2024贵州中考数学二轮复习贵州中考题型研究 类型五 平行四边形问题（课件）

类型五平行四边形问题函数微技能——分类讨论思想确定动点位置一阶例10如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC.探究1：P是平面内一点，找出点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形；例10题图①解：①若AC为平行四边形的边时，AC∥BP，且AC＝BP，在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹);例10题图①①解：满足条件的点P如解图①所示；例10题解图①【方法总结】二次函数中特殊四边形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为________或__________讨论；以探究1为例，若AC为边时，过点B作BP∥AC，点P可在x轴上方，也可在x轴下方；作图依据：____________________________________________________________；若AC为对角线时，依据平行四边形对角线互相平分可得作法：____________________________________________________________．边对角线一组对边平行且相等的四边形是平行四边形取AC的中点D，连接BD并延长至点P，使得DP＝DB.②若AC为平行四边形的对角线时，BP与AC交于AC的中点，在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)．例10题图②②解：满足条件的点P如解图②所示．例10题解图②探究2：在抛物线上找一点Q，在x轴上找一点M，使得以A、C、Q、M为顶点的四边形为平行四边形．在图③中画出所有满足条件的点Q、M的示意图(保留作图痕迹)．例10题图③满足条件的点Q、M如解图所示．例10题解图③设问突破二阶例11如图，抛物线y＝x2＋6x＋5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴l与x轴的交点为D，与直线AC的交点为E.一题多设问(1)点G为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点H，使得以A、C、G、H为顶点且AC为对角线的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；例11题图①【思维教练】根据平行四边形对边平行且相等的性质即可求得点H坐标，进一步求得点G坐标；(1)解：存在．如解图①，过点C作x轴的平行线交抛物线于点H，连接AH，过点C作CG∥AH，与x轴的交点即为点G.例11题图①∵抛物线的解析式为y＝x2＋6x＋5，∴C(0，5)，A(－5，0)，令y＝5，即x2＋6x＋5＝5，解得x1＝0，x2＝－6，∴H(－6，5)，∴CH＝AG＝6，∴G(1，0)；HG(2)点P为直线AC上一动点，在直线AC下方的抛物线上是否存在点Q，使得以B、D、P、Q为顶点且BD为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；例11题图②【思维教练】根据点P在直线AC上，设出点P、Q坐标，列等量关系式yP＝yQ解方程即可；(2)解：存在．设直线AC的解析式为y＝kx＋d，∴代入点A(－5，0)，C(0，5)，

解得

，∴直线AC的解析式为y＝x＋5.∵BD＝2，∴PQ＝2.设P(p，p＋5)，则Q(p＋2，p2＋10p＋21)．由题意可知p＋5＝p2＋10p＋21，解得p＝

或p＝

，∴Q点的坐标为(，

)或(，

)；例11题图②【思维教练】分AB为平行四边形的边和对角线两种情况进行讨论，分别求解即可；(3)点S是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，是否存在点N，使得以A、B、S、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；例11题图③(3)解：存在．①当AB为平行四边形的边时，设N(n，n2＋6n＋5)，则S(－3，n2＋6n＋5)，∵SN＝AB，即|n＋3|＝4，解得n＝1或n＝－7.∴点N的坐标为(1，12)或(－7，12)；②当AB为平行四边形对角线时，易得点N与点M重合，∴点N的坐标为(－3，－4)．综上所述，符合题意的点N的坐标为(1，12)或(－7，12)或(－3，－4)；例11题图③【思维教练】根据点K、J分别为抛物线和直线AC上的点，设出点K坐标，即可表示出点J坐标，已知KJ∥ME，从而只需KJ＝ME即可得到平行四边形，再根据K、J点坐标及其相对位置，列出等量关系式，即可求出点K坐标．(4)设点K是抛物线上一点，过点K作KJ∥y轴，交直线AC于点J，是否存在点K，使得以M、E、K、J为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．例11题图④例11题解图②(4)解：存在．如解图②，设点K的坐标为(e，e2＋6e＋5)．∵KJ∥y轴，交直线AC于点J，直线AC的解析式为y＝x＋5，∴点J的坐标为(e，e＋5)．当x＝－3时，y＝(－3)＋5＝2，∴E(－3，2)，

∴ME＝6.∵ME∥y轴，KJ∥y轴，

∴KJ∥ME，要使得以M，E，K，J为顶点的四边形为平行四边形，只需KJ＝ME＝6.①当点K在点J的下方时，KJ＝e＋5－(e2＋6e＋5)＝－e2－5e，则－e2－5e＝6，解得e1＝－2，e2＝－3，则K1(－2，－3)，K2(－3，－4)(与点M重合，舍去)；②当点K在点J的上方时，KJ＝(e2＋6e＋5)－(e＋5)＝e2＋5e，则e2＋5e＝6，解得e3＝－6，e4＝1，则K3(－6，5)，K4(1，12)．综上所述，点K的坐标为(－2，－3)或(－6，5)或(1，12)．例11题解图②综合训练三阶6.(2023黔东南州26题14分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，－3)，顶点D的坐标为(1，－4)．(1)求抛物线的解析式；第6题图(1)解：∵抛物线交y轴于点(0，－3)，∴c＝－3，又∵顶点坐标为(1，－4)，∴

＝1，即b＝－2a，

＝－4，即－3－a＝－4，解得a＝1，∴b＝－2，∴抛物线解析式为y＝x2－2x－3；

(4分)第6题图(2)在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标；第6题图【解法提示】根据解析式y＝x2－2x－3可得点A坐标为(－1，0)，∴AC＝

，分三种情况：①当以∠ACE为顶角时，可得纵坐标为

－3或－

－3，此时点E坐标为(0，－3)或(0，－

－3)；②当以∠EAC为顶角时，可直接得到E的坐标为(0，3)；(2)(0，

－3)或(0，－

－3)或(0，3)或(0，－

)；(8分)第6题图③当以∠AEC为顶角时，设点E纵坐标为m，则m2＋12＝(m＋3)2，解得m＝－

，∴点E的坐标为(0，－)，综上所述，点E的坐标为(0,－3)或(0，－

－3)或(0，3)或(0，－)．(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．(3)解：存在．令x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A坐标为(－1，0)，点B坐标为(3，0)，以BD为边作平行四边形，则另一边PQ可利用平移得到，且根据平行四边形的中心对称性，点Q和点D距离x轴的距离相等，都为4.当x2－2x－3＝4时，x1＝1＋2，x2＝1－2，第6题图即点Q的坐标为(1＋2，4)，点P的坐标(－1＋2，0)或点Q的坐标为(1－2，4)，点P的坐标(－1－2，0)．当x2－2x－3＝－4时，x1＝x2＝1，与点D重合，不能构成平行四边形．综上所述，点Q的坐标为(1＋2，4)，点P的坐标(－1＋2，0)或点Q的坐标为(1－2，4)，点P的坐标(－1－2，0)．(14分)第6题图【一题多解】存在．∵D(1，－4)，∴将线段BD向上平移4个单位，再向右(或向左)平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这点便是点Q，当然此时点D的对应点便是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q(t，4)，代入抛物线y＝x2－2x－3得：t2－2t－3＝4，即t2－2t－7＝0，解得t1＝1＋2，t2＝1－2，此时，Q1(1＋2，4)或Q2(1－2，4)，第6题图如解图，分别过点D、Q1、Q2作x轴的垂线，垂足分别为点F、G1、G2.∵抛物线y＝x2－2x－3与x轴的右交点B