人教A版 (2019)选择性必修第一册1 .4 空间向量的应用同步练习

人教A版(2019)选择性必修第一册1.4空间向量的应用

同步练习

一、单选题

1.如图，在三棱锥P—ABC中，已知P4=PB=gAC=夜，AB=BC=2,平面

平面ABC,则异面直线PC与A8所成角的余弦值为()

A.&B.@C.且D.如

6333

UL*IUUU

2.空间有四点A、B、C、D,其中=(2加,〃?,2),CZ)=(〃?,m+l,-5)，且

uimuun/|3、

A8+CQ=15,1,一3卜则直线A8与CD()

A.平行B.重合C.必定相交D.必定垂直

3.如图，正三角形AC8与正三角形48所在平面互相垂直，则二面角B-CD-A的

余弦值是()

4.已知空间三点4-2,0,8),尸(机加，⑼，8(4,-4,6),若向量丽与丽的夹角为

60°,则实数加=()

A.1B.2C.-1D.-2

5.已知平面a的法向量为3=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面a内，则点尸(-2,1,4)到平

面a的距离为与，则x=()

A.-1B.-11

C.-1或一11D.-21

6.已知四边形ABC。为正方形，尸为平面ABC。外一点，PD1AD,PD^AD=2,二

面角P-AD-C为60°,则P到AB的距离是（）

A.272B.£

C.2D.y/1

7.若平面a,夕的法向量分别为I=（T,2,4）,6=（%,-1,-2）,并且a〃夕，则x的值

为（）

A.10B.-10C.gD.--

22

8.已知两不重合直线4和4的方向向量分别为彳=（l,o,-1）,E=（-2,0,2）,则4与，2

的位置关系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.不确定

9.如图，在三棱锥P-ABC中，AABC为等边三角形，△以（?为等腰直角三角形，

PA=PC=4,平面尸AC_L平面ABC,。为AB的中点，则异面直线AC与PO所成角的

「x/3

\_z.--D.

42

10.若平面a,4的法向量分别为“》=（一1,2,6）,则

A.all(3B.a与夕相交但不垂直

C.a"D.a〃Z?或a与夕重合

11.平面a的一个法向量是五平面夕的一个法向量是玩=（-3,6,-2）,则

平面a与平面夕的关系是（)

A.平行B.重合C.平行或重合D.垂直

12.已知动点P在正方体48CO-A百GA的对角线（不含端点）上.设黑=4,若

L）XD

NAPC为钝角，则实数2的取值范围为（）

A.（0,1）B.陷C.（打D.加

二、填空题

13.在正方体ABCO-ABCR中，点E是棱BC的中点，点尸是棱CD上的动点，当

答CF=时，。卢，平面A8/.

14.已知正方体ABCC-ABGQ棱长为4,M棱CG上的动点，AM,平面。，则下列

说法正确的是.

①若N为。。中点，当AM+MN最小时，-=

②当点M与点G重合时，若平面a截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越

大；

③直线A8与平面a所成角的余弦值的取值范围为［弓,乎］;

④若点M为CC的中点，平面a过点8,则平面a截正方体所得截面图形的面积为

18；

⑤当点M与点C重合时，四面体AMR内切球表面积为等.

15.正四棱柱中，AB=2,A4/=4,E为AB的中点，点F满足

QF=3FC,动点M在侧面A4/O/D内运动，且MB〃平面O/EF,则|MD|的取值范围

是.

16.如图，在正方体ABCD-A耳GR中，E为棱4G的中点，动点尸沿着棱QC从点

。向点C移动，对于下列三个结论:

①存在点P,使得PA=PE；

②的面积越来越小；

③四面体AP4E的体积不变.

所有正确的结论的序号是.

17.如图，在三棱柱ABC-ABG中，所有棱长均为1,且AA，底面ABC,则点4到

平面ABG的距离为.

三、解答题

18.如图，在直四棱柱中，

AD//BC,AB1AD,AB=AD=AA,=2BC=2

(1)求二面角G-BC-A的余弦值;

(2)若点尸为棱AO的中点，点。在棱AB上，且直线BC与平面B，。所成角的正弦

值为生叵，求AQ的长.

15

19.在R/AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,E是AC的中点，尸是线段AB上

一个动点，且衣=2而(Oc/lcl),如图所示，沿8E将△CEB翻折至的位置，

使得平面£>£»_!_平面ABE.

D

(1)当4=g时，证明：8。1平面DEF；

(2)是否存在实数2,使三棱锥3-。跖的体积为也？若不存在，请说明理由；若存

3

在，求出4的值，并求出。厂与平面ADE所成角的正弦值.

20.如图，在四棱锥尸-"CD中，瓦尸分别是PC,的中点，底面ABCD是边长为2

的正方形，A4=PQ=AQ,且平面PA£)_L平面A8C£>.

(1)求证：平面平面PC。；

(2)求二面角尸-AE-C所成角的余弦值.

21.如图，在直四棱柱AB'C'D-ABC。中，A'CA.BD.

(1)证明：ACLBD-,

(2)已知A8=BC=AA=2,AD=CD=26,ZABC=\20°,求直线AC与平面

48。所成角的正弦值.

参考答案:

I.A

取AB的中点为O,连接P。，证明PD_L平面ABC,ABLBC,然后建立空间直角坐标

系，利用向量求解即可.

【详解】

取AB的中点为。，连接

因为R4=P3,所以

因为平面/VLB1"平面ABC,ABC=AB,P£>u平面以B

所以J_平面ABC

因为PA=P8=，AC=0,AB=BC=2

2

所以AB_L8C

如图建立空间直角坐标系，则B（0,0,0）M（0,2,0）,P（0,l,l）,C（2,0,0）

所以而=（0,-2,0）,斤=（2,-1,-1）

|通困_2.而

所以异面直线PC与A8所成角的余弦值为

|^B|-|PC|-2-X/66

故选：A

2.D

结合向量的加法运算求出机=g,然后验证福.诙=0,所以而，丽，即可得出结论.

答案第1页，共23页

【详解】

unimmuuniiLm(13、

A3+C£>=(2加,m,2)+(机,m+1,-5)=(3私2机+1,-3),由因为48+。0=[5,7,一3J,所以

3m=5

5ms105uun58

c,13，即机==,所以A8=(；,：,2),CD=(^,^,-5),

2m+1=—33333

3

uunuuu10552

又因为AB.S=]x|+jx,+2x(-5)=0,所以而_L前,

故选：D.

3.D

取AC的中点E,连接BE,DE,证明BE垂直于平面ACD,以点E为原点建立空间直角坐标

系，分别求出平面BCD和平面CDA的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的

余弦.

【详解】

如图示，取4c中点E,连结BE、DE,在正三角形ACB与正三角形ACD中，

BELAC,DELAC,因为面ACB_L面ACZ）,面AC8D面AC£>=AC,所以BE_L面AOC,

以E为原点，而为x轴正方向，或为y轴正方向，丽为z轴正方向，建立空间直角坐

标系，设AC=2,则

E（0,0,0）,D（A/3,0,0）,C（0,1,0）,A（0,-1,0）,B（0,0,>/3）,

平面ACD的一个法向量为丽=（0,0,6）

而而=（0,-1,6）,丽=（6,-1,0）,设5=（x,y,z）为面BCD的一个法向量，则：

答案第2页，共23页

n-CB=0-y+^z=0不妨令则

即nn＜41,7=(1,6,1)

n-DC=0-y+\/3x=0

设二面角8-S-A的平面角为。，则。为锐角,

所以cos°=|cos®*刀H浸嵩H白1=•

故选：D

向量法解决立体几何问题的关键:

(1)建立合适的坐标系；

(2)把要用到的向量正确表示；

(3)利用向量法证明或计算.

4.B

直接由空间向量的夹角公式计算即可

【详解】

QA(-2,0,8),,B(4,-4,6),

PA=(—2—机，一机,8-〃2),PB=(4——m,6—

PAPB3m2-12m+40

由题意有cos60。=,

国阿43ml-126+68。3〃/-12/n+68

3m*-12m+68

即=3m2-12/^+40,

2

整理得m-4"?+4=0,

解得m=2

故选：B

5.C

答案第3页，共23页

\PA-n\inI-7(x+2)-4-4110

先求出而，由题得公旨即“+4+ir解方程即得解•

【详解】

一_,|雨10

PA=(x+2,2,-4),而d=-pi-=—»

H3

即|—2(“x++2)L—4—41=子10解得x=T或TL

故选：C

本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.

6.D

先作出P到AB的距离尸瓦再解三角形求出PE.

【详解】

因为ABC。为正方形，所以4OJ_OC.

DC1AD

由=为二面角P-ADC的平面角，即/PZ)C=60。.

PDVAD

VDCLAD,PD1AD,

又P”_LDC,ADflDC=D,：.P”J"面ABCD,

在平面AC内过H作HE_LAB于E,连接PE,则PE_LAB,

答案第4页，共23页

所以线段PE即为所求.

以”为坐标原点建立空间直角坐标系”-“z,

则“（0,0,0）,A（l,2,0）,8（-1,2,0）,E（0,2,0）,P（0,0,6）

所以丽=（0,2,-G）,.♦.阿卜Jo+22+（一可=近

故选:D.

方法点睛：

距离的计算方法有两类：

（1）几何法：利用几何图形求值；

（2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算.

7.C

根据两个法向量共线可得x的值.

【详解】

因为a〃夕，共线，故」；•=?=?,故x=g,

-1242

故选：C.

8.A

根据两直线方向向量平行两直线平行即可求解》

【详解】

因为彳=（1,0,-1）,^=（-2,0,2）,

所以玲=-2v,,

所以〃〃2，

故选：A

9.B

取AC的中点。，连接。「,。8,根据等腰三角形的性质以及面面垂直的性质证明

答案第5页，共23页

0403,OP两两垂直，以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点坐标

以及正和刀的坐标，由空间向量夹角公式计算上色（前，而|即可求解.

【详解】

取4C的中点。，连接因为R4=PC,所以ACJLOP

又因为平面PACJ_平面ABC,平面PAC八平面ABC=AC,OPu面PAC,

所以OP_L平面ABC,

又因为45=8C,ACVOB,可得04,08,OP两两垂直，

所以以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为△PAC是等腰直角三角形，PA=PC=4,A45C为等边三角形，

可得A（2夜,0,0）,B（0,276,0）,C（-2^,0,0）,D叵瓜0）,网0,0,20）

所以衣=（-4a,0,0）,丽

/~r~7\-PD—8V2

所以8s(AC町=^p[=W7

设异面直线AC与PD所成角为6»,则cos（9=|cos^AC,丽）上当

所以异面直线AC与PO所成角的余弦值为也，

4

故选：B.

10.A

答案第6页，共23页

可判断两个平面的法向量共线，根据法向量平行可知两平面平行.

【详解】

解：因为平面a,4的法向量分别为£另=(-1,2,6)

即a=-2h>所以allb

所以

故选：A

本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，属于基础题.

11.C

由题设知所=-6万，根据空间向量共线定理，即可判断平面a与平面夕的位置关系.

【详解】

・••平面a的一个法向量是万平面厂的一个法向量是比=(—3,6,-2),

ih=-6n,

•••平面a与平面p的关系是平行或重合.

故选：C.

12.C

建立空间直角坐标系，

【详解】

由题设，建立如图所示的空间直角坐标系。-刈z,用坐标法计算，利用ZAPC不是平角,

可得NAPC为钝角等价于cosZAPC<0,即而.无<0,即可求出实数2的取值范围.

答案第7页，共23页

设正方体A88-A4GA的棱长为1,

则有A(l,0,0),B。,1,0),C(0,1,0),0(0,0,1)

/.DIB=(1,1,-1),二设印=(九4-/1),

,E4=P^+^A=(-A,-/l,/l)+(l,0,-l)=(l-/l,-A,2-l).

定=西+麻=(-A,-A,A)+(O,l,-l)=(-/1,1-A,2-1),

由图知Z4PC不是平角，，NAPC为钝角等价于cosNAPC<0,

PAPC<0,

(1—2)(—2)+(—2)(1—4)+(4—1)—(4—1)(32~1)<0»

解得5<A<\

.♦.几的取值范围是6,i]

故选：c.

首先如图建立空间直角坐标系，利用垂直关系，转化为坐标运算求解.

【详解】

如图,建立空间直角坐标系,设棱长为2,A（2,0,0）,尸（0/,0）,4（222）,

答案第8页，共23页

D,(o,0,2),E(l,2,0),屏=(1,2,-2),而=(—2/0),福=(0,2,2)

印_1_函1X0+2X2+(-2)X2=0

若。平面AB7,贝叫即＜

D^ELAFlx(-2)+2r+(-2)x0=0

解得：f=l,

故答案为：y

14.①④⑤

利用展开图判定A、M,N三点共线，进而利用相似三角形判定选项①正确；

通过两个截面的面积不相等且周长相等判定②错误；

建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定③错误；

利用线面垂直得出点E的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而

求出截面的面积，判定④正确.利用正四面体内切球半径为其正四面体高的!，可得内切

球的表面积.

【详解】

对于①：将矩形ACC/与正方形cq。。展开成一个平面（如图所示），

答案第9页，共23页

若AM+M/V最小，则A、M.N三点共线,

因为CCJ/OR，

所嗤嗡二惠MM

所以MC=Q_e)DN=2_6eg,

2

nnMC2_5/2“

即cc=—2—=—2''故①正确；

对于②：当点M与点G重合时，连接A。、BD、AB、AC,AC,,(如图所示),

在正方体4BC£>-A8[C]。中，CC[J_平面ABCZ),

BDu平面ABCD,

所以8OLCG，

又因为8。J_AC,且A(?nCG=C,

所以801平面ACC一

又AC,<=平面ACCt,

答案第10页，共23页

所以8O_LAG，

同理可证A。，AG，

因为

所以AG，平面ABQ,

易知△48。是边长为4夜的等边三角形，

其面积为5“的=乎x(4&f=873,

周长为4&x3=12应;

设E、F、。、N,G,H分别是AA，4与、BB-BC,CD,。。的中点，

易知六边形EFQNGH是边长为2&的正六边形，

且平面EFQNGH//平面ABQ,

正六边形EFQNG”的周长为12万，面积为6x3x(2夜)2=12^,

4

则△4/D的面积小于正六边形EFQNG”的面积，它们的周长相等，即②错误；

对于③：以点O为坐标原点，DA.DC、。。所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角

坐标系，

则A(4,0,0),8(4,4,0),设M(0,4,«)(»4),

因为AM_L平面a,

所以柘是平面a的一个法向量，

且而=(-4,4,a),AB=(0,4,。)，

答案第II页，共23页

Icos<AM,AB>1==4e,

4，/+32Va+3232

所以直线A3与平面a所成角的正弦值的取值范围为口个，生,

则直线AB与平面a所成角的余弦值的取值范围为口系，与,故③错误;

对于④，连接AC、BD,

设平面。交棱于点ES,0,4),M(0,4,2),

所以丽？=(T,4,2),

因为AW_L平面a,DEu平面a,

所以AM_LZ)E,

即丽•区=T6+8=0,得匕=2，

所以E(2,0,4),

即点E是AR的中点，

同理点p是AB的中点，

则EF//BD且EF#BD,

所以四边形瓦皮)是梯形，且80=4应，EF=2血,

设&=诙=(2,0,4),fl=££=(-^-,2^,0),

\DB\22

贝1］笳=20,无"=及，

所以梯形瓦皮)的高，即点E到直线8。的距离，为表2_(不M2=,20-2=3点,

答案第12页，共23页

所以梯形EFBD的面积为S=4x（2&+4忘）x3近=18,故④正确；

2

对于⑤，当点M与点C重合时，四面体4MR4即为AC。耳为正四面体，

棱长AC=4夜，由正四面体的性质可得，其内切球半径片4夜x逅*!=冬叵,

343

所以表面积为41产=容

故答案为：①④⑤.

解决本题的关犍在于熟悉正方体的常见截面形状，及正四面体的内切外接球的性质特征,

涉及动直线与平面的夹角问题一般用空间向量法.

建立空间直角坐标系，表示所需点的坐标，求出平面。/EF的一个法向量，结合线面平行

的向量表示可得动点M的坐标满足的条件，即可得解.

【详解】

因为ABCD-ABCD是正四棱柱，

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设M(x,O,z),B(2,2,0),Di(0,0,4),E(2,1,0),

答案第13页，共23页

因为于二3京，所以尸是CG四等分点（靠近C）,

所以尸(0,2,1),所以扉=(2JT),麻=(0,2,-3),

设平面Q/E/7的一个法向量为,

2a+h-4c=0

即

2h-3c=0

令c=2,则a=|,b=3,故为=(1,3,2

又丽=(2-x,2,-z),荻〃平面O/EF,

所以而万_L万，即语•万=0,

所以一（2—x）+6—2z=0,所以z=----x,

224

故I砌=乒7:网客♦国孝通,

因为0SE2,0<z<4,所以?■-■|xe［°，4］，故xe7,2,

2415」

因为》=聋=当>2,所以IM冽在xe偿,2］上单调递减,

2x4141|_5」

所以当x=g时，眼力|取最大值，

所以的最大值为，41x（1）-220x1+4842阿，

4-—5-

当x=2时，|仞。|取最小值，所以眼。|的最小值为业”王二22Q22圮阳=岳,

4

所以|MD|的取值范围是屈，竺”.

故答案为:

16.①②③

建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，设出尸（0,加,0）（04加42）,选项①，列出方

答案第14页，共23页

程，求出，〃的值；选项②，利用点到直线距离的向量公式表达出P到直线AE距离，表达

出的面积，进而得到答案；③把作为底，高为点P到上底面的距离/?,可以

判断四面体APAE的体积不变.

【详解】

以。为坐标原点，DA,DC,。。所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正

方体棱长为2,则4(2,0,2),£(1,2,2),设尸(0,犯0)CM2),则

PA,=44+fn2+4=7m2+8,PE=Jl+(/*-2)-+4---Jm2-4m+9)令

m2+8=m2—4m+9,解得：,n=~7>存在点P，使得。4=「后，①正确;

4

PE=(l,2-w,2),福=(-1,2,0),|4E|=VU4=V5,

cos俸AE\-0，2-r,2>(T,2,g)_/_2相

cos1…厂加7府一4m+9—5Jmim+9设点P到直线4万距离为d，则

JW-8m+36

=阀sin(无宙=>/m2-4m+9-1-3-2m

'石•5/勿，-4勿2+9>~1T

所以WHE=gI乖I,d=；加2_8"+36=J_4)2+20,因为04旌2,动点尸沿着棱

OC从点。向点C移动，即m从0逐渐变到2,随着加的变大，（%-4）2+20变小,

△尸4后的面积越来越小，②正确;

以AAB|E为底，高为点尸到上底面的距离〃，因为0c〃底面A#GR,所以〃不变，所

以四面体的体积不变，③正确.

答案第15页，共23页

以C为原点，丽,K分别为y、Z轴正方向,建立空间直角坐标系，用向量法求解.

【详解】

以C为原点，丽，不分别为az轴正方向,建立如图示的空间直角坐标系,

则Ay,1,o,8(0,1,0),用(0/,1)6(0,0,1),则第=,-1],*=((),1,0),

近X+L-=。＜

印=(0,1,-1).设平面ABC!的一个法向量为n=(x,y,z)，则有,4历=

22，不

C{Bn=y-z=0

答案第16页，共23页

(争』),

妨设z=l,解得7=

G4”?

则所求距离为邛「

故答案为：型.

7

7

18.(1)(2)AQ=1

(1)推导出以A为原点，分别以4?,AD,A4所在的

直线为x轴，》轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角

(7「g(7-2的余弦值；

(2)设4。="04彳42),则。(40,0),求出平面8/。的法向量，利用空间向量求出AQ

的长

【详解】

解(1)在直四棱柱ABCD-A8c。中，

因为4A，平面A8C£>,平面A8C£>,A£>u平面43a>,

所以AB_L4A，4£>_LAA”

因为43_LA£>,所以以A为原点，分别以A8,AD,A4所在的直线为x轴，y轴，z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为A8=A£>=A4,=2BC=2,

所以A(0,0,0),5(2,0,0),C(2,l,0),0((),2,0),A(0,0,2),B,(2,0,2),C,(2,1,2),D,(0,2,2),

所以函=(-2,2,0),麻=(0,1,-2),

设平面4c2的一个法向量为日=(x,y,z),则

n-BQ]=-2x+2y-0

<令x=2,则>=(2,2,1),

〃•B、C=y-2z=0

答案第17页，共23页

因为AB_L平面B£C,所以平面B©C的一个法向量为AB=(2,0,0),

设二面角G-qC-。的平面角为a,由图可知a为锐角,

n-AB4_2

所以二面角G-3|C-£)|的余弦值为cosa=

丽T3^2-3

(2)设4。=4(04242),则。(儿0,0),

因为点尸为AD的中点，所以尸(0,1,0),

则PQ=(4T,0),4Q=人一2,0,—2),

设平面B]PQ的一个法向量为m=(知加Z]),则

m•PQ=Ax,-y.=0一

_____.，令％=2,则加=(2,242—2),

m•B]Q=(2-2)西一2Z1=0

设直线B©与平面旦PQ所成角的大小为夕,

因为直线4C与平面B、PQ所成角的正弦值为华,

B、C•m44亚

所以sin/?二

14cM后x)4+4把+(之一2015

解得4=1或4=4(舍去)

所以AQ=1

关键点点睛：此题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面

答案第18页，共23页

间的位置关系等知识，考查运算能力，解题的关键是根据是建立空间直角坐标系，利用空

间向量求解，属于中档题

19.(1)证明见解析

(2)存在，入=:，正

23

(1)依题意可得取R•'的中点N,连接CN交5E于点"，即可得到

EFLBE,由面面垂直的性质得到平面DEB,即可得到£F_LB£>,即可得证；

(2)取BE的中点G,连接。G,即可得到DG_L平面ABC,根据锥体的体积求出F到

AE的距离为1,即可得到F为AB的中点，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出

线面角的正弦值；

(1)

解：在AABC中，NC=90。，即ACJ-8C,则8DJ.OE,

取8尸的中点N,连接CN交BE于点

当=g时，F是AN的中点，而E是AC的中点，

是AANC的中位线，：.£F〃CN

在ABEF中,N是BF的中点，是应:的中点，

在R/VBCE中，EC=BC=2,\CM八BE,则EF_LBE,

又平面£>E6J■平面48E,平面OEBI?平面=EFu平面48E,

.•.Eb_L平面£>£B,又如u平面£>£B

:.EF1BD,而EFcDE=E,EF,DEu平面DEF

:.BD上平面DEF

答案第19页，共23页

⑵

解：取8E的中点G,连接DG,则£)G_L8E,而平面£)£»_!_平面ABC,平面。EBfl平面

ABC=BE,£)Gu平面DEB,

平面ABC,且£>G=0，Vx=；DG.S/十近说惭=与

：♦S>BEF='=S四孰一S乙但，又S△㈣U/SABAC=5、5、2乂4=2,所以%AM=1

二户到AE的距离为1,

，产为AB的中点，此时2=g,

以C为坐标原点，C4所在直线为x轴，CB所在直线为>轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

则C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,2,0),£(2,0,0),尸(2,1,0),0(1,1,夜),

.-.AB=(-4,2,0),AE=(-2,0,0),而=(-3,1,&),

设平面ADE的法向量为为=(x,y,z),

2。，即-2x=0

则

n-AD^O-3x+y+>/2z=0

令z=-1,贝！Ix=0,y=41,

,-.n=(0,72,-1),丽=(1,0,-a)

\DF-n\72&

设DF与平面ADE所成的角为夕，则sin0=\cos<£)F,n)|=

|DF|.|/?r>/3x>/3-3

答案第20页，共23页

.〔OF与平面A£)E所成的角的正弦值为理.

3

20.(1)证明见解析；(2)—叵.