到，借助于诱导公式得到，由，即可求出；（2）选条件①：在中，设，利用余弦定理得解得，求出的面积.选条件②：由，求得.在中，设，利用余弦定理得，解得.即可求出的面积.选条件③：在中，由正弦定理求得.设，由余弦定理解得即可求出的面积.【小问1详解】由已知及正弦定理，得因为，则，所以，即，则，因为，则，，所以，得，即.【小问2详解】选条件①：如图，因为，，则为等边三角形.中，设，则.因为，，由余弦定理得，即，得所以，，的面积.选条件②：如图，因为，，则为等边三角形.因为，则，所以.在中，因，设，由余弦定理得即，解得，则.所以的面积.选条件③：如图，因为，，则为等边三角形，从而，在中，由正弦定理，得设，由余弦定理，得，即，解得.从而，所以的面积.18.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有最大值，且，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与，讨论时、时，判断导函数的符号，即可求解；（2）根据（1）可得，得，设，利用导数求出函数的单调性，结合即可求解．【详解】（1）的定义域为，由可得，当时，，所以上单调递增；当时，令，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知，当时，在上单调递增，无最大值，当时，在上单调递增，在上单调递减；所以当时，取得最大值，即，因此有，得，设，则，所以在内单调递增，又，所以，得，故实数的取值范围是．19.某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选200名学生进行调查，调查样本中男生、女生各100名，下图是根据样本调查结果绘制的等高堆积条形图.性别了解航空航天知识程度合计得分不超过85分的人数得分超过85分的人数女生男生合计（1）请将上面列联表填写完整.（2）依据的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？（3）现从得分超过85分的同学中采用按性别比例分配的分层抽样方法抽取7人，再从这7人中随机抽选3人参加下一轮调查，记为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量的分布列和数学期望.附：参考公式：，其中下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析（2）能（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据图可得，分别求得女生得分超过分的人数和男生中得分不超过分的人数，进而得到列联表；（2）由（1）中的表格，求得的值，结合附表，即可得到结论；（3）由（1）采用分层抽样的方法抽取7人，则男生占5人，女生占2人，得到取值可能为，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：根据图可得，女生中得分不超过分的人数，女生得分超过分的人数，男生中得分不超过分的人数，男生得分超过分的人数，则列联表为：性别了解航空航天知识程度合计得分不超过85分的人数得分超过85分的人数女生8020100男生5050100合计13070200【小问2详解】解：由（1）中的表格，可得，所以，依据的独立性检验，认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.【小问3详解】解：由（1）可得，得分超过85分的学生中男生：女生，从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取7人，则男生占5人，女生占2人，则取值可能为，则，，，所以随机变量的分布列为012所以期望.20.某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．（1）向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的极大值点；（2）游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．【答案】（1）（2）游客甲选择向B桶投球更有利；理由见解析【解析】【分析】（1）根据概率公式求得概率，利用导数求得极大值点即可；（2）分别求出游客投进A，B，C三桶的纯收入的期望，比较其大小即可得到结论.【小问1详解】3次向A桶投球投进2次的概率．则．令，得．当时，；当时，．∴在上单调递增，在单调递减，∴所以的极大值点．【小问2详解】由（1）得