2024年高中数学专题2-11重难点题型培优精讲圆的方程学生版新人教A版选择性必修第一册

专题2.11圆的方程1．圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.2．圆的标准方程(1)圆的标准方程：方程(r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.(2)圆的标准方程的优点：依据圆的标准方程很简洁确定圆心坐标和半径.

(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.3．圆的一般方程(1)方程叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.下列状况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F.4．二元二次方程与圆的方程(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程，对比圆的一般方程，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不愿定是圆的方程.(2)二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程表示圆的条件是5．点与圆的位置关系(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为.平面内一点.6．与圆有关的对称问题(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.

(2)圆关于点对称

①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.

②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.

(3)圆关于直线对称

①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.

②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.7．与圆有关的最值问题(1)与圆的代数结构有关的最值问题

①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(2)与圆的几何性质有关的最值问题①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r；②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；

③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r；

④过两定点的全部圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆.【题型1圆的方程的求法】【方法点拨】(1)圆的标准方程的求法①干脆代入法：已知圆心坐标和半径大小，干脆代入求圆的标准方程.​​​​​​​②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必需具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r.(2)圆的一般方程的求法待定系数法：①设：依据题意设出圆的一般方程；②列：依据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值.【例1】经过三个点A(0,0),B(2A．x-3C．x-3【变式1-1】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（

）A．x2+C．x-2【变式1-2】与圆x2+y2-A．x2+C．x2+【变式1-3】△ABC三个顶点的坐标分别是A1,1，B4,2，C3,0，则A．x2+C．x2+【题型2二元二次方程表示圆的条件】【方法点拨】推断一个二元二次方程是否表示圆，可以从以下几个方面入手：①看系数：与的系数应相等；②看形式：表达式中不应含有xy项；③在比较：要大于0.【例2】设甲：实数a<3；乙：方程x2+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-1】若曲线C：x2+y2+2A．-2,0 B．C．-2,0 D．【变式2-2】若方程x2+y2-A．(1,+∞) B．(-∞【变式2-3】若方程x2+y2+6A．-∞,9 B．-∞,【题型3点与圆的位置关系】【方法点拨】点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.依据具体条件，可以通过几何法或代数法进行推断.【例3】点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（

）A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关【变式3-1】两个点M2,-4、N-2,1A．点M在圆C外，点N在圆C外B．点M在圆C内，点N在圆C内C．点M在圆C外，点N在圆C内D．点M在圆C内，点N在圆C外【变式3-2】已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+A．-3,-C．-2,+∞【变式3-3】已知点(a,2)在圆x2A．-∞,94 B．9【题型4圆有关的轨迹问题】【方法点拨】求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法：干脆法、代入法、定义法等.①“轨迹”与“轨迹方程”有区分，“轨迹”是图形，要指出形态、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.②求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程探讨轨迹图形；求动点的轨迹方程有时须要先由条件推断轨迹图形，再由图形求方程.【例4】已知点M(-2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点A．x2+C．x2+【变式4-1】已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（

）A．(x-C．(x-【变式4-2】已知A，B为圆C:x2+y2-2xA．(x-1)C．(x+1)2+【变式4-3】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A(-4,0)，BA．(x+4)2+y2=16 B．【题型5与圆有关的对称问题】【方法点拨】(1)圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.(2)圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.【例5】圆(x+2)2+y2=5A．(x-2)C．(x+2)2+【变式5-1】若圆x2-2x+y2=0与圆A．x2+2x+y2【变式5-2】圆(x-1)2+(yA．(x+5)2+C．(x-5)【变式5-3】若圆C1:(x-1)2+A．y=-C．y=-【题型6与圆有关的最值问题】【方法点拨】与圆有关的最值问题主要有两类：①与圆的代数结构有关的最值问题；②与圆的几何性质有关的最值问题；解题时，依据具体题目分析是哪类最值问题，再进行求解即可.【例6】在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆x2+y2=9上两动点，点P(1,1)，且A．3-2 B．3+2 C．【