线性系统的计算机辅助分析

2012/3/111

控制系统的数学描逑与建模

工;aim力g

2012/3/11

■在线性系统理论中，一般常用的数学模型

形式有：

■系统的外部模型

■微分方程模型

■传递函数模型

■零极点增益模型

■部分分式模型

■系统的内部模型

■状态方程模型，系统仿真中常常使用此类模型

■这些模型之间有内在的联系，可以相互进

行转换。

2012/3/113

线性定常连续系统的微分方程模型

■微分方程是控制系统模型的基础，一般来

讲，利用机械学、电学、力学等物理规律,

便可以得到控制系统的动态方程，这些方

程对于线性定常连续系统而言是一种常系

数的线性微分方程。

■如果已知输入量及变量的初始条件，对微

分方程进行求解，就可以得到系统输出量

的表达式，并由此对系统进行性能分析。

2012/3/114

线性定常连续系统的微分方程模型

■通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定

常系统的解析解，这种方法通常只适用于

常系数的线性微分方程

■解析解是精确的，然而通常寻找解析解是

困难的。

■MATLAB提供了odc23、ode45等微分方程的

数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，

也适用于非线性及时变系统。

2012/3/115

控制余统的教学模型

«««—

2012/3/116

■先建立部件（环节）的微分方程

■然后建立控制系统的微分方程

■微分方程是系统所遵循的运动规律直接得

出的时域由各变量的关系式。

■建立模型的方法

根据不同系统（电、力、热等）所遵循的

运动或变化规律列写方程。

2012/3/117

线性定常连续系统的微分方程模型

exp3_l.m

■电路图如下，R=L4欧，L=2亨，C=0.32法，初

始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V,t=0

时刻接入IV的电压，求Ovtvl5s时，，(t),%(t)的

值，并且画出电流与电容电压的关系曲线。

u=L—Ri+u

dt

i=C--

dt

2

一dudu

LC—f+RC-M+M

dt~dt

2

duRdu。11

+--------——Uc'

2012/3/11drLdtLC8

f⑴

(1)单位脉冲(0

(2)单位阶跃1(0

(3)单位的It

2

(4)单位加速度t/2

at

(5)ms*e

(6)正弦豳数sint

(7)余弦豳败cost

2012/3/119

M

a1d”a2dM.一«a田C+“m)b2r-mbmr

L:设初始条件为0

11n-111-2mml

a^+a2sa3s+•••ans+an+1Qs)b1S+b2s□+bms*R(s)

•••+4)3+i

G(3…笆

H(s)qs〃+a2s...+a“san+x

输出/输入

2012/3/1110

传递函数描述

、连续系统的传递函数模型

■连续系统的传递函数如下：

C(S)b《+bS'…+b“Sbm+x

n-n---------------------------

R(s)axs+a2s...+ansan+x

■对线性定常系统，式中S的系数均为常数，且函不等于零，

这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成

的0个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用和

表示。

num=[b1?b2?...,bm?bm+1]

den-[a],a2,・••,％声□+]]

注意：它们都是按s的降幕进行排列的。

2012/3/1111

、零极点增益模型

■零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其

原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式

处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。

G⑸二K:4)(sZ2)…(sz」

(sPi)(sP2)•••($

■K为系统增益，4为零点，Pj为极点

■在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即：

Z-[Zj,Z2，..«?Zm]

P=[P1，P2,…,Pn〕

K=[K]

加函数可以用来求传递函数的零极点和增益。

201tf2zp()12

三、部分分式展开

■控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行

分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。

G(s)=--一左(s)

IsPi

■函数|r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展

开，以及把传函分解为微分单元的形式。

■向量b和a是按s的降幕排列的多项式系数。部分分式展

开后，余数返回到向量r,极点返回到列向量p,常数

项返回到k。

■若分子多项式阶次与分母多项式相等，k为标量，若小

于，该项不存在。

■[b,a]=residue(r,p,k)pT以将部分分式转化为多项式比

2012/3/%)颂0)。13I

举例

1.传递函数描述

〜、12?+24?20

1)G(s)二一7----；----；-------

2/+4?6s2+2s2

》num=[l2,24,0,20];den=[24622];

4(s+2)(16s+6)2

2)G(s)=

s(s+l)3(s33/+2s5)

借助多项式乘法函数conv来处理：

》num=4*conv([l,2],conv([l,6,6],[1,6,6]));

》den=conv([l,0],conv([l,l],conv([l,l],conv([l,l],[l,392,5]

2012/3/1114

2.零极点增益模型

1+1卜230s

G(s)=

/+9?45?+87550

z=p=k=

》num=[l,11,30,0];0-3.0000+4.0000i1

》den=[l,9,45,87,50];_6-3.0000-4.0000i

》

[z,p,k]=tf2zp(num5den)_5-2.0000

-1.0000

结果表达式：G(S)_s(s+6)(s5)

⑻=(s+l)(s2)(s+34力(s+34))

2012/3/1115

3.部分分式展开

2s3+9s1

G(s)=

53+s24s+4

》num=[2,0,9?l];

》den=[l,1,4,4]；rPk

w「…ii、0.0000-0.2500i0.0000+2.0000i2

》[r,p,k]=residue(num?den)

0.0000+0.2500i0.0000-2.0000i

结果表达式:-2.0000-1.0000

0.25z0.25z2

G(s)=2---------------1------------

s2is2i5+1

2012/3/1116

内部模型

、、研究控制系统的两种方法

1、建立在传递函数基础上的经典控制理论，其数学基础

是微分方程和积分变换。（40—50年代）传递函数描

述实际是一种外部描述法，即输入一输出描述，它的

前提是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内

部结构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系,

即输入一输出间的因果关系。（见图1）

A%

%

*y2

up

系统是由一些相互制约的部分构成的整体，方块以

2012/3/11外部分称为系统环境。系统输入、系统输出统称为阖

统外部变量。

2、建立在状态空间描述基础上的现代控制理论，其

数学基础是线性代数和矩阵理论。（60年代一现

在）

现代控制理论一般采用内部描述。

内部描述是基于系统内部分析的一类数学模型，

它不仅考虑系统的外部变量（输入、输出），还要考

虑系统的内部变量（状态变量）。它需要有2个数学

方程来组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量

空间的因果关系的数学表达式，称状态方程。另一个

是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间

转换关系的数学表达式，称输出方程。

%*Yi

%AY2

Xi,-X3,……,Xn

Tq

2012/3/1118

状态空间描述的~

一、基本定义

先看一个RLC电力的例子

图中，u-输入变量

列写微分方程：---------------

°如二,图1」

dt

di.

LFRi4+〃2

dt

LC、RC皿uc+u

消去中间变量：dtdt

U"1

U(s)LCS^RCS1

2012/转函表示形式:19

一阶微分方程表示形式：

.du1.

u=-c--i

cdtc

：di1R.1

i——=—u„—i—u

dtLcLL

向量矩阵表示形式：

uc07?u0

=

J1R;1

T1T

在向量矩阵表示形式中，如果令占=%X2=i

则其变为

60/匹0

二u

土J_区Y±

•/V°TT9r

2012/3/1120

X00

Y—1,A_L,b=

R'J_

再令LLL

则可写为：X=AXbu

1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最

小个数的一组变量称为状态变量。如果给定了

t二to时刻这组变量值，和t>=to时输入的时间

函数，那么，系统在t〉二to的任何瞬间的行为

就完全确定了。

2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量，称

为状态向量。如Xi(t)、X2(t)……X"t)是系统

一组状态变量。则状态向量为：

工()

X。)=2」或x7再⑺，》2。)…%«)]

2012/3/11%”)21

3、状态空间：以状态变量Xi，X2,…Xn为坐标轴，

组成的n维空间称为状态空间。状态空间中的

每一点都代表了状态变量的唯一的，特定的一

组值。状态随时间的变化过程，则构成了状态

空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。

4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微

分方程组称为状态方程。状态方程反映了输入

与状态变量间的关系。

X—AXbu

5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关

系。例如，前例中，若取心为输出，则有y二『

写出矩阵形式：歹=口0］西

2012/3/11Y22

若指定i为输出，贝1Jy=ix2y=[。i]

若指定外,妁为输出，则

x

必二以i必=1o演Y=(

=ix1

y22y2°9

、状态空间表达式:

系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状

态空间表达式，或称状态空间描述。

对于前例，其状态空间描述为：

rX-AXbu

ty=cx

2012/3/1123

一般，多输入多输出系统的状态空间表达式为:

X=AXBU

U

2012/3/1124

必

2012/3/1125

状态空间描述

■状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又

称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入一输

出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输

出方程来表达输入一输出关系，揭示了系统内部状态

对系统性能的影响。

x=AxBu

y=CxDu

■在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D）矩阵组

表示.

2012/3/1126

状态空间描述

系统为一个两输入两输出系统

1691046

3126824

X=XU

4791122

512131410

0021

y=x

8022

》A=[l6910;31268;47911;5121314];

》B=[46;24;22;10];

》C=[0021;8022];

》D=zeros(2,2);

2012/3/1127

模型的转换

一、模型的转换

■在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合

下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。

■模型转换的函数包括：

residue：传递函数模型与部分分式模型互换

ss2tf：状态空间模型转换为传递函数模型

ss2zp：状态空间模型转换为零极点增益模型

tf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型（可控标准型）

tf2zp：传递函数模型转换为零极点增益模型

zp2ss：零极点增益模型转换为状态空间模型

zp2tf：零极点增益模型转换为传递函数模型

2012/3/1128

模型的转换

1)已知系统状态空间模型为：/=；；X；〃

A=[01;l-2];B=[0;l];

C=[1,3]；D=[1]；V=3卜u

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

%iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。

》num=l52;den=l21;

s2+5s2

G(s)=

s?+2sT

》[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)

》z=-4.5616p=-1k=l

-0.4384-1

l*(s+4.5616)(s0.4384)

G(s)=

2012/3/1129

模型的转换

2)已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为:

G]](s)=九2——/--------G21(^)=-——1——

〃(s)513+6s211s+6/6s~+lls6

S2+2S

q(\+K“+6

num=[O0-2;0-1-5;12O];den=[l6116];

[A,B,C,D]=tf2ss(num?den)

》A=-6-11-6B=1C=00-2D=0

10000-1-50

01001200

2012/3/1130

3）系统的零极点增益模型:

6(s+3)

G(s)=

(s+l)(s2)(s+5)

z=[-3];p=[-l,-2,-5];k=6;

[num,den]=zp2tf(z9p,k)

》num=00618den=181710

[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)

有两个内部

》a=-1.000000b=l变量

2.0000-7.0000-3.16231

03.162300

c=001.8974d=0

股。涉蠢1零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。31

4）已知部分分式:

0.25z0.25/2

G(s)=2-----1----------

s2，52/s+1

r=[-0.25i,0.25i,-2];

p=[2i,-2i,-l];k=2;

[num,den]=residue(r,p,k)

》num=

2091

》den=

1144

■注意余式一定要与极点相对应。

2012/3/1132

模型的连接

并联

丽，

控制系统计算机辅助设计一MATLAB语

2012/3/11言与应用

parallel

[a,b?c,d]=parallel(al,bl,cl,dl,a2,b2,c2,d2)

■并联连接两个状态空间系统。

[a,b,c?d]=parallel(al,bl,cl,dl#2,b2,c2,d2,inp1,inp2,outl?out2)

■inpl和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从

ul,u2,...,un依次编号为1,2,…再；outl和out2分别指定要作相加的输

出端编号，编号方式与输入类似。inpl和inp2既可以是标量也可以

是向量。outl和out2用法与之相同。如inpl=l,inp2=3表示系统1的第

一个输入端与系统2的第三个输入端相连接。

■若inpl=[l3],inp2=[21]则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个

输入连接，以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接。

[num,den]=parallel(numl,denl,num2,den2)

■将并联连接的传递函数进行相加。

2012/3/1134

串联

前一环节的输出景是后一环节的输入景的连接称为

环节的串联。如下图所示，

RM)RJ7R/&)

控制系统计算机辅助设计一MATLAB语

2012/3/11言与应用

2.串联:series

[a5b5c5d]=series(al5bl5cl,dl,a2,b2,c2,d2)

■串联连接两个状态空间系统。

[a?b?c,d]=series(al?bl5cl,dl，a2,b2,c2,d2,out1,in2)

■outl和in2分别指定系统1的部分输出和系统2的部分输入进行连

接。

[num?den]=series(numl?denl,num2,den2)

■将串联连接的传递函数进行相乘。

2012/3/1136

R(s)

B(s)

2012/3/1137

3.反馈，feedback

[a,b,c,d]=feedback(al,bl,cl,dl,a2,b2,c2,d2)

■将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统2为反

馈控制器。

[a,b,c?d]=feedback(al,bl,cl,dl,a2,b2,c2,d2,)

■系统1的所有输出连接到系统2的输入，系统2的所有输出连接到系

统1的输入，sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号，sign

缺省时，默认为负，即sign=-l。总系统的输入/输出数等同于系统1。

[a,b,c,d]=feedback(al,bl?cl,dl,a2,b2,c2,d2,inp1,outl)

■部分反馈连接，将系统1的指定输出。utl连接到系统2的输入，系统2

的输出连接到系统1的指定输入inpl,以此构成闭环系统。

[num,den]=feedback(numl,deni,num2,den2,sign)

■可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式

表示。sign的含义与前述相同。

2012/3/1138

单位反馈

R(s)E(s)C(s)

—>0—G(s)

_A

C(s)

2012/3/1139

4.闭环：cloop(单位反馈)

[ac?bc,cc,dc]=cloop(a,b9c,d,sign)

■通过将所有的输出反馈到输入，从而产生闭环系统的状态空间

模型。当sign=l时采用正反馈；当sign=-l时采用负反馈；sign

缺省时，默认为负反馈。

[ac,be,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs)

■表示将指定的输出outputs反馈到指定的输入inputs,以此构成

闭环系卷勺状态空间模型。一般为正反馈，形成负反馈时应在

inputs中采用负值。

[numc,denc]=cloop(num9den,sign)

■表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统，sign意义与上

述相同。

2012/3/1140

1)exp3_2.m

■系统1为：010

x.=M

11211

%=口3]匹/

■系统2为：

010

y2=[14民

■求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程

及系统1按单位负反馈连接时的状态方程。

2012/3/1141

2)exp3_3.m

■系统1、系统2方程如下所示。求部分并联后的状态空间,

要求ull与u22连接，ul3与u23连接，yll与y21连接。

■^11144孙01011\1

，12=

221X\2100〃12

"13

Y362%13001〃13

X]]u\1

九001010

W

—工1212

h2011101

%13〃13

“21

110X2l100〃21

—

%22321%22010观22

文23161%23001〃23

%21u21

y21010110

X

—22u22

»22101101

X23u23

2012/3/1142

■线性系统定性分析

2012/3/1143

线性系统的稳定性分析

■给定线性系统模型，如何分析稳定性?

日

€<、

nk讣

忆目二货门n1

TA—

宵

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L

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般口#题LL烂J■+uier<-邂罚册:野密油*燹蜡幅%升

■由控制理论可知，用Routh

表格可以判定该系统稳定性。

■EdwardJohnRouth(1831-1907)

■历史局限性

2012/3/1144

状态方程系统的稳定性

■连续线性状态方程

(x(t)=Ax(t)+Bu(t)

1期(t)=Cx(t)+Du(t)

■解析解

x(t)=以珀)+feA(t~T)

Jo

■稳定性：A矩阵的特征根均有负实部

2012/3/1145

离散系统的稳定性

■离散系统状态方程

Jx[(k+1)T]=Fx(kT)+Gu(kT)

In(kT\**\-«»-—7。、工■W(kJT•\-—4-一Fh、,i+K-»-k/T、

■离散系统时域响应解析解

k—1

x(kT)=Fkx(Q)+£尸J-G似汉)

i=0

■稳定性判定：所有特征根均在单位圆内

2012/3/1146

Routh判据的历史局限性

■Routh判据提出时，没有求多项式根的方法

■现在求解矩阵特征根、求解多项式方程的

根轻而易举，无需间接方法

■Routh判据只能得出是否稳定，进一步信息

得不出来，如系统是否振荡

■离散系统无法由Routh方法直接判定，得借

助于Jury判据，更复杂

■稳定性分析方法不统一

2012/3/1147

■直接判定

■状态方程模型

■由eig(A)可以求出所有特征根

■离散系统：abs(eig(A))

■传递函数模型：完全同样方法

■图解判定法

■连续系统：pzmap(G)

「曷散系统：pzmap(G)，同时画出单位圆

2012/3/1148

例4」高阶系统稳定性判定

■直接分析方法

»num=[l©,5®,108,180,4®]；

den=[l,21,184,870,2384,3664,2496,0]；

G=tf(num,den);GG=feedback(G,1);

pzmap(GG)

eig(GG)'

exaiqdel

2012/3/1149

例4-2高阶离散单位负反馈系统模型

6Z2-0.6Z-0.12

H⑶二

z4-z3+0.25?+0.25--0.125

z-0.6

Gc(z)=0.3T=0A

z+0.8

■MATLAB求解

X»den=[1-1Q.250.25-0.125];

num=[6-®.6-0.12];H=tf(num,den,'Ts'.1);

z=tf('z','Ts'Gc=0.3-(z-0.6)/(z+0.8);

「「—crHr-IF广z-»1、■

5JT-JLUUUL/ClJJV11JLkJL,XJ,

pzmap(GG),abs(eig(GG)')

example2

2012/3/1150

线性反馈系统的内部稳定性

■输入、输出稳定是不够的，因为若内部信

号可能过大，对系统作硬件破坏

■应该引入内部稳定性概念，保证内部信号

也是稳定的。

2012/3/1151

■由给定稳定输入K4〃到内部信号孙孙X3

都稳定的系统称为内部稳定系统

■传递函数矩阵

修11-G(s)H(s)-H(s)

1

%2二Gc(s)1—Gc(s)"(s)

A"八

Gin1

工3一\^z

其中M(s)=1+G(s)Gc(s)H(s)

■逐一判定每个子传递函数的稳定性很烦琐

■内部稳定性定理

2012/3/1152

内部稳定性定理

■闭环系统内部稳定的充要条件为

■1+H(s)G(s)Gc(s)没有不稳定极点

■H(s)G(s)Gc(s)没有不稳定零极点对消

■第一个条件等效于输入输出稳定性

■判定第2条件即可

■可以编写MATLAB函数判定内部稳定性

key=intstable(G

2012/3/1153

■判定的MATLAB函数

fimctioiikeysintstiihl®(-G,GcyH)

533

£*>-»CV_J:三，常斤。4的,,«_."自1-：■-f率弟自j褶信腐r'lfei、\f竦\7」恭德旅7aH">Y,，#、可

Go=H^G^Gc;Gol^inreal(Go)i

j、八；/■：,尸尸1冷\,：•丝e/炒瑜一...,一卷酝_也々塔静/啰回0皿胃3一口,G疥\J.L匐,r.iiI-号if运'(C提'/r：x24上/\沙•■

.曷冬"Setdi££C混醺5zl)I

£产/译F-『奇飞.噌后喃公宗座融,设湘后糜

IX1显31圈费墨)您施I闯蹴薪修值步训欧

key=any(abs(p)>1);

ifk.eyss®kkey^2*awCcbs(^K)>1);end

else.%一经秦编判定

l<@y=any(realL.Cp>>®)；

gSteyH?啜,翅螂岁(>ecO，C烫念)j;EITCI

end

2012/3/1154

■系统的状态方程表示称为系统实现

■不同状态选择下，状态方程不惟一

■相似变换

■非奇异矩阵7

■状态变换N=T^X

■新状态方程模型

z(一t^=Atz(+RQM一八，且二(0)二77i冗(0)

期。=Ctz(t)+Dtu(t)

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■状态变换公式

X

At=T^AT,Bt=T-B

Ct=CT.Dt=D

■MATLAB求解方法

Gi=ss2ss(G,T)|

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例4-3已知系统和转换矩阵

■MATLAB求解

；©©1叱©©©II;一②奄.一5©—事写一•!!©』?

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■变换结果

/

-10-35-50-241

1000,、0/、

之⑺=00N⑺十0讥⑺

,Loo100

、）0=[172424]n⑴

■可见，相似变换能改变系统的结构

■引入相似变换矩阵，可以将已知系统转换

成其他的形式

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4.1.4线性系统的可拄性分析

■可控性定义

■假设系统由状态方程（AS,C,_D）给出，对

任意的初始时刻如果状态空间中仟一状

9-------b-A■，/.P,f——«9T—

r--■/

态修⑺可以从初始状态犬Bo）处，由有界的输

人信号”⑺的驱动下.在有限时间U内能够到

达任意预先指定的状态看（外，则称此状态是可控

的。如果系统中所有的状态都是可控的，则称该

系统为完全可控的系统C

■系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外

部输出信号控制的性质，

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比如一个系统的状态空间描述为:

X40$1

.—〃"［。6］匹

x205x20

X=4再u

写成标量方程组的形式为:

y=6X2

可以直观地看出，再受U的控制，即可以通过选择U,

使瞰任意值，而堪不受U的控制，不能

通过U的选择，使X取我们所需的值。

线性系统的可控性判定

■可控性判定矩阵

2nl

Tc=[B,AB9AB9---,A-B]

T.1f/▲■,■tTTt、,*IAI-ta.1，、■*—-A,A广L——

■若他I峰是满杵一则条约寸全口|肉八

'I~~I，*4—^II—lV\，7_>・「71/、7/7，7、；J，J―1_^y7

■基于MATLAB的判定方法

rank(15"|

■构造可控性判定矩阵|£=ctrb(4,B)

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例4-4离散状态方程的可控性

-2.2-0.71.5—169

0.2-6.36-1.54

x[(M)T]二纵kT)+4似⑺

0.6-0.9-2-0.54

1.4-0.1-1-3.584

■MATLAB求解

>>A—F-2,2.—0.7；1.5；-1；Q.2.—6.3；6；—1»5：.

®.6,—0.9,—2,-0.5;1.4,-3.5];

C「尸C4L44C,rm1XAc、

I5=LO,y；4,0；4,4；6,4J；1C=CLFD,15J

Jv.3KAn.JiLVX>.\AJ/

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■判定矩阵

Tcl=[B,A*B,A^2*B,A^3-B];

■这样的判定方法同样适合于连续系统和离

散系统。也适用于多变量模型

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■给线性系统一个激励信号，输出是什么?

■有两大类方法

■解析解方法

■求解微分方程、差分方程解析解

■数值解方法

■主要内容

■基于状态方程的解析解方法

■基于传递函数部分方式展开的解析解方法

■二阶系统的解析解方法

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基于方程的解析解方法

■状态方程模型(x(t)=Axify+Bu(f)

[y(t)=Cx(t)+Du(t)

■解析解

x(t)=e""—，。)以m)+CeA(t~r)Bu(T)dT

Jto

"求解难点reA^Bu(T)dT

Jo

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基于部分分式展开方法求解

■连续系统的解析解法

bi”+外弗-\+,••+bmS+)"?+[

ZX

3#=

Sn+Q]S齐一]+。2§九―2+-----1-^n-ls+an

■输入信号的Laplace变换U(s)

■输出信号的Laplace变换丫⑸=G(s)U(s)

■无重根时部分方式展开

小)=口+上+…+—

S-PiS-P2S~Pm

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■由Laplace反变换求解析解

Pmt

⑺二夕一[y⑸]=+厂2。*'+・・•+rmc

■有重根时

_2_++…+

s-Pj(S—P/)20_Pj)m

■相应项的解析解为

叮+,l打TeP#

勺城产+n

1!(m-1)!

11

二厂广江川+…+而二五3时1严TePjt

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■部分分式的MATLAB求解

[r,p,K]=residue(num,den)|

例4-110+7/4-35+4

G(s)=

_JL.r_2.QRFR_./

S'十/3〜十1/SJ十1/5+0

输入信号为阶跃信号R(s)=1/5

■输出信号计算

r+7”+35+4

y($)二

一+7$4+17$3+17@+6s

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■MATLAB求解

"»num=[l734];den=[1717176];

TTTTTTTTWIIfo

[R,P,K]=residue(num,[den,0]);

[R,P]

■解析解

)0=2.5833e-3J9e-2f+5.75eT—3.5忙—+0667

■解析解精确值

,、31__237T2

)0二万e3rJ-n9e2r+ye--ze+-

exaiq)le3

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例4-12带有复数极点的系统

、s+3

G")="7----;-----5----------

$4+2$3+11§2十Rs十18

■阶跃响应解析解

1O1O1.

，*»nuiii—[1,3];den=[1211±OXOJ,

[r,p,k]=residue(num,[den,0]);[r,p]

■解析解

y(t)=(0.002+0.0255j)e取+(0.002-0.0255j)e-3jr

+(-0.0853+0.0088j)e(-1+j)z

4-(-0.0853一0.0088j)e(TT"+0.1667

example4

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■基于Euler公式的化简

(Q+.gO+j，"+(。一hj)e(bTM，-4e"