2024-2025学年高一上学期初高中数学衔接知识-第五讲 三角形及其应用【课件】

第五讲三角形及其应用(1)三角形三个内角的和等于____°,三个外角和为____°；一个外角等于和它不相邻的两个内角的____；一个外角大于任何一个和它不相邻的______；(2)三角形的任意两边之和_____第三边,任意两边之差______第三边.1.三角形的边角关系180360和内角大于小于一、基础知识回顾(1)按角分类：_______三角形、________三角形、______三角形；(2)按边分类：_______三角形,______三角形、______三角形.2.三角形的分类锐角直角钝角不等边等腰等边3.三角形全等的性质全等三角形的________相等，__________相等对应边对应角(1)两边及其_______对应相等的两个三角形全等(2)两角及其_______对应相等的两个三角形全等(3)两角及其_______________对应相等的两个三角形全等(4)_______边对应相等的两个三角形全等(5)斜边和一条_______对应相等的两个直角三角形全等4.三角形全等的判定：夹角夹边一角所对的边三直角边初中数学资源网一、外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。证明外心定理证明:设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．OO三角形的四心初中数学资源网二、垂心ABCABCABC三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。DEF证明:AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′

的中垂线；同理BE、CF也分别为

A′C′、A′B′的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证．证明垂心定理A′B′C′初中数学资源网三、重心ABCABCABC三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。证明重心定理

E

F

D

G例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．另证:

A

B

C

E

F

D

G重心想想看？初中数学资源网四、内心ABCABCABCABCABC三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明内心定理证明:设∠A、∠C的平分线相交于I,

过I作ID⊥BC，IE⊥AC，

IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．II

E

F

D二、命题趋向分析三角形三边的关系（选择、填空为主）三角形内角和定理、外角与内角的关系、外角和定理（选择、填空及简单的计算题为主）三角形分类（选择为主）三角形的中线、高线、角平分线（选择及简单的计算）直角三角形角的关系、边的关系（计算、填空、证明题为主）等腰三角形、等边三角形的性质（填空、计算、证明题为主）全等三角形的判定和性质（简答题，证明题为主）例1．解答下列各题

(1)长度分别为10cm，12cm，22cm的三条线段是否能构成三角形。

(2)已知三角形两边长分别为7和5，求第三边x的取值范围。

解：

(2)由于三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，故三角形中任意两边之差＜x＜两边之和，因此第三边2＜x＜12，

三、典型问题分析(3)已知等腰三角形两边长分别为8cm，13cm。求这个三角形的周长。解：①当8cm长的一边为底边时，腰长就为13，这时三角形三边分别为8，13，13，

而8＋13＝21＞13即两较小边之和大于第三边故一定能组成三角形，此时周长为8＋13＋13＝34cm。

②当13cm长的边为底边时，腰长8cm，这时三边分别为：8、8、13，而两较小边之和大于第三边，即8＋8＞13，此时也能组成三角形，周长为8＋8＋13＝29cm。所以，这个三角形的周长为29cm或34cm。(4)三角形三内角度数之比为∠A:∠B:∠C＝3:4:5，求各内角度数。

解：(4)设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°

∴3x＋4x＋5x＝180∴x＝15

∴∠A＝45°∠B＝60°∠C＝75°

（5）如果a,b,c表示ΔABC的三边长，那么=___________。（6）等腰三角形有一个角50°，求另外两个角的度数分别为

______________________.

50°,80°或65°,65°（7）等腰三角形有一个角是100°，求另外两个角的度数分别为___________.40°,40°（9）如图,AD与BC相交于点O,∠B=40°,∠D=70°,∠C=30°，则

∠A=____.ACDBO40°70°30°?60°（8）如图,AC⊥DC，∠ABD=130°,则

∠A=______.130°ABCD？40°如图，在△ABC中，BF与CE交于点D.(3)请用几何道理说明为何

∠2一定大于∠A.(1)图中共有________个三角形.BACBDEF1(2)∠BDC是_____的内角,是_____________的外角.8△BDC△BDE,△CDF★

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。解：∵∠2是△DCF的外角

∴∠2＞∠1

∵∠1是△AFB的外角

∴∠1＞∠A

∴∠2＞∠A2若BF和CE分别平分∠ABC和∠ACB.ACBDEF如图，在△ABC中，BF与CE交于点D,12(1)则∠1=____,∠2=____∠ABC∠ACB(2)已知∠A=40°,求∠BDC的度数.

已知∠BDC=130°,求∠A的度数.★三角形的三个内角和等于180°.如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A,B间的距离，但绳子不够长，他叔叔想了一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D,使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度；(1)DE=AB吗？请说明理由；(2)如果DE的长度是8m,则AB的长度是多少？ACDBE四、解题方法与技巧例一：如图所示，AD为三角形ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE=FE.求证：BF=ACABDCEFM倍长中线法例二：已知，如图，在三角形ABC中，AB<AC，AD是∠BAC的平分线，∠B=2∠C，求证：AC=AB+BDECABD截长补短例三：已知，如图，AB=14，AC=10，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，M为BC边中点求：线段ME的长FMEDCBA如果有与角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的边相交构造等腰三角形五、巩固练习（1）如图△ABC