吉林省通化市梅河口市2023-2024学年高三数学上学期12月月考试题含解析

Page26高三数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.若复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.3.已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（）A. B.C D.4.老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月号开始慢跑，第一天跑步公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用天跑完公里，则预计这天中老张日跑步量超过公里的天数为（）A. B. C. D.5.两直线与平行，则它们之间距离为（）A. B. C. D.6.已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（）A. B. C.1 D.7.设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为（）A. B. C. D.8.设，，，则的大小关系正确的是（）A B. C. D.二、多选题（每题5分，共计20分，少选2分，错选0分）9.下列命题正确的是（）A.已知点，，若直线与线段有交点，则或B.是直线：与直线：垂直的充分不必要条件C.经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为D.已知直线，：，，和两点，，如果与交于点，则的最大值是.10.设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（）A. B.数列的最大项为第9项C.时，的最小值为17 D.11.已知抛物线，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于P、Q两点，设的中点为M，过M作的垂线交x轴于D，下列结论正确的是（）A. B.C.最小值为p D.12.如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到的距离分别为，则（）A.平面B.平面平面C.直线与所成角比直线与所成角大D.正方体棱长为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，若，则实数________．14.在三棱锥中，平面，则三棱锥的内切球的表面积等于__________.15.已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的一个的解析式为__________.①，；②为奇函数；③在上单调递减.16.已知，，数列是公差为1的等差数列，若的值最小，则________．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数（1）求函数在的单调递减区间;（2）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.18.设数列的前项和为，已知．数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列．（1）求数列和的通项公式；（2）若，数列的前项和为，且恒成立，求的取值范围．19.1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．20.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.（1）求；（2）若的面积为，的中点为，求的最小值.21.已知函数，其中．（1）当时，求证：在上单调递减；（2）若有两个不相等的实数根．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）求证：．22已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若，求的值；（3）求证：.

高三数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得集合，，结合集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，根据集合交集的概念及运算，可得.故选：C.2.若复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列方程即可得解.【详解】，所以，解得，故选：A.3.已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】借助导数研究函数的单调性并运用充分不必要条件的定义即可得到.【详解】在区间上单调递增等价于在区间上大于等于恒成立，即在上恒成立，即，故是的充分不必要条件，故D正确.故选：D.4.老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月号开始慢跑，第一天跑步公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用天跑完公里，则预计这天中老张日跑步量超过公里的天数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得这天日跑步量成等差数列，再根据等差数列的通项公式求解.【详解】由已知可得这天日跑步量成等差数列，记为，设其公差为，前项和为，且则，即，解得，所以，由，得，解得，所以这天中老张日跑步量超过公里的天数为天，故选：B.5.两直线与平行，则它们之间距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行求得的值，利用平行线间距离公式求解即可.【详解】与平行,,即直线为,即故选：B6.已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件求出点P的轨迹，再借助几何图形，数形结合求解作答.【详解】直线恒过定点，直线恒过定点，而，即直线与直线垂直，当P与N不重合时，，，当P与N重合时，，令点，则，，于是得，显然点P与M不重合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除点M外），如图，观察图形知，射线AP绕点A旋转，当旋转到与圆O：相切时，最大，最大，因，为切线，点为切点，，，则，所以最大值为，.故选：B【点睛】思路点睛：涉及在垂直条件下求动点的轨迹问题，可以借助向量垂直的坐标表示求解，以简化计算，快捷解决问题.7.设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标的特点结合基本不等式求解出的最小值.【详解】如图所示：因为圆的方程为即为，所以圆心为即为抛物线的焦点且半径因为，所以，又因为，，所以，设，所以，所以，所以，所以，取等号时.综上可知：.故选：D.【点睛】本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运用，难度较难.(1)已知抛物线上任意一点以及焦点，则有；(2)当过焦点的直线与抛物线相交于，则有.8.设，，，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，构造函数比较a，b，构造函数比较a，c作答.【详解】令函数，，当时，，即在上递减，则当时，，即，因此，即；令函数，，当时，，则在上单调递增，则当时，，即，因此，即，所以的大小关系正确的是.故选：B【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.二、多选题（每题5分，共计20分，少选2分，错选0分）9.下列命题正确的是（）A.已知点，，若直线与线段有交点，则或B.是直线：与直线：垂直的充分不必要条件C.经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为D.已知直线，：，，和两点，，如果与交于点，则的最大值是.【答案】ABD【解析】【分析】利用数形结合可判断A，利用两条直线垂直的条件及充分条件必要条件的定义可判断B，可求出过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程判断C，利用条件可得两直线垂直，再利用基本不等式可求最值判断D.【详解】对于A，∵直线过定点，又点，，∴，如图可知若直线与线段有交点，则或，故A正确；对于B，由直线：与直线：垂直得，，解得或，故是直线：与直线：垂直的充分不必要条件，故B正确；对于C，当直线过原点时，直线为，当直线不过原点时，可设直线为，代入点，得，所以直线方程为，故经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为或，故C错误；对于D，∵直线，：，又，所以两直线垂直，∴，∴，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ABD10.设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（）A. B.数列的最大项为第9项C.时，的最小值为17 D.【答案】ACD【解析】【分析】求得的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意等差数列满足，，，，，，，，，，则AD正确.，，C选项正确.由上述分析可知，，，所以，数列的最大项不是第9项，B选项错误.故选：ACD11.已知抛物线，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于P、Q两点，设的中点为M，过M作的垂线交x轴于D，下列结论正确的是（）A. B.C.最小值为p D.【答案】ABD【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理、斜率坐标公式逐项分析判断作答.【详解】抛物线焦点，准线方程为，则，显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，由消去x得：，设，则有，，对于A，直线斜率，直线斜率，即，因此，A正确；对于B，，则，B正确；对于C，显然，C错误；对于D，显然点，直线的方程为，令，得，即点，因此，D正确.故选：ABD12.如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到的距离分别为，则（）A.平面B.平面平面C.直线与所成角比直线与所成角大D.正方体的棱长为【答案】ABD【解析】【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】解：设的交点为，显然是、的中点，因为平面，到平面的距离为，所以到平面的距离为，又到平面的距离为，所以平面，即平面，即A正确；设平面，所以，因为是正方形，所以，又因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，因此有平面，而，所以平面平面，因此选项B正确；设到平面的距离为，因为平面，是正方形，点，B到的距离分别为，1，所以有，设正方体的棱长为，设直线与所成角为，所以，设直线与所成角为，所以，因为，所以，因此选项C不正确；因为平面平面，平面平面，所以在平面的射影与共线，显然，如图所示：由，，由（负值舍去），因此选项D正确，故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知集合，若，则实数________．【答案】【解析】【分析】利用元素与集合的关系可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为集合，若，则，解得.故答案为：.14.在三棱锥中，平面，则三棱锥的内切球的表面积等于__________.【答案】【解析】【分析】首先利用等体积法求出内切球半径，再利用球的表面积公式求答案即可.【详解】如图，由已知，得的面积为，因为三棱锥的高为，所以，等腰三角形底边上的高为，所以三棱锥的表面积为，体积.又三棱锥的体积（其中为三棱锥内切球的半径），所以，所以三棱锥的内切球的表面积为.故答案为：.15.已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的一个的解析式为__________.①，；②为奇函数；③在上单调递减.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的性质直接得解.【详解】由题意为奇函数，且在上单调递减，可假设，此时，，即①成立，故答案为：（答案不唯一）.16.已知，，数列是公差为1的等差数列，若的值最小，则________．【答案】3【解析】【分析】结合等差数列的通项公式，转化为二次函数的最值问题可解.【详解】∵数列是公差为1的等差数列，可设：.∴∴当时，的值最小.故答案为：3四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数（1）求函数在单调递减区间;（2）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最小正周期为；最大值为和最小值为.【解析】【分析】（1）由题可得，求得函数的单调减区间，进而求得函数在的单调递减区间即可；（2）根据求得最小正周期即可；由求得的取值范围即可求得区间上的最大值和最小值.【详解】解：（1），由，得，当时，，当时，所以，函数在单调递减区间为.（2）.因为时，，所以，所以，所以在区间上的最大值为和最小值为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦型函数的最小正周期，单调性，最值，考查学生的计算能力，属于中档题.18.设数列的前项和为，已知．数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列．（1）求数列和的通项公式；（2）若，数列的前项和为，且恒成立，求的取值范围．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的通项公式可得，再由等差数列的通项公式以及等比的定义，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；（2）利用错位相减法求出，易得，进而可得结果.【详解】（1）∵，当时，，两式相减化简可得：,即数列是以3为公比的等比数列，又∵，∴，解得，即，设数列的公差为，，∵成等比数列，∴，解得或（舍去），即，∴数列和的通项公式为，.（2）由（1）得，∴，，两式相减得：∴，即有恒成立，恒成立，可得，即的范围是.【点睛】一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．19.1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．【答案】（1）当时血液中药物的浓度最高，最大值为6（2）【解析】【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；（2）讨论和两种情况，小问1详解】当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为①当时，．②当时，因为（当且仅当时，等号成立），所以．故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．【小问2详解】由题意得①当时，，设，则，，则，故；②当时，，由，得，令，则，，则，故．综上，．20.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.（1）求；（2）若的面积为，的中点为，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面积公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.【小问1详解】选①，由正弦定理可得，又因为，可得，即，所以，又因为，所以，所以，解得.②，由正弦定理可得，即，整理可得，又因为，解得，因为，所以.③，由正弦定理可得，整理可得，即，即，所以或（舍），即，即，解得.【小问2详解】，解得，由余弦定理可得，所以，当且仅当时，即取等号，所以的最小值为.21.已知函数，其中．（1）当时，求证：在上单调递减；（2）若有两个不相等的实数根．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）求证：．【答案】（1）证明见详解（2）（i），（ii）证明见详解【解析】【分析】（1）当时，利用导数可证明函数单调性；（2）（i）方程有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根，令，利用导数研究单调性，求出最值可得解；（ii）要证，即证，又，，即证，可得，令，即证，构造函数，利用导数可证明.【小问1详解】当时，，，令，，令，得，，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，即，所以函数在上单调递减.【小问2详解】（i）有两个不相等的实数根，，即方程有两个不相等的实数根，，令，，，当时，，即函数在上单调递减，函数至多一个零点，不合题意；当时，，，，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，函数有两个零点，则，解得，又，，不妨设，，所以实数的取值范围为.（ii）要证，即证，又，，，即证，将，两式相减可得，，只需证，即证