新教材苏教版必修第一册6 . 2 指数函数

6.2指数函数

基础过关练

题组一指数函数的概念

1.(2018广西南宁第三中学高一上学期期中)下列函数中指数函数的个数是()

①尸2、②y=x?;③y=2，"；④y=x*;⑤y=(6a-3)〈a>；，且aH|).

2.若函数y=(a2-5a+5)a*是指数函数，贝！|()

A.a=l或a=4B.a=l

C.a=4D.a>0,且a*l

3.已知函数f(x)=E，々3则f(0)的值为.

题组二指数函数的图象及其应用

4.(2019吉林舒兰第一高级中学高一上学期期中)指数函数y=f(x)的图象过点

(2,4),则f(3)的值为()

5.(2019江苏无锡大桥实验学校期中)函数f(x)=a*(a>0且a*l)与g(x)=-x+a的图

象大致是()

f)

Xxx

6.已知y1=Q),y2=3,y3=10\y4=10,则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致

为()

7.(2019广东佛山三水实验中学高一上学期月考)如果指数函数y=f(x)的图象经过

点(-1,2),那么这个函数的图象也必定经过点()

C.(1,2)D.

题组三指数函数图象的变换

8.(2019北师大实验中学高一期中)已知函数f(x)=g)：则函数y=f(x+l)的图象大

致是()

yfyf

2%

9.函数y=G)的图象向右平移3个单位得到的函数图象对应的解析式

为.

题组四指数及指数型函数的简单性质及应用

10函数f(x)-二的定义域为.

V1-2X---------

11.函数y-8-23x(x>0)的值域是.

12.函数y=(£fi在［-2,-1］上的最大值是.

13.(2020江苏泰兴第一高级中学高一上学期期中考试)若函数y=6--+ax在区间

(-8,1］上单调递增，则实数a的取值范围是.

14.(2019江苏海安高级中学高一上学期第一次月考)已知函数f(x)=x2+2'-m-2,是

定义在R上的偶函数,则实数m的值为.

15.比较下列各组数的大小：

3

16.(2020江苏常州教学研究合作联盟高一上学期期中)已知函数f(x)=^/l是奇

函数.

(1)求实数m的值；

(2)求证：函数f(x)在(0,+8)上是单调增函数.

17.(2019江苏江阴四校高一上学期期中考试)已知函数f(x)=^|为定义在R上的

奇函数.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的值域.

题组五指数函数的实际应用问题

18.如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积yOiO与时间t（月）满足关系式y=a'（a>0,且

a*l）,给出下列说法：

①这个指数函数的底数是2;

②第5个月时,浮萍的面积就会超过30m2;

③浮萍从4m,蔓延到12m?需要经过个月；

④浮萍每个月增加的面积都相等.

其中正确的是（）

A.①②③B.①②③④

C.②③④D.①②

19.（2020江苏南京师大附中高一上学期期中）某新能源汽车公司为激励创新，计戈U

逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金100万元,在此基础上,

以后每年投入的研发资金比上一年增长8%,求该公司全年投入的研发资金开始超

过1000万元的年份.（参考数据:1g=0.033）

能力提升练

题组一指数函数的图象及其应用

1.（2020重庆涪陵高级中学高一上学期检测，*?）若a*0,b>0,则在同一平面直角坐

标系内，函数y=ax+b和函数yf的图象可能是（）

①②③④

A.②④B.①③C.①④D.②③

2.（多选）（#）若函数y=aX+b-l（a>0,a*l）的图象经过第一、三、四象限，则下列选

项中正确的有（）

A.a>lB.0<a<l

C.b>0D.b<0

3.（*?）如图所示,面积为8的平行四边形0ABC的对角线AC±CO,AC与BO交于点E.

若指数函数y=ala>0,且a*l）的图象经过点E,B,则a等于（）

A.V2B.V3

4.(*)若直线y=2a与函数y=|a-l|(a>0,a*l)的图象有两个公共点，则实数a的取

值范围是.

5.(2020江苏盐城东台高一上学期期中，*7)已知函数f(x)=ba*(其中a,b为常数，

且a>0,a*l)的图象经过点M(l,1),N(3,9).

⑴求a+b的值;

(2)当x<-3时，函数y=(£f+;的图象恒在函数y=2x+t图象的上方,求实数t的取

值范围.

题组二指数及指数型函数的性质及应用

6.(2019黑龙江哈尔滨四校高一上学期期中，*)若f(x)是R上的增函数,且对任意

xeR,都有f[f(x)-3s]=4,则f(0)=()

「Q%X>]

7.(2020湖南张家界高一上学期期末,*?)已知函数f(x)=,/a、,1是R上

((4-亦+2,x<1

的增函数,则实数a的取值范围是()

A.(1,8)B.(1,+8)

C.(4,8)D.[4,8)

8.(2020湖北武汉钢城四中高一上学期期中，钠已知f(x)是定义在(-8,0)上的减

函数,且对任意xbx2e(-°°,0),都有f(xjf区)=f(X1+X2),则不等式f(x-2)>，(％+

I)]的解集为()

A.(-8,-3)B.(-3,-1)

C.(-3,0)D.(50)

9.(2020江苏南通中学高一上学期期中，*?)已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,

2

当XG(0,2]时，函数f(x)=2-1,g(x)=x-2x+m,如果对于任意X1G[-2,2],存在

X2€[-2,2]，使得g(X2)=f(X,)，那么实数m的取值范围是()

A.(-8,-2)B.(-5,-2)

C.[-5,-2]D.(-8,-2]

10.(多选)(2020江苏南京师大附中高一上学期期中，*?)若指数函数y=a'(a>0,a*l)

在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为I，则a的值可能是()

B-l

11.(2018江苏常州高级中学高一期中，#?)设函数f(x)=｛蓝20若f(X)是奇函

数，则g(2)=.

12.(#)若函数f(x)=m*+kG)(m〉0,m*l)是奇函数，则实数k=;若

f(x)/+k(?(m>0,m*l)是偶函数则实数k=--------

13.(2018北京清华附中高一期中，站?)已知函数f(x)-l-a-g)X+(J：

(1)当a=3时,求函数f(x)在(-8,0)上的值域；

(2)若不等式|f(x)143在区间[0,+8)上恒成立,求实数a的取值范围.

14.(2019江苏姜堰二中高一上学期第一次月考,")已知函数

4％.力

f(x)=l-bn，xw(b-3,2b)是奇函数.

(1)求实数a,b的值；

⑵证明：f(x)是区间(b-3,2b)上的减函数；

(3)若f(m-l)+f(2m+l)-3m>0,求实数m的取值范围.

题组三指数函数在实际问题中的应用

15.(家?)某片森林原来面积为a,计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积

的p%＞当砍伐到原来面积的一半时,所用时间是10年，已知到2018年年末,森林剩

余面积为原来面积的日,为保护生态环境,森林面积至少要保留原来面积的*

(1)求每年砍伐面积的百分比P%；

(2)到2018年年末,该森林已砍伐了多少年？

16.(*)某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.现,若初始溶液

含杂质2猊每过滤一次可使杂质含量减少去

(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；

(2)过滤7次后的杂质含量是多少?过滤8次后的杂质含量是多少?至少应过滤几次

才能使产品达到市场要求？

答案全解全析

6.2指数函数

基础过关练

1.C①是指数函数;②的底数不是常数,故不是指数函数;③y=T”的指数是x+1,

而不是x,故不是指数函数;④的底数不是常数，故不是指数函数;⑤因为a1且a号,

所以6a-3>0且6a-3*l,故是指数函数,所以指数函数的个数是2,故选C.

q2・5a+5=1

2.C•.•函数y=(a?-5a+5)a'是指数函数，a>0,'解得a=4.故选C.

H1,

3.答案8

解析f(0)=f(l)=f(2)=f(3)=23=8.

4.B设指数函数的解析式为f(x)=aYa>0,a*l),由函数f(x)的图象经过点(2,4),

得1=4,又因为a>0,所以a=2,即f〉)=又所以f(3)=23=8,故选B.

5.A由题知，直线g(x)=-x+a的斜率为T,故排除选项C、D,又由选项A、B中的

图象知a>l,当x=0时,g(O)=a>l,所以A正确,B错误.

6.A丫2=3*与％=1(/是增函数,y尸(丁与丫3=10*=扃)”是减函数,在第一象限内作直

线x=l,该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知选A.

7.D设f(x)=a'(a>0,a*l),由题意知f(-l)=^=2,/.f(x)=Q^.

...f(-2)=G)「=4,f(-l)=g)i=2,f(l)三，f(3)=C7=].故选D.

8.B，f(x户的图象单调递减,f(x+l)的图象可由f(x)的图象向左平

移一个单位得到.故选B.

、

9.答案尸/GI)2x-6

解析将y=6)2”的图象向右平移3个单位,得到y=G)"*"=(,2x-6的图象.

10.答案(-8,0)

解析由已知条件得1-3>0,解得x<0,所以f(x)的定义域为(-8,0).

11.答案[0,8)

解析y=8-23-x=8-23X2"=8-8XQ)X=8x[1-(£)].

vx>o,.-.o<Q)x<i,

.\0<y<8,

•••函数的值域为[0,8).

12.答案27

解析因为函数y=Gf"是由y=(?"与u=x-l复合而成的，y=(?在［-2,-1］上为减

函数,u=x-l在［-2,T］上为增函数,所以函数y=gy1在［-2,T］上为减函数,所以

当x=-2时,y取得最大值,最大值为27.

13.答案⑵+8)

解析函数y=6-/+ax是由y=6"与u=-x2+ax复合而成的，y=6'1在(-8,口上单调递

增,u=-x2+ax的图象的对称轴为直线x卷故知,解得a>2.

14.答案-1

解析函数f(x)=x2+2'-m2、是定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x),即

(-x)2+2-x-m-2x=x2+2x-m-r,解得m=-l.

15.解析(1)对应的指数函数为“,；1.7>1,二指数函数*在(-8,+8)上是增函数.

,：2.5<3,：.3.

⑵对应的指数函数为X,,.指数函数X在(-8,+8)上是减函数.•••

-0.1>-0.2,/..

(3)因为(KO.2<0,3<1,所以指数函数,与“在定义域R上均是减函数，且在第一象限

内函数,的图象在函数,的图象的下方,所以.

又根据指数函数'在R上是减函数,可得,所以.

16.解析⑴由题意知解得x*0,所以£&)的定义域为权限*0},

由f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x)对于定义域内的任意x恒成立,则券-1=

2'x-l

—9+1，即窖=一缜+2,即m2=m+2(l-2x),则(m+2)⑵-1)=0,

2人-11-Z"

因为该式对于定义域中的任意X都成立,所以m=-2.

经检验,m=-2时，f(x)是奇函数.

(2)证明：由(1)知f6)=就一1在(0,+8)内任取Xi,x2,且x,<x2,贝1J

舟—1一号+1=瑞蒜，

VO<x1<x2,

工2X1-1>0,2X2-1>0,2X1-2X2<0,

/.f(Xi)<f(x2),

.,.f(x)在(0,+8)上单调递增.

17.解析(1)由已知得f(0)=0,；.a=l,

2X-1

，f(x)=U.

')2X+1

⑵f(x)扁=1-岛,

□

V2X+1>1,.\0<—<2,

2X+1

1),

；.f(x)的值域为(T,1).

18.D由题中图象知，当t=2时,y=4,

:.a2=4,故a=2(a=-2舍去),①正确;

当t=5时，y=25=32>30,②正确；

当y=4时，由4=2^知,3=2,

当y=12时，由12=2以知，t2=log212=2+log23,ts-t^lo^S*1.5,故③错误;

浮萍每月增加的面积不相等,增长速度越来越快,④错误.

故选D.

19.解析根据题意，设每年的研发费用为y万元,全年投入的研发资金开始超过

1000万元的年份为x年，则y=100(l+8%)x-2018,

即一吗

令x2018=]000,

两边同时取对数得x-2018=1og10,

即x=logl0+2018=嬴+2018H短+2018=2049.

能力提升练

1.B对于①，由函数y=ax+b的图象知a>0,b>l,此时,ba>b°=l,则函数y=!T=(b)'为

增函数，①中的图象符合题意；

对于②，由函数y=ax+b的图象知a>0,0<b<l,此时0<ba<b°=l,则函数y=b"=(bT为减

函数，②中的图象不符合题意；

对于③，由函数y=ax+b的图象知a<0,b>l,此时0<ba<b°=l,则函数y=b"=(bT为减函

数，③中的图象符合题意；

对于④，由函数y=ax+b的图象知a<0,0<b<l,此时b">b°=l,则函数y=b"'=(b")’为增函

数，④中的图象不符合题意.

故选B.

2.AD函数y=a*+b-l（a>O,a*l）的图象经过第一、三、四象限，其大致图象如图所

示:

由图象可知函数为增函数,所以a>l.当x=0时,y=l+b-l=b<0,

故选AD.

3.A设点C(0,m)(m>0),则由已知可得,E('m),B因为点E,B

，A

m=a或①

在指数函数y=ala〉（）,且a*l）的图象上,所以8

2m=Q记②

8

①式两边平方得而二面③

②③联立,得m2-2m=0,所以m=0（舍去）或m=2,所以a=&.

4.答案0<a<|

解析在平面直角坐标系中作出函数y=|a'-l|（a>0,a*l）的大致图象.

当O〈a〈l时（如图1）,此时当0<2a〈l,即（Kag时,两个函数图象有两个公共点;

图1

当a>l时（如图2）,2a>2,两个函数图象不可能有两个公共点.

图2

所以满足题意的a的取值范围是0<a<|.

5.解析(1)、•函数f(x)=ba'的图象经过点M(l,1),N(3,9),

・嗡3三产9,

/.a=3,b=-,/.a+b=—.

33

(2)由(1)得当x<-3时，函数y=(1)X+3的图象恒在函数y=2x+t图象的上方，

即当x<-3时,不等式Gy+3-2x-t〉0恒成立，

亦即t〈［CY+3-2x］.

L\3/Jmin

设g(x)=0+3-2x(x<-3),

•..y=Cf在(-8「3］上单调递减,y=-2x在(-8,-3］上单调递减，

g(x)=G)"+3-2x在(一,一3］上单调递减，

:.g(x)min=g(-3)=36,

/.t<36.

6.D令f(x)-3'=t,贝(If(t)=4,又因为f(t)-3l=t,所以4-3l=t,解得t=l,所以

f(x)=3*+l,所以f(0)=2.

a%X>］

('a\是R上的增函数,

(4--x+2,x<1

fa>1,

0,解得44a<8.

[a>4-^+2,

故a的取值范围为[4,8).

故选D.

8.B•.•f(x)是定义在(-8,0)上的减函数,

f(Xi)f(x2)=f(X1+X2),

x-2<0,

/(x-2)>r[(x+l)+(x+i)]

fx<2,(x<2,

\X<,1x<-

22

</(x-2)>f(2x+1)lx-2<2x+1,

解得-3<x〈W，

不等式的解集为(-3,0)，

故选B.

9.C•；f(x)是定义在［-2,2］上的奇函数,

.*.f(0)=0.

又当xe(0,2]时，f(x)=2x-le(0,3],

.,.当xe[-2,2]时,f(x)e[-3,3].

Vx,e[-2,2],3x2e[-2,2],使得g(x2)=f(xi),

等价于g(x)111ax23且g(x)mi04-3.

,.,g(x)=x'-2x+m=(xT),'+mT,xe[-2,2],

g(x)max=g(-2)=8+m,g(x)nin=g(l)=m-l,

8+mN3且m-1^-3,

解得-5。4-2,

故选C.

10.AB当a>l时,指数函数y=a，单调递增，所以函数在区间[T,1]上的最大值为

a,最小值为3所以a+工=f,解得a=2或a=;(舍去);

aa22

当0〈a〈l时,指数函数y=a，单调递减,所以函数在区间[T,1]上的最大值为工,最小

a

值为a,所以a+i=f,解得a=2(舍去)或a=1.

a22

综上所述,a=2或a=|.故选AB.

11.答案--

4

解析当x>0时,-x<0,...f(-x)=2x.•••f(x)是奇函数，.•.f(-x)=-f(x)=G)：二

g(x尸(x>°)，•••g(2)=-6)2=-i

12.答案-1:1

解析若函数f(X)初x+k©)”(m〉O,m*l)是奇函数,则«-*)二-£仪)对任意实数*恒

成立，即nT+k(工)=-［mx+k(—)］令x=2,贝I(2)+km2=-［m2+k(—)2］,解得k=-l.

\m/\mJ\mJm

若函数f(x)=m*+k©y是偶函数，则f(-x)=f(x)对任意实数x恒成立，即

m，+k(£T=mx+kGy,

2/2

令x=2,则(J+km2=m2+k,解得k=L

13.解析⑴当a=3时，f(x)=l-3-g)X+Q)X,

令G)*=t,则原函数化为y=t?-3t+l=(t-|)2_*因为xe(-8,o),所以t€(l,+°°),

所以函数f(x)在(-8,0)上的值域为+8).

(2)由(1)知，|f(x)|M3在区间［0,+8)上恒成立等价于|t2-at+l|<3在(0,1］上恒成

(a>t--,

立，故-34t2-at+143在(0,1］上恒成立,整理得到14在(°，1］上恒成立,所以

/a<t+-

且a4(t+9.

'"max'"min

令g(t)=t-|,则8«)为(0,1］上的增函数,故g(t)max=g(l)=T；

令h(t)=t+%则h(t)为(0,1］上的减函数,故h(t)min=h(l)=5.

综上,T4a45.

14.解析(1)•.•函数f(x)=l-誓■,xe(b-3,2b)是奇函数，

.•.f(O)=l-j=O,且b-3+2b=0,

即a=2,b=l.

⑵证明：由⑴得函数f(x)=l-言Ixe(-2,